ZA trójkąt równoboczny jest to wielokąt o trzech bokach, gdzie wszystkie są równe; to znaczy mają tę samą miarę. Dla tej cechy nadano mu nazwę równobocznych (równych boków).
Trójkąty to wielokąty uważane za najprostsze w geometrii, ponieważ składają się z trzech boków, trzech kątów i trzech wierzchołków. W przypadku trójkąta równobocznego, ponieważ ma on równe boki, oznacza to, że jego trzy kąty również będą równe..
Indeks artykułów
Trójkąty równoboczne to płaskie i zamknięte figury, składające się z trzech odcinków linii. Trójkąty są klasyfikowane według ich cech, w odniesieniu do ich boków i kątów; równoboczny został sklasyfikowany za pomocą miary jego boków jako parametru, ponieważ są one dokładnie takie same, to znaczy są przystające.
Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem trójkąta równoramiennego, ponieważ dwa jego boki są przystające. Dlatego wszystkie trójkąty równoboczne są również równoramienne, ale nie wszystkie trójkąty równoramienne będą równoboczne.
W ten sposób trójkąty równoboczne mają te same właściwości, co trójkąt równoramienny..
Trójkąty równoboczne można również sklasyfikować na podstawie szerokości ich kątów wewnętrznych jako trójkąt równoboczny ostry, który ma trzy boki i trzy kąty wewnętrzne o tej samej mierze. Kąty będą ostre, to znaczy będą mniejsze niż 90lub.
Ogólnie trójkąty składają się z kilku linii i punktów. Służą do obliczania powierzchni, boków, kątów, środkowej, dwusiecznej, dwusiecznej i wysokości..
Na poniższym wykresie widzimy trójkąt skalenny, w którym niektóre z wymienionych składników są szczegółowo opisane
Dwusieczna dzieli bok trójkąta na dwie części. W trójkątach równobocznych ten bok zostanie podzielony na dwie dokładnie równe części, to znaczy trójkąt zostanie podzielony na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Zatem dwusieczna narysowana z dowolnego kąta trójkąta równobocznego pokrywa się ze środkową i dwusieczną strony przeciwnej do tego kąta..
Przykład:
Poniższy rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktem środkowym D, który dzieli jeden z jego boków na dwa segmenty AD i BD.
Rysując linię od punktu D do przeciwległego wierzchołka, z definicji uzyskuje się medianę CD, która jest względem wierzchołka C i boku AB.
Ponieważ segment CD dzieli trójkąt ABC na dwa równe trójkąty CDB i CDA, oznacza to, że przypadek kongruencji będzie miał: bok, kąt, bok, a zatem CD będzie również dwusieczną BCD.
Rysowanie segmentu CD dzieli kąt wierzchołkowy na dwa równe kąty o długości 30lub, kąt wierzchołka A nadal wynosi 60lub a linia CD tworzy kąt 90lub względem środka D..
Segment CD tworzy kąty, które mają tę samą miarę dla trójkątów ADC i BDC, to znaczy są uzupełniające się w taki sposób, że miarą każdego z nich będzie:
Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180lub
dwa * Med. (ADC) = 180lub
Med. (ADC) = 180lub ÷ 2
Med. (ADC) = 90lub.
Mamy więc, że segment CD jest również dwusieczną boku AB.
Rysując dwusieczną od wierzchołka jednego kąta do środka przeciwnej strony, dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty.
W taki sposób, aby powstał kąt 90 °lub (dobrze). Wskazuje to, że ten odcinek linii jest całkowicie prostopadły do tego boku i z definicji ta linia byłaby wysokością.
W ten sposób dwusieczna dowolnego kąta trójkąta równobocznego pokrywa się z wysokością względem przeciwnej strony tego kąta..
Ponieważ wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna są reprezentowane przez ten sam segment w tym samym czasie, w trójkącie równobocznym punkty styku tych segmentów - ortocentrum, dwusieczna, środek i środek okręgu - zostaną znalezione w tym samym punkcie:
Główną właściwością trójkątów równobocznych jest to, że zawsze będą one trójkątami równoramiennymi, ponieważ równoramienne są utworzone przez dwa przystające boki i równoboczne przez trzy..
