Wzór równań II stopnia, sposoby ich rozwiązywania, przykłady, ćwiczenia

Plik równania kwadratowe lub kwadratowe a nieznane mają postać topór^dwa + bx + c = 0. Gdzie a ≠ 0, ponieważ gdyby było 0, równanie byłoby przekształcone w równanie liniowe, a współczynniki a, b i c są liczbami rzeczywistymi.

Nieznaną do ustalenia jest wartość x. Na przykład równanie 3x^dwa - 5x + 2 = 0 to kompletne równanie kwadratowe.

Istnieją również warianty, które są znane jako niekompletne równania drugiego stopnia, w których brakuje któregokolwiek z wyrażeń, z wyjątkiem wyrażenia topór^dwa. Oto kilka przykładów:

x^dwa - 25 = 0

3x^dwa - 5x = 0

Al Juarismi, słynny arabski matematyk starożytności, opisywał w swoich pracach różne typy równań pierwszego i drugiego stopnia, ale tylko dodatnimi współczynnikami. Jednak to francuski matematyk Francois Viete jako pierwszy wprowadził litery symbolizujące ilości i zaproponował rozwiązanie za pomocą wzoru zdecydowany:

To jest ogólny wzór, który pozwala rozwiązać równanie kwadratowe, znaleźć jego pierwiastki lub zera, nawet jeśli rozwiązania nie są prawdziwe. Istnieją również inne sposoby ich rozwiązania.

Indeks artykułów

• 1 Jak rozwiązywać równania kwadratowe?
  • 1.1 Rozstrzygnięcie faktoringowe
  • 1.2 Metoda graficzna
  • 1.3 Rozdzielczość z kalkulatorem naukowym
  • 1.4 Rozróżniacz równania kwadratowego
• 2 Przykłady prostych równań kwadratowych
  • 2.1 Równanie w postaci x2 + mx + n = 0
  • 2.2 Niepełne równanie postaci ax2 + c = 0
  • 2.3 Niepełne równanie postaci ax2 + bx = 0
  • 2.4 Równania z mianownikiem
  • 2.5 Równania wyższego rzędu, które stają się kwadratowe
• 3 proste rozwiązane ćwiczenia
  • 3.1 - Ćwiczenie 1
  • 3.2 - Ćwiczenie 2
  • 3.3 - Ćwiczenie 3
• 4 Odnośniki

Jak rozwiązywać równania kwadratowe?

Równania drugiego stopnia można rozwiązać za pomocą podanego powyżej wzoru, a istnieją również inne procedury algebraiczne, które mogą dać wynik w niektórych równaniach.

Rozwiążemy równanie zaproponowane na początku za pomocą wzoru, poprawnej metody dla dowolnego równania kwadratowego z jednym niewiadomym:

3x^dwa - 5x + 2 = 0

Aby poprawnie użyć wzoru, zauważamy, że:

• do jest współczynnikiem terminu z x^dwa
• b jest współczynnikiem terminu liniowego
• do jest terminem niezależnym.

Zidentyfikujemy je na podstawie tego samego równania:

a = 3

b = -5

c = 2

Zwróć uwagę, że należy wziąć pod uwagę znak, który towarzyszy współczynnikowi. Teraz podstawiamy te wartości we wzorze:

W liczniku znajduje się symbol „plus - minus” ±, co oznacza, że ​​wielkość z pierwiastkiem można przyjąć zarówno jako dodatnią, jak i ujemną. Równanie kwadratowe ma co najwyżej dwa rzeczywiste rozwiązania i ten symbol bierze to pod uwagę.

Nazwijmy x₁ i x_dwa do tych dwóch rozwiązań, to:

x₁ = (5 + 1) / 6 = 1

x_dwa = (5-1) / 6 = 4/6 = 2/3

Rozdzielczość przez faktoring

Niektóre równania drugiego stopnia składają się z trójmianów, które można łatwo rozłożyć na czynniki. Jeśli tak, ta metoda jest znacznie szybsza. Rozważmy równanie:

x^dwa + 7x - 18 = 0

Faktoryzacja ma następującą postać:

(x +) ⋅ (x -)

Puste miejsca są wypełniane dwiema liczbami, które po pomnożeniu dają 18, a po odjęciu dają 7. Znaki w nawiasach są wybierane według tego kryterium:

-W pierwszym nawiasie znak jest umieszczony między pierwszym a drugim wyrazem.

