Główny klasyfikacja liczb rzeczywistych jest podzielony na liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne i liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste są reprezentowane przez literę R..
Różne liczby rzeczywiste można skonstruować lub opisać na wiele sposobów, od prostszych do bardziej złożonych, w zależności od wykonywanej pracy matematycznej..
Liczby naturalne są reprezentowane przez literę (n) i są to liczby używane do obliczania (0, 1, 2, 3, 4…). Na przykład „jest piętnaście róże w ogrodzie ”,„ Ludność Meksyku jest 126 miliony osób ”lub„ Suma dwa Y dwa to jest cztery”. Należy zauważyć, że niektóre klasyfikacje zawierają 0 jako liczbę naturalną, a inne nie..
Liczby naturalne nie obejmują tych, które mają część dziesiętną. Dlatego „Populacja Meksyku jest 126,2 miliony ludzi ”lub„ To sprawia, że temperatura wynosi 24.5 stopnie Celsjusza ”nie można uznać za liczby naturalne.
W potocznym języku, jak na przykład w szkołach podstawowych, liczby naturalne można nazwać liczeniem, aby wykluczyć liczby całkowite ujemne i zero..
Liczby naturalne to podstawy, za pomocą których można zbudować wiele innych zbiorów liczb przez rozszerzenie: między innymi liczby całkowite, liczby wymierne, liczby rzeczywiste i liczby zespolone..
Właściwości liczb naturalnych, takie jak podzielność i rozkład liczb pierwotnych, są badane w teorii liczb. Problemy związane z liczeniem i porządkowaniem, takie jak wyliczanie i partycjonowanie, są badane w kombinatoryce.
Mają kilka właściwości, takich jak: dodawanie, mnożenie, odejmowanie, dzielenie itp..
Liczby naturalne mogą być porządkowe lub kardynalne.
Liczbami kardynalnymi byłyby te, które są używane jako liczby naturalne, jak wspomnieliśmy wcześniej w przykładach. "Mam dwa ciasteczka ”,„ Jestem ojcem trzy dzieci ”,„ Pudełko zawiera dwa kremy na prezenty ”.
Liczby porządkowe to takie, które wyrażają rozkaz lub wskazują pozycję. Na przykład w wyścigu kolejność przybycia biegaczy jest podana, zaczynając od zwycięzcy, a kończąc na ostatnim, który dotarł do mety..
W ten sposób zostanie powiedziane, że zwycięzcą jest „pierwszy”, następny „drugi”, następny „trzeci” i tak dalej, aż do ostatniego. Liczby te można przedstawić za pomocą litery w prawej górnej części, aby uprościć pisanie (1, 2, 3, 4 itd.).
Liczby całkowite składają się z tych liczb naturalnych i ich przeciwieństw, czyli liczb ujemnych (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). Podobnie jak liczby naturalne, te również nie obejmują tych, które mają część dziesiętną.
Przykładem liczb całkowitych byłoby „średnio 30º temu w Niemczech”, „Pod koniec miesiąca byłem na 0”, „Aby zejść do piwnicy, musisz nacisnąć przycisk -1 w windzie”.
Z kolei liczb całkowitych nie można zapisać ze składnikiem ułamkowym. Na przykład liczby takie jak 8,58 lub √2 nie są liczbami całkowitymi.
Całe liczby są reprezentowane przez literę (Z). Z jest podzbiorem grupy liczb wymiernych Q, które z kolei tworzą grupę liczb rzeczywistych R. Podobnie jak liczby naturalne, Z jest nieskończoną policzalną grupą.
Liczby całkowite tworzą najmniejszą grupę i najmniejszy zbiór liczb naturalnych. W algebraicznej teorii liczb liczby całkowite są czasami nazywane liczbami całkowitymi niewymiernymi, aby odróżnić je od liczb całkowitych algebraicznych..
Zbiór liczb wymiernych jest reprezentowany przez literę (Q) i zawiera wszystkie te liczby, które można zapisać jako ułamek liczb całkowitych.
Oznacza to, że ten zestaw zawiera liczby naturalne (4/1), liczby całkowite (-4/1) i dokładne liczby dziesiętne (15.50 = 1550/100).
Dziesiętne rozwinięcie liczby wymiernej zawsze kończy się po skończonej liczbie cyfr (np. 15,5) lub gdy ta sama skończona sekwencja cyfr zaczyna się powtarzać (np. 0,3456666666666666…). Dlatego w zbiorze liczb wymiernych znajdują się liczby. czyste gazety lub gazety mieszane.
Ponadto każde powtarzające się lub końcowe miejsce dziesiętne reprezentuje liczbę wymierną. Te stwierdzenia są prawdziwe nie tylko dla podstawy 10, ale także dla każdej innej podstawy całkowitej.
Liczba rzeczywista, która nie jest racjonalna, nazywana jest nieracjonalną. Liczby nieracjonalne obejmują na przykład √2, π i e. Ponieważ cały zbiór liczb wymiernych jest policzalny, a grupa liczb rzeczywistych nie jest policzalna, można powiedzieć, że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są niewymierne..
Liczby wymierne można formalnie zdefiniować jako klasy równoważności par liczb całkowitych (p, q) takie, że q ≠ 0 lub relacja równoważna określona przez (p1, q1) (p2, q2) tylko wtedy, gdy p1, q2 = p2q1.
Liczby wymierne wraz z dodawaniem i mnożeniem tworzą pola, które tworzą liczby całkowite i są zawarte w dowolnej gałęzi zawierającej liczby całkowite..
Liczby nieracjonalne to wszystkie liczby rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi; liczb niewymiernych nie można wyrazić w postaci ułamków. Liczby wymierne to liczby złożone z ułamków liczb całkowitych.
W konsekwencji dowodu Cantora, który mówi, że wszystkie liczby rzeczywiste są niepoliczalne, a liczby wymierne są policzalne, można wywnioskować, że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są niewymierne.
Gdy promień długości dwóch odcinków linii jest liczbą niewymierną, można powiedzieć, że te odcinki są niewspółmierne; co oznacza, że nie ma wystarczającej długości, aby każdy z nich mógł zostać „zmierzony” za pomocą wielokrotnej określonej liczby całkowitej tego samego.
Wśród liczb niewymiernych są promień π obwodu koła do jego średnicy, liczba Eulera (e), liczba złota (φ) i pierwiastek kwadratowy z dwóch; ponadto wszystkie pierwiastki kwadratowe liczb naturalnych są nieracjonalne. Jedynym wyjątkiem od tej reguły są idealne kwadraty..
Można zaobserwować, że gdy liczby niewymierne są wyrażane pozycyjnie w systemie liczbowym (jak na przykład w liczbach dziesiętnych), nie kończą się lub są powtarzane.
Oznacza to, że nie zawierają sekwencji cyfr, czyli powtórzenia, za pomocą którego tworzona jest linia reprezentacji.
Na przykład: dziesiętna reprezentacja liczby π zaczyna się od 3,14159265358979, ale nie ma skończonej liczby cyfr, które mogą dokładnie reprezentować π, ani nie można ich powtórzyć.
Dowód, że dziesiętne rozszerzenie liczby wymiernej musi się kończyć lub się powtarzać, różni się od dowodu, że rozszerzenie dziesiętne musi być liczbą wymierną; Chociaż testy te są podstawowe i dość długie, wymagają trochę pracy.
Matematycy zwykle nie przyjmują pojęcia „zakończenie lub powtórzenie” do zdefiniowania pojęcia liczby wymiernej..
Liczby nieracjonalne można również traktować za pomocą ułamków nieciągłych.
Jeszcze bez komentarzy