W ten sposób trójkąty równoboczne odziedziczyły wszystkie właściwości trójkąta równoramiennego:
Suma kątów wewnętrznych jest zawsze równa 180lub, a ponieważ wszystkie jego kąty są przystające, każdy z nich będzie mierzył 60lub.
Suma kątów zewnętrznych zawsze będzie równa 360lub, dlatego każdy kąt zewnętrzny będzie mierzył 120lub. Dzieje się tak, ponieważ kąty wewnętrzne i zewnętrzne są uzupełniające, to znaczy dodając je zawsze będą równe 180lub.
Suma miar dwóch boków musi zawsze być większa niż miara trzeciego boku, to znaczy a + b> c, gdzie a, b i c są miarami każdego boku.
Trójkąty równoboczne mają wszystkie trzy boki tej samej miary lub długości; to znaczy są przystające. Dlatego w poprzednim punkcie mamy, że a = b = c.
Trójkąty równoboczne są również znane jako trójkąty równokątne, ponieważ ich trzy wewnętrzne kąty są do siebie przystające. Dzieje się tak, ponieważ wszystkie jego boki również mają ten sam wymiar.
Obwód wielokąta jest obliczany przez dodanie boków. Ponieważ w tym przypadku trójkąt równoboczny ma wszystkie boki o tej samej miary, jego obwód oblicza się według następującego wzoru:
P = 3 * bok.
Ponieważ wysokość jest linią prostopadłą do podstawy, dzieli ją na dwie równe części, rozciągając się do przeciwległego wierzchołka. W ten sposób powstają dwa równe trójkąty prostokątne.
Wysokość (h) przedstawia przeciwną nogę (a), połowę boku AC do sąsiedniej nogi (b), a bok BC przedstawia przeciwprostokątną (c).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można określić wartość wysokości:
dodwa + bdwa = cdwa
Gdzie:
dodwa = wysokość (h).
bdwa = strona b / 2.
dodwa = strona a.
Podstawiając te wartości w twierdzeniu Pitagorasa i rozwiązując wysokość, otrzymujemy:
godzdwa + ( l / dwa)dwa = ldwa
godzdwa + ldwa/ 4 = ldwa
godzdwa = ldwa - ldwa/ 4
godzdwa = (4*ldwa - ldwa) / 4
godzdwa = 3*ldwa /4
√godzdwa = √ (3*ldwa /4)
Jeśli kąt utworzony przez przystające boki jest znany, wysokość (reprezentowaną przez nogę) można obliczyć, stosując stosunki trygonometryczne.
Nogi nazywane są przeciwległymi lub sąsiadującymi w zależności od kąta przyjętego jako odniesienie..
Na przykład na rysunku powyżej ramię h będzie przeciwne dla kąta C, ale w sąsiedztwie kąta B:
W ten sposób wysokość można obliczyć za pomocą:
Istnieją przypadki, w których wymiary boków trójkąta nie są znane, ale ich wysokość i kąty utworzone na wierzchołkach.
Aby określić obszar w tych przypadkach, konieczne jest zastosowanie stosunków trygonometrycznych.
Znając kąt jednego z jego wierzchołków, identyfikuje się nogi i stosuje się odpowiedni współczynnik trygonometryczny:
Zatem odnoga AB będzie przeciwna dla kąta C, ale przylegająca do kąta A. W zależności od boku lub nogi odpowiadającej wysokości, druga strona jest oczyszczana, aby uzyskać jej wartość, wiedząc, że w trójkącie równobocznym trzy boki zawsze będą miały ten sam pomiar.
Pole powierzchni trójkątów jest zawsze obliczane według tego samego wzoru, mnożąc podstawę razy wysokość i dzieląc przez dwa:
Powierzchnia = (b * h) ÷ 2
Wiedząc, że wysokość jest określona wzorem:
Boki trójkąta równobocznego ABC mają po 20 cm każdy. Oblicz wysokość i powierzchnię tego wielokąta.
Aby określić obszar tego trójkąta równobocznego, konieczne jest obliczenie wysokości, wiedząc, że podczas rysowania dzieli trójkąt na dwa równe trójkąty prostokątne.