-A w drugim nawiasie jest to iloczyn widocznych znaków.

Jeśli chodzi o liczby, w tym przypadku są one łatwe do oceny: są to 9 i 2. Największa jest zawsze umieszczana w pierwszym z nawiasów, na przykład:

x^dwa + 7x - 18 = (x + 9). (x - 2)

Czytelnik może zweryfikować za pomocą własności rozdzielczej, że przy opracowywaniu iloczynu prawej strony równości uzyskuje się trójmian lewej strony. Teraz równanie zostało przepisane:

(x + 9) ⋅ (x - 2) = 0

Aby równość została spełniona, wystarczy, że jeden z dwóch czynników wynosi zero. Więc w pierwszym musisz zrobić x₁ = -9 lub może się zdarzyć, że drugi czynnik zniknie, w takim przypadku x_dwa = 2. To są rozwiązania równania.

Metoda graficzna

Korzenie lub rozwiązania równania kwadratowego odpowiadają przecięciom paraboli y = topór^dwa + bx + c z osią poziomą lub osią x. Zatem podczas tworzenia wykresu odpowiedniej paraboli znajdziemy rozwiązanie równania kwadratowego, wykonując y = 0.

Cięcia paraboli z osią poziomą przedstawiają rozwiązania równania topór^dwa + bx + c = 0. Parabola, która przecina oś poziomą tylko w jednym punkcie, ma pojedynczy pierwiastek i zawsze będzie to wierzchołek paraboli.

I wreszcie, jeśli parabola nie przecina osi poziomej, odpowiednie równanie topór^dwa + bx + c = 0 brakuje prawdziwych rozwiązań.

Ręczne tworzenie wykresów może być pracochłonne, ale przy użyciu programów tworzących wykresy online jest bardzo proste.

Rozdzielczość z kalkulatorem naukowym

Wiele modeli kalkulatorów naukowych ma opcję rozwiązywania równań kwadratowych (a także innych typów równań). Aby się dowiedzieć, musisz zajrzeć do menu.

Po wybraniu równania kwadratowego jednej nieznanej opcji menu prosi o wprowadzenie wartości współczynników a, b i c oraz zwraca rzeczywiste rozwiązania, jeśli istnieją. Istnieją również modele kalkulatorów naukowych, które działają na liczbach zespolonych i oferują takie rozwiązania.

Dyskryminator równania kwadratowego

Aby dowiedzieć się, czy równanie ma rzeczywiste rozwiązania, czy nie i ile ich jest, bez konieczności wcześniejszego rozwiązywania, dyskryminator Δ jest definiowany jako wielkość pod pierwiastkiem kwadratowym:

Δ = b^dwa - 4ac

Zgodnie ze znakiem dyskryminatora wiadomo, ile rozwiązań ma równanie według tego kryterium:

-Dwa rzeczywiste rozwiązania: Δ> 0

-Rzeczywiste rozwiązanie (lub dwa identyczne rozwiązania): Δ = 0

-Brak prawdziwego rozwiązania: Δ  < 0

Na przykład, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe -7x^dwa +12x + 64 = 0? Identyfikujemy współczynniki:

a = -7

b = 12

c = 64

Δ = b^dwa - 4ac = 12^dwa - 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

Równanie ma dwa rozwiązania. Teraz zobaczmy to drugie:

x^dwa - 6x + 9 = 0

a = 1

b = -6

c = 9

Δ = (-6)^dwa - 4 x 1 x 9 = 36 - 36 = 0

To jest równanie z jednym rozwiązaniem lub dwoma równymi rozwiązaniami.

Przykłady prostych równań kwadratowych

Na początku powiedzieliśmy, że równania drugiego stopnia mogą być kompletne, jeśli trójmian jest, i niekompletne, jeśli brakuje członu liniowego lub członu niezależnego. Przyjrzyjmy się teraz niektórym konkretnym typom:

Równanie postaci x^dwa + mx + n = 0

W tym przypadku a = 1, a wzór sprowadza się do:

W przypadku tego typu równania i zawsze w zależności od pozostałych współczynników metoda faktoringu może się dobrze sprawdzić, jak widzieliśmy w poprzedniej sekcji.

