Koncepcja wariacji liniowej, przykłady, ćwiczenia rozwiązane

Plik odchylenie liniowe występuje między dwiema wielkościami fizycznymi, gdy reprezentujący je wykres jest linią prostą. Jest to równoważne stwierdzeniu, że zmienne są w zależności liniowej, w taki sposób, że jeśli jedną z nich nazwiemy „y”, a drugą „x”, to zostaną one powiązane za pomocą wyrażenia matematycznego:

y = mx + b

W tym wzorze m i b są liczbami rzeczywistymi. Wartość m reprezentuje nachylenie lub nachylenie linii - która jest zawsze stała - a b jest przecięciem linii z osią pionową.

Każde zjawisko, które reaguje na zmianę liniową, ma różne nazwy zmiennych, jak zobaczymy w poniższych przykładach. Jednak matematyczna forma równania jest taka sama.

Eksperymentalnie można ustalić, czy istnieje liniowa zależność między dwiema wielkościami, mierząc pary wartości (x, y).

Uzyskane w ten sposób punkty są wykreślane na papierze milimetrowym i obserwuje się, czy mają one trend liniowy, to znaczy, czy istnieje linia, która odpowiednio pasuje do danych eksperymentalnych.

W pierwszej kolejności tę linię można narysować wizualnie, ale za pomocą regresja liniowa można znaleźć analitycznie wartości m i b linii, które najlepiej pasują do punktów eksperymentalnych.

Indeks artykułów

• 1 Przykłady zmienności liniowej
  • 1.1 Prędkość w ruchu prostoliniowym zmieniała się równomiernie
  • 1.2 Rozszerzalność cieplna
  • 1.3 Pozycja telefonu komórkowego ze stałą prędkością
  • 1.4 Wzrost osoby
  • 1.5 Skale temperatur
  • 1.6 Ciśnienie i głębokość
• 2 Ćwiczenie rozwiązane
  • 2.1 Koszt jazdy
• 3 Odnośniki

Przykłady zmienności liniowej

Istnieje wiele zjawisk naturalnych, a także ustalonych zależności między wzorcami pomiarowymi, które wynikają z liniowej zmienności, na przykład:

Prędkość w ruchu prostoliniowym zmieniała się równomiernie

Prędkość jako funkcja czasu v (t) telefonu komórkowego poruszającego się po linii ze stałym przyspieszeniem a i prędkością początkową v_lub  różni się od 0. Ten ruch jest znany jako równomiernie zróżnicowany ruch prostoliniowy a równanie na prędkość to:

v (t) = v_lub + w

Rozszerzalność cieplna

Innym naturalnym zjawiskiem, którego zmienność jest liniowa, jest wzrost długości, którego doświadcza pręt lub drut po podgrzaniu..

Rzeczywiście, wraz ze wzrostem temperatury dowolnego obiektu zwiększają się jego wymiary, a wzrost ten zależy od zmiany temperatury ΔT i wielkości zwanej współczynnik rozszerzalności liniowej oznaczony grecką literą α:

L = L_lub + α ΔT

W tym wyrażeniu L jest końcową długością obiektu, a L_lub jest jego początkową długością.

Pozycja telefonu komórkowego ze stałą prędkością

Telefon komórkowy z prędkość stała zawsze porusza się po linii prostej. Jeśli linia prosta jest poziomą osią x, położenie x (t) w dowolnym momencie jest określone wzorem:

x (t) = x_lub + vt

Gdzie x_lub to pozycja początkowa, v to prędkość, a t to czas. W ten sposób mówi się, że pozycja x zmienia się liniowo w czasie t.

Wzrost osoby

Lekarze i antropolodzy mogą oszacować wzrost człowieka, mierząc długość kości udowej..