W ten sposób można użyć twierdzenia Pitagorasa, aby je znaleźć:
dodwa + bdwa = cdwa
Gdzie:
a = 20/2 = 10 cm.
b = wysokość.
c = 20 cm.
Dane są podstawiane w twierdzeniu:
10dwa + bdwa = 20dwa
100 cm + bdwa = 400 cm
bdwa = (400 - 100) cm
bdwa = 300 cm
b = √ 300 cm
b = 17,32 cm.
Oznacza to, że wysokość trójkąta wynosi 17,32 cm. Teraz można obliczyć pole podanego trójkąta, podstawiając do wzoru:
Powierzchnia = (b * h) ÷ 2
Powierzchnia = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2
Powierzchnia = 346,40 cmdwa ÷ 2
Powierzchnia = 173,20 cmdwa.
Innym prostszym sposobem rozwiązania zadania jest zastąpienie danych w bezpośrednim wzorze na pole, gdzie wartość wysokości również znajduje się niejawnie:
Kwiaty zostaną posadzone na kawałku ziemi, który ma kształt trójkąta równobocznego. Jeśli obwód tego terenu jest równy 450 m, oblicz liczbę metrów kwadratowych, które zajmą kwiaty.
Wiedząc, że obwód trójkąta odpowiada sumie jego trzech boków, a ponieważ teren ma kształt trójkąta równobocznego, trzy boki tego trójkąta będą miały tę samą miarę lub długość:
P = bok + bok + bok = 3 * l
3 * l = 450 m.
l = 450 m ÷ 3
l = 150 m.
Teraz wystarczy obliczyć wysokość tego trójkąta.
Wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne, gdzie jedna noga reprezentuje wysokość, a druga połowę podstawy. Za pomocą twierdzenia Pitagorasa wysokość można określić:
dodwa + bdwa = cdwa
Gdzie:
do = 150 m ÷ 2 = 75 m.
do = 150 m.
b = wysokość
Dane są podstawiane w twierdzeniu:
(75 m)dwa + bdwa = (150 m)dwa
5625 m + bdwa = 22,500 m
bdwa = 22 500 m - 5 625 m
bdwa = 16,875 m
b = √ 16,875 m
b = 129,90 m.
Zatem obszar, który zajmą kwiaty, będzie:
Powierzchnia = b * h ÷ 2
Powierzchnia = (150 m * 129,9 m) ÷ 2
Powierzchnia = (19485 mdwa) ÷ 2
Powierzchnia = 9742,5 mdwa
Trójkąt równoboczny ABC jest podzielony odcinkiem linii biegnącym od wierzchołka C do punktu środkowego D, znajdującym się po przeciwnej stronie (AB). Segment ten mierzy 62 metry. Oblicz pole i obwód tego trójkąta równobocznego.
Wiedząc, że trójkąt równoboczny jest podzielony odcinkiem linii odpowiadającym wysokości, tworząc w ten sposób dwa przystające trójkąty prostokątne, to z kolei dzieli również kąt wierzchołka C na dwa kąty o tej samej mierze, 30lub każdy.
Wysokość tworzy kąt 90lub w odniesieniu do odcinka AB, a kąt wierzchołka A będzie mierzył 60lub.
Następnie używając kąta 30 jako odniesienialub, wysokość CD jest ustawiona jako noga przylegająca do kąta, a BC jako przeciwprostokątna.
Na podstawie tych danych można określić wartość jednego z boków trójkąta, korzystając ze stosunków trygonometrycznych:
Ponieważ w trójkącie równobocznym wszystkie boki mają dokładnie tę samą miarę lub długość, oznacza to, że każdy bok trójkąta równobocznego ABC jest równy 71,6 metra. Wiedząc o tym, można określić jego obszar:
Powierzchnia = b * h ÷ 2
Powierzchnia = (71,6 m * 62 m) ÷ 2
Powierzchnia = 4438,6 mdwa ÷ 2
Powierzchnia = 2219,3 mdwa
Obwód jest sumą trzech boków:
P = bok + bok + bok = 3 * l
P = 3*l
P = 3 * 71,6 m
P = 214,8 m.
Jeszcze bez komentarzy