Długość cięciwy (geometria), twierdzenie i ćwiczenia

ZA strunowy, w geometrii płaskiej jest to odcinek linii łączący dwa punkty na krzywej. Mówi się, że linia zawierająca ten odcinek jest sieczną linią do krzywej. Często jest to okrąg, ale akordy z pewnością można narysować na wielu innych krzywych, takich jak elipsy i parabole..

Na rysunku 1 po lewej stronie jest krzywa, do której należą punkty A i B. Cięciwa między A i B to odcinek zielony. Po prawej jest obwód i jeden z jego sznurków, ponieważ można rysować w nieskończoność.

Na obwodzie szczególnie interesująca jest jego średnica, zwana też akord durowy. Jest to cięciwa, która zawsze zawiera środek obwodu i mierzy dwukrotnie większy promień.

Poniższy rysunek przedstawia promień, średnicę, cięciwę, a także łuk koła. Prawidłowe zidentyfikowanie każdego z nich jest ważne podczas rozwiązywania problemów.

Indeks artykułów

• 1 cięciwa w obwodzie
  • 1.1 Twierdzenie o strunach 
• 2 Rozwiązane ćwiczenia strun
  • 2.1 - Ćwiczenie 1
  • 2.2 - Ćwiczenie 2
• 3 Odnośniki

Cięciwa w obwodzie

Długość cięciwy w okręgu możemy obliczyć na podstawie rysunków 3a i 3b. Zauważ, że trójkąt jest zawsze tworzony z dwóch równych boków (równoramiennych): segmentów OA i OB, które mierzą R, promień obwodu. Trzeci bok trójkąta to odcinek AB, zwany C, który jest dokładnie długością cięciwy.

Konieczne jest narysowanie linii prostopadłej do cięciwy C, aby przeciąć kąt θ istniejący między dwoma promieniami i którego wierzchołek jest środkiem O obwodu. To jest kąt centralny -ponieważ jego wierzchołek jest środkiem, a dwusieczna jest również sieczną obwodu.

Natychmiast powstają dwa trójkąty prostokątne, których przeciwprostokątna mierzy R. Ponieważ dwusieczna, a wraz z nią średnica, dzieli cięciwę na dwie równe części, okazuje się, że jedna z nóg ma połowę C, jak pokazano na rysunku 3b.

Z definicji sinusa kąta:

sin (θ / 2) = przeciwległa noga / przeciwprostokątna = (C / 2) / R

W związku z tym:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Twierdzenie o strunach 

Twierdzenie o strunach wygląda następująco:

Jeśli jakiekolwiek dwa akordy koła przecinają się w punkcie, iloczyn długości odcinków, które pojawiają się na jednym z pasów, jest równy iloczynowi długości odcinków zdefiniowanych na drugim cięciwie..

Poniższy rysunek przedstawia dwa akordy o tym samym obwodzie: AB i CD, które przecinają się w punkcie P. W cięciwie AB zdefiniowane są odcinki AP i PB, natomiast w cięciwie CD zdefiniowane są CP i PD. A więc zgodnie z twierdzeniem:

AP. PB = CP. P.S.

Rozwiązane ćwiczenia strun

- Ćwiczenie 1

Obwód ma cięciwę 48 cm, czyli 7 cm od środka. Oblicz obszar koła i obwód obwodu.

Rozwiązanie  

Aby obliczyć pole koła A, wystarczy znać promień obwodu do kwadratu, ponieważ to prawda:

A = π.R^dwa

Teraz figura utworzona na podstawie dostarczonych danych jest trójkątem prostokątnym, którego nogi mają odpowiednio 7 i 24 cm.