Im wyższa osoba, tym dłuższe nogi, więc istnieją modele liniowe do przewidywania wzrostu dorosłego człowieka H (w calach), jeśli znana jest długość L (również w calach) jego kości udowej, zgodnie z równaniem:

H = 1,880⋅L + 32,010

Skale temperatur

Skale Celsjusza i Fahrenheita są używane codziennie do pomiaru temperatury. Ta ostatnia skala jest powszechnie stosowana w krajach anglojęzycznych. Istnieje równoważność przejścia od jednego do drugiego:

F = (9/5) C + 32

Gdzie F to temperatura w stopniach Fahrenheita, a C to temperatura w stopniach Celsjusza.

Ciśnienie i głębokość

Ciśnienie bezwzględne P w płynie nieściśliwym, takim jak woda, którego stała gęstość wynosi ρ, zmienia się w funkcji głębokości h jako:

P = P_lub + ρgh

Gdzie P._lub jest ciśnieniem na swobodnej powierzchni cieczy. Jeśli ciecz znajduje się w pojemniku otwartym do atmosfery, to ciśnienie jest po prostu ciśnieniem atmosferycznym P._bankomat, móc wtedy napisać:

P = P_bankomat + ρgh

Ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza wynosi około 101 kPa. Ta zależność między P i h oznacza, że ​​ciśnienie rośnie liniowo wraz z głębokością..

Ćwiczenie rozwiązane

Koszt jazdy

Miesięczny koszt C prowadzenia samochodu zawiera stały miesięczny koszt C_lub plus koszt przebiegu lub przebiegu każdego miesiąca. Kierowca zauważa, że ​​w danym miesiącu koszt przejazdu wyniósł 380 $ za 480 mil, aw kolejnym miesiącu 460 $ za 800 mil.

Niech d będzie liczbą mil przejechanych miesięcznie przez kierowcę, przy dostarczonych danych, znajdź:

a) Liniowa zmiana między C i d.

b) Ile miesięcznie kosztowałoby prowadzenie samochodu na trasie 1500 mil?

c) Wykres C versus d.

Rozwiązanie

Załóżmy, że zmienne mają związek określony wzorem:

C = C._lub + Ogłoszenie

Gdzie A i C_lub są stałymi do ustalenia. A jest nachyleniem linii, która graficznie przedstawia zależność między C i d. Co to cięcie z osią pionową, stały miesięczny koszt, który kierowca musi zapłacić za sam fakt posiadania samochodu. Może to obejmować na przykład koszty utrzymania i podatki.

Aby jednoznacznie określić linię, konieczne jest poznanie jej nachylenia. Do tego mamy punkty:

P.₁: 480 mil, 380 USD

P._dwa: 800 mil, 460 dolarów

Te punkty o współrzędnych (d, C) lub (odległość, koszt) są analogiczne do punktów o współrzędnych (x, y) płaszczyzny kartezjańskiej, a zmieniają się nazwy. Nachylenie A linii jest wtedy określone wzorem:

A = (C_dwa - do₁) / (d_dwa - re₁)

A = [(460 - 380) $ / (800 - 480) mil] = (1/4) $ / milę

Nachylenie linii przedstawia koszt na milę, na przykład:

C = C._lub + A.d = Co + (1/4). D

Aby określić koszt podstawy C._lub To równanie jest przyjmowane i jeden z punktów, o których wiemy, że do niego należy, jest podstawiony, na przykład P₁:

380 $ = C._lub + [(1/4) $ / mila]. 480 mil → 380 $ = C_lub + 120 $

do_lub = 260 USD

Teraz możemy sformułować liniowy model zmienności jako:

C = 260 + (1/4) d

Rozwiązanie b

Miesięczny koszt przejechania 1500 mil to:

C = 260 + (1/4) x 1500 USD = 635 USD

Rozwiązanie c

Wykres zależności C względem d to:

Bibliografia

1. Baldor. 1977. Algebra elementarna. Wenezuelskie wydania kulturalne.
2. Hoekenga, C. Równania liniowe w nauce. Odzyskany z: visionlearning.com.
3. Hoffman, J. Wybór tematów matematyki. Głośność 2.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5. Wydanie. Cengage Learning.
6. Zill, D. 1984. Algebra i trygonometria. Mcgraw hill.