Plik wektor normalny to ten, który definiuje kierunek prostopadły do jakiegoś rozważanego elementu geometrycznego, którym może być na przykład krzywa, płaszczyzna lub powierzchnia.
Jest to bardzo przydatna koncepcja w pozycjonowaniu poruszającej się cząstki lub jakiejś powierzchni w przestrzeni. Na poniższym wykresie można zobaczyć, jak wygląda wektor normalny do dowolnej krzywej do:
Rozważmy punkt P na krzywej C. Punkt może przedstawiać poruszającą się cząstkę poruszającą się po ścieżce w kształcie litery C. Styczna do krzywej w punkcie P jest narysowana na czerwono..
Zauważ, że wektor T jest styczna do C w każdym punkcie, podczas gdy wektor N jest prostopadła do T y wskazuje na środek wyimaginowanego koła, którego łuk jest odcinkiem C. Wektory są oznaczone pogrubioną czcionką w drukowanym tekście, aby odróżnić je od innych wielkości niewektorowych.
Wektor T zawsze wskazuje, gdzie porusza się cząstka, dlatego wskazuje jej prędkość. Zamiast tego wektor N zawsze wskazuje kierunek, w którym obraca się cząstka, w ten sposób wskazuje wklęsłość krzywej C..
Indeks artykułów
Wektor normalny niekoniecznie jest wektorem jednostkowym, to znaczy wektorem, którego moduł wynosi 1, ale jeśli tak, nazywamy go normalny wektor jednostkowy.
W wielu zastosowaniach konieczna jest znajomość wektora normalnego do płaszczyzny zamiast krzywej. Ten wektor ujawnia orientację wspomnianej płaszczyzny w przestrzeni. Weźmy na przykład samolot P. (żółty) rysunku:
Istnieją dwa wektory normalne na tę płaszczyznę: n1 Y ndwa. Użycie jednej lub drugiej zależy od kontekstu, w którym znajduje się wspomniana płaszczyzna. Uzyskanie wektora normalnego do płaszczyzny jest bardzo proste, jeśli znasz jego równanie:
ax + by + cz + d = 0, z do, b, do Y re liczby rzeczywiste.
Cóż, wektor normalny do tej płaszczyzny jest określony wzorem:
N = a ja + b jot + do k
Tutaj wektor N Wyraża się ją w postaci wektorów jednostkowych i prostopadle do siebie ja, jot Y k, skierowane w trzech kierunkach wyznaczających przestrzeń X i Z, patrz rysunek 2 po prawej.
Bardzo prosta procedura znajdowania wektora normalnego wykorzystuje właściwości produktu wektorowego między dwoma wektorami.
Jak wiadomo, trzy różne punkty i nie współliniowe względem siebie wyznaczają płaszczyznę P.Teraz można otrzymać dwa wektory lub Y v które należą do wspomnianej płaszczyzny mającej te trzy punkty.
Gdy masz już wektory, plik produkt wektorowy lub x v jest operacją, której wynikiem jest z kolei wektor, który ma właściwość prostopadłości do płaszczyzny określonej przez lub Y v.
Znany ten wektor jest oznaczony jako N, iz niej będzie można wyznaczyć równanie płaszczyzny dzięki równaniu wskazanemu w poprzednim podrozdziale:
N = lub x v
Poniższy rysunek ilustruje opisaną procedurę:
Znajdź równanie płaszczyzny określonej przez punkty A (2,1,3); B (0, 1, 1); C (4,2,1).
To ćwiczenie ilustruje procedurę opisaną powyżej. Mając 3 punkty, jeden z nich jest wybierany jako wspólny początek dwóch wektorów należących do płaszczyzny określonej przez te punkty. Na przykład punkt A jest ustawiany jako początek i konstruowane są wektory AB Y AC.
Wektor AB jest wektorem, którego początek jest punktem A, a punktem końcowym jest punkt B. Współrzędne wektora AB są określane odpowiednio odejmując współrzędne B od współrzędnych A:
AB = (0–2) ja + (1–1) jot + (1–3) k = -2ja + 0jot -dwa k
Postępujemy w ten sam sposób, aby znaleźć wektor AC:
AC = (4–2) ja + (2-1) jot + (1–3) k = 2ja + jot -dwa k
Istnieje kilka procedur wyszukiwania produktu wektorowego między dwoma wektorami. W tym przykładzie zastosowano procedurę mnemoniczną, która wykorzystuje poniższy rysunek do znalezienia produktów wektorowych między wektorami jednostkowymi ja, jot Y k:
Na początek warto pamiętać, że iloczyn wektorowy między równoległymi wektorami jest zerowy, dlatego:
ja x ja = 0; jot x jot = 0; k x k = 0
A ponieważ iloczyn wektorowy jest innym wektorem prostopadłym do uczestniczących wektorów, poruszając się w kierunku czerwonej strzałki mamy:
ja x jot = k ; jot x k = ja; k x ja = jot
Jeśli musisz poruszać się w kierunku przeciwnym do strzałki, dodaj znak (-):
jot x ja = - k; k x jot = -ja; ja x k = -jot
W sumie za pomocą wektorów jednostkowych można stworzyć 9 iloczynów wektorowych ja, jot Y k, z czego 3 będą zerowe.
AB x AC = (-2ja + 0jot -dwa k) x (2ja + jot -dwa k) = -4 (ja x ja) -two (ja x jot) +4 (ja x k) +0 (jot x ja) + 0 (jot x jot) - 0 (jot x k) - 4 (k x ja) -two (k x jot) + 4 (k x k) = -2k-4jot-4jot+dwaja = 2ja -8jot-dwak
Wektor N został określony przez obliczony wcześniej iloczyn wektorowy:
N = dwaja -8jot-dwak
Zatem a = 2, b = -8, c = -2, poszukiwana płaszczyzna to:
ax + by + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0
Wartość re. Jest to łatwe, jeśli wartości któregokolwiek z dostępnych punktów A, B lub C zostaną podstawione do równania płaszczyzny. Na przykład wybierając C:
x = 4; y = 2; z = 1
Pozostaje:
2,4 - 8,2 - 2,1 + d = 0
-10 + d = 0
d = 10
Krótko mówiąc, poszukiwana mapa to:
2x-8y-2z +10 = 0
Dociekliwy czytelnik może się zastanawiać, czy ten sam wynik zostałby osiągnięty, gdyby zamiast tego zrobić AB x AC oni wybraliby efekt AC x AB. Odpowiedź brzmi: tak, płaszczyzna wyznaczona przez te trzy punkty jest unikalna i ma dwa wektory normalne, jak pokazano na rysunku 2.
Jeśli chodzi o punkt wybrany jako początek wektorów, nie ma problemu z wybraniem któregokolwiek z pozostałych dwóch.
Jeszcze bez komentarzy