Plik dyskretna transformata Fouriera to metoda numeryczna używana do definiowania próbek odnoszących się do częstotliwości widmowych składających się na sygnał. Badanie funkcji okresowych w parametrach zamkniętych, dając kolejny dyskretny sygnał.
Aby uzyskać dyskretną transformatę Fouriera N punktów, na dyskretnym sygnale, na sekwencji muszą być spełnione następujące 2 warunki x [n]
x [n] = 0 n < 0 ˄ n > N - 1
Jeśli te warunki są spełnione, dyskretną transformatę Fouriera można zdefiniować jako
Dyskretną transformatę Fouriera można zdefiniować jako N-punktowe próbkowanie transformaty Fouriera.
Indeks artykułów
Istnieją 2 punkty widzenia, z których można interpretować wyniki uzyskane na sekwencji xs[n] poprzez dyskretną transformatę Fouriera.
-Pierwsza odpowiada współczynnikom widmowym, znanym już z szeregu Fouriera. Jest obserwowany w dyskretnych sygnałach okresowych, z próbkami pokrywającymi się z sekwencją xs[n].
-Drugi dotyczy widma dyskretnego sygnału aperiodycznego, z próbkami odpowiadającymi sekwencji xs[n].
Dyskretna transformata jest przybliżeniem widma oryginalnego sygnału analogowego. Jego faza zależy od chwil próbkowania, podczas gdy jej wielkość zależy od interwału próbkowania..
Algebraiczne podstawy struktury stanowią logiczne podstawy poniższych sekcji.
DO. Sn → C. FA[Sk]; Jeśli ciąg zostanie pomnożony przez skalar, jego transformacja również będzie.
Tn + Vn = F [T.k] + F [Vk]; Przekształcenie sumy jest równe sumie przekształceń.
F [Sn] → (1 / N) S-k; Jeśli dyskretna transformata Fouriera zostanie ponownie obliczona na wyrażenie już przekształcone, otrzymane zostanie to samo wyrażenie, przeskalowane w N i odwrócone względem osi pionowej.
Dążąc do podobnych celów, jak w transformacie Laplace'a, splot funkcji odnosi się do iloczynu między ich transformatami Fouriera. Konwolucja dotyczy również czasów dyskretnych i jest odpowiedzialna za wiele nowoczesnych procedur..
Xn * Rn → F [Xn] .F [Rn]; Przekształcenie splotu jest równe iloczynowi przekształceń.
Xn . Rn→ F [Xn] * F [Rn]; Przekształcenie iloczynu jest równe splotowi przekształceń.
Xn-m → F [Xk] e -i (2π / N) km ; Jeśli sekwencja jest opóźniona w m próbkach, jej wpływ na dyskretną transformację będzie modyfikacją kąta określonego przez (2π / N) km.
Xt [-k] = X *t[k] = Xt [N - K]
W-nmN . x [n] ↔ Xt[k - m]
x [n] y [n] ↔ (1 / N) Xt[k] * Yt[k]
X [-n] ↔ Xt[-k] = X *t[k]
x * [n] ↔ X *t[-k]
W odniesieniu do konwencjonalnej transformaty Fouriera ma kilka podobieństw i różnic. Transformacja Fouriera przekształca sekwencję w linię ciągłą. W ten sposób mówi się, że wynik zmiennej Fouriera jest złożoną funkcją zmiennej rzeczywistej.
W przeciwieństwie do dyskretnej transformaty Fouriera odbiera sygnał dyskretny i przekształca go w inny sygnał dyskretny, czyli sekwencję.
Służą one przede wszystkim do znacznego uproszczenia równań, przy przekształcaniu pochodnych wyrażeń w elementy potęgowe. Oznaczanie wyrażeń różniczkowych w postaci liczb całkowitych wielomianów.
W optymalizacji, modulacji i modelowaniu wyników działa jak znormalizowane wyrażenie, będące częstym źródłem informacji inżynierskich po kilku pokoleniach.
Tę matematyczną koncepcję przedstawił Joseph B. Fourier w 1811 r., Opracowując traktat o rozprzestrzenianie się ciepła. Szybko został przyjęty przez różne gałęzie nauki i inżynierii.
Ustanowiono go jako główne narzędzie pracy w badaniu równań z pochodnymi cząstkowymi, a nawet porównując je z istniejącym stosunkiem pracy między Transformata Laplace'a i równania różniczkowe zwyczajne.
Każda funkcja, nad którą można pracować z transformacją Fouriera, musi mieć wartość null poza zdefiniowanym parametrem.
Dyskretną transformację uzyskuje się za pomocą wyrażenia:
Po danej dyskretnej sekwencji X [n]
Odwrotność dyskretnej transformaty Fouriera definiuje się za pomocą wyrażenia:
Po osiągnięciu transformacji dyskretnej pozwala na zdefiniowanie sekwencji w dziedzinie czasu X [n].