Dlatego, aby znaleźć wartość R.^dwa twierdzenie Pitagorasa jest stosowane bezpośrednio c^dwa = a^dwa + b^dwa, ponieważ R jest przeciwprostokątną trójkąta:

R^dwa = (7 cm)^dwa + (24 cm)^dwa = 625 cm^dwa

Tak więc żądany obszar to:

A = π. 625 cm^dwa = 1963,5 cm^dwa

Jeśli chodzi o obwód lub długość L obwodu, oblicza się go ze wzoru:

L = 2π. R

Zastępowanie wartości:

R = √625 cm^dwa = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Ćwiczenie 2

Określ długość cięciwy koła, którego równanie jest następujące:

x^dwa + Y^dwa - 6x - 14 lat -111 = 0

Wiadomo, że współrzędne punktu środkowego cięciwy to P (17/2; 7/2).

Rozwiązanie

Środek cięciwy P nie należy do obwodu, ale punkty końcowe cięciwy tak. Problem można rozwiązać za pomocą wcześniej podanego twierdzenia o strunach, ale najpierw wygodnie jest zapisać równanie obwodu w postaci kanonicznej, aby określić jego promień R i jego środek O.

Krok 1: uzyskaj kanoniczne równanie obwodu

Równanie kanoniczne koła ze środkiem (h, k) to:

(x-h)^dwa + (y-k)^dwa = R.^dwa

Aby go uzyskać, konieczne jest wypełnienie kwadratów:

(x^dwa - 6x) + (i^dwa - 14 lat) -111 = 0

Zauważ, że 6x = 2. (3x) i 14y = 2. (7y), więc poprzednie wyrażenie zostało przepisane w ten sposób, pozostając niezmienione:

(x^dwa - 6x + 3^dwa-3^dwa) + (i^dwa - 14 lat + 7^dwa-7^dwa) -111 = 0

A teraz, pamiętając definicję niezwykłego produktu (a-b)^dwa = a^dwa - 2ab + b^dwa Można napisać:

(x - 3)^dwa - 3^dwa + (i - 7)^dwa - 7^dwa - 111 = 0

= (x - 3)^dwa + (i - 7)^dwa = 111 + 3^dwa + 7^dwa → (x - 3)^dwa + (i - 7)^dwa = 169

Obwód ma środek (3,7) i promień R = √169 = 13. Poniższy rysunek przedstawia wykres obwodu i cięciwy, które zostaną użyte w twierdzeniu:

Krok 2: określ segmenty do użycia w twierdzeniu o strunach

Segmenty, które mają być użyte, to struny CD i AB, zgodnie z rysunkiem 6, oba są cięte w punkcie P, dlatego:

CP. PD = AP. PB

Teraz znajdziemy odległość między punktami O i P, ponieważ da nam to długość odcinka OP. Jeśli dodamy promień do tej długości, otrzymamy odcinek CP.

Odległość d_OP między dwoma punktami współrzędnych (x₁,Y₁) i (x_dwa,Y_dwa) to jest:

re_OP^dwa = OP^dwa = (x_dwa - x₁)^dwa + (Y_dwa - Y₁)^dwa = (3- 17/2)^dwa + (7/7/2)^dwa = 121/4 + 49/4 = 170/4

re_OP = OP = √170 / 2

Na podstawie wszystkich uzyskanych wyników oraz wykresu konstruujemy następującą listę segmentów (patrz rysunek 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = długość cięciwy

Podstawiając twierdzenie o strunach:

CP. PD = AP. PB = [(13 + √170 / 2). (13 -√170 / 2)] = AP^dwa

[169–170/4] = AP^dwa

253/2 = AP^dwa

AP = √ (253/2)

Długość cięciwy wynosi 2, AP = 2 (√253 / 2) = √506

Czy czytelnik mógłby rozwiązać problem w inny sposób?

Bibliografia

1. Baldor, A. 2004. Geometria płaszczyzny i przestrzeni z trygonometrią. Publicaciones Cultural S.A. de C.V. Meksyk.
2. C-K12. Długość akordu. Odzyskany z: ck12.org.
3. Escobar, J. Obwód. Odzyskany z: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Odzyskany z: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Lina (geometria). Odzyskane z: es.wikipedia.org.