Proces parametryzacji odpowiadający dyskretnej transformacie Fouriera polega na okienkowaniu. Aby przetworzyć transformację, musimy ograniczyć sekwencję w czasie. W wielu przypadkach omawiane sygnały nie mają tych ograniczeń.
Sekwencja, która nie spełnia kryteriów rozmiaru, które należy zastosować do transformacji dyskretnej, może zostać pomnożona przez funkcję „okna” V [n], definiującą zachowanie sekwencji w kontrolowanym parametrze.
X [n]. V [n]
Szerokość widma będzie zależna od szerokości okna. Wraz ze wzrostem szerokości okna obliczona transformacja będzie węższa.
Dyskretna transformata Fouriera jest potężnym narzędziem w badaniu dyskretnych sekwencji.
Dyskretna transformata Fouriera przekształca ciągłą funkcję zmiennej w dyskretną transformację zmiennej.
Zagadnienie Cauchy'ego dla równania ciepła przedstawia częste pole zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera. Gdzie funkcja jest generowana rdzeń cieplny lub rdzeń Dirichleta, co dotyczy próbkowania wartości w określonym parametrze.
Ogólny powód zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera w tej gałęzi wynika głównie z charakterystycznej dekompozycji sygnału jako nieskończonej superpozycji łatwiejszych do leczenia sygnałów.
Może to być fala dźwiękowa lub fala elektromagnetyczna, dyskretna transformata Fouriera wyraża to jako superpozycja fal prostych. Ta reprezentacja jest dość częsta w elektrotechnice.
Są to szeregi zdefiniowane za pomocą cosinusów i sinusów. Służą do ułatwienia pracy z ogólnymi funkcjami okresowymi. Po zastosowaniu stanowią część technik rozwiązywania zwykłych i cząstkowych równań różniczkowych..
Szeregi Fouriera są jeszcze bardziej ogólne niż szeregi Taylora, ponieważ rozwijają okresowe nieciągłe funkcje, które nie mają reprezentacji szeregów Taylora..
Aby zrozumieć transformację Fouriera analitycznie, ważne jest, aby przejrzeć inne sposoby, w jakie można znaleźć szereg Fouriera, dopóki nie będziemy mogli zdefiniować szeregu Fouriera w jego złożonej notacji..
Wielokrotnie konieczne jest dostosowanie struktury szeregu Fouriera do funkcji okresowych, których okres wynosi p = 2L> 0 w przedziale [-L, L].
Uwzględniany jest przedział [-π, π], który zapewnia korzyści przy korzystaniu z symetrycznych charakterystyk funkcji.
Jeśli f jest parzyste, szereg Fouriera ustala się jako szereg cosinusów.
Jeśli f jest nieparzyste, szereg Fouriera ustala się jako szereg sinusów.
Jeśli mamy funkcję f (t), która spełnia wszystkie wymagania szeregu Fouriera, to można ją oznaczyć w przedziale [-t, t] używając jej złożonej notacji:
W odniesieniu do obliczenia rozwiązania podstawowego przedstawiono następujące przykłady:
Równanie Laplace'a
Równanie ciepła
Równanie Schrödingera
Równanie falowe
Z drugiej strony poniżej przedstawiono przykłady zastosowania dyskretnej transformaty Fouriera w dziedzinie teorii sygnałów:
-Problemy z identyfikacją systemu. Założona f i g
-Problem ze spójnością sygnału wyjściowego
-Problemy z filtrowaniem sygnału
Obliczyć dyskretną transformatę Fouriera dla następującej sekwencji.
Możesz zdefiniować PTO x [n] jako:
Xt[k] = 4, -j2, 0, j2 dla k = 0, 1, 2, 3
Chcemy wyznaczyć za pomocą algorytmu cyfrowego sygnał widmowy zdefiniowany przez wyrażenie x (t) = e-t. Gdzie maksymalny współczynnik żądania częstotliwości wynosi fm= 1 Hz. Harmoniczna odpowiada f = 0,3 Hz. Błąd jest ograniczony do mniej niż 5%. Oblicz fas , D i N.
Uwzględniając twierdzenie o próbkowaniu fas = 2fm = 2 Hz
Rozdzielczość częstotliwości fa0 = 0,1 Hz, skąd otrzymujesz D = 1 / 0,1 = 10s
0,3 Hz to częstotliwość odpowiadająca indeksowi k = 3, gdzie N = 3 × 8 = 24 próbki. Wskazując na to fas = N / A = 24/10 = 2,4> 2
Ponieważ celem jest uzyskanie najniższej możliwej wartości N, za rozwiązanie można uznać następujące wartości:
fa0 = 0,3 Hz
D = 1 / 0,3 = 3,33 s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
Jeszcze bez komentarzy