Niekompletne równanie formy topór^dwa + c = 0

Rozwiązanie, jeśli istnieje, ma postać:

Istnieje prawdziwe rozwiązanie, gdy a lub c mają znak ujemny, ale jeśli dwa wyrazy mają ten sam znak, rozwiązanie będzie urojone.

Niekompletne równanie formy topór^dwa + bx = 0

To równanie można szybko rozwiązać za pomocą faktoringu, ponieważ x jest wspólnym czynnikiem w obu terminach. Jedno z rozwiązań jest zawsze x = 0, drugie znajduje się w ten sposób:

topór^dwa + bx = 0

x (topór + b) = 0

ax + b = 0 → x = -b / a

Zobaczmy przykład poniżej. Uporządkować:

x^dwa - 5x = 0

x (x - 5) = 0

Dlatego x₁ = 0 i x_dwa = 5

Równania z mianownikiem

Istnieją różne równania typu racjonalnego, w których nieznane może występować zarówno w liczniku, jak iw mianowniku, a nawet tylko w tym drugim, i które za pomocą manipulacji algebraicznych sprowadza się do równań kwadratowych.

Sposobem na ich rozwiązanie jest pomnożenie obu stron równości przez najmniejszą wspólną wielokrotność lub m.c. m mianowników, a następnie przestawienie wyrażeń. Na przykład:

Równania wyższego rzędu, które stają się kwadratowe

Istnieją równania wyższego rzędu, które można rozwiązać tak, jakby były kwadratowe za pomocą zmiany zmiennej, na przykład to równanie bi-kwadrat:

x⁴ - 10x^dwa + 9 = 0

Niech x^dwa = u, wówczas równanie staje się:

lub^dwa - 10u + 9 = 0

To równanie jest szybko rozwiązywane przez rozkładanie na czynniki, znajdowanie dwóch liczb, które pomnożyły się przez 9 i dodały 10. Te liczby to 9 i 1:

(u - 9). (u - 1) = 0

Dlatego rozwiązania tego równania są u₁ = 9 i u_dwa = 1. Teraz zwracamy zmianę:

x^dwa = 9 → x₁ = 3 i x_dwa = -3

x^dwa = 1 → x₁ = 1 i x_dwa = -1

Oryginalne równanie jest rzędu 4, dlatego ma co najmniej 4 pierwiastki. Ten w przykładzie to -3, -1, 1 i 3.

Proste ćwiczenia rozwiązane

- Ćwiczenie 1

Rozwiąż następujące równanie kwadratowe z nieznanym w mianowniku:

Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest x (x + 2) i musisz pomnożyć wszystkie wyrazy:

Równoważne wyrażenie pozostaje:

5x (x + 2) - x = x (x + 2)

Rozwijamy:

5x^dwa + 10x - x = x^dwa + 2x

Wszystkie terminy są transponowane na lewo od równości, a na prawo zostawiamy 0:

5x^dwa + 10x - x - x^dwa - 2x = 0

4x^dwa - 7x = 0

Rozważamy, ponieważ jest to niepełne równanie:

x (4x - 7) = 0

Jedno z rozwiązań to x = 0, drugie to:

4x = 7

x = 7/4

- Ćwiczenie 2

Znajdź rozwiązanie równań kwadratowych:

a) -7x^dwa +12x + 64 = 0

b) x^dwa - 6x + 9 = 0

Rozwiązanie

Z tego równania znamy wyznacznik Δ, ponieważ został on obliczony wcześniej jako przykład, więc skorzystamy z niego, wyrażając wzór na rozwiązanie w następujący sposób:

x₁ = (-12 + 44) / -14 = - (32/14) = - (16/7)

x_dwa = (-12 - 44) / -14 = 4

Rozwiązanie b

Kwadratowy trójmian x^dwa - 6x + 9 jest rozkładalne, ponieważ jest idealnym kwadratowym trójmianem:

x^dwa - 6x + 9 = (x-3)^dwa = 0

Rozwiązanie tego równania to x = 3.

- Ćwiczenie 3

Jakie jest równanie, którego rozwiązania wynoszą 3 i 4?

Rozwiązanie

Wyrażenie faktoryzowane to:

(x - 3) ⋅ (x - 4) = 0

Stosowanie własności rozdzielczej:

x^dwa - 4x -3x + 12 = 0

Dwa główne terminy są podobne i można je skrócić, pozostawiając:

x^dwa - 7x + 12 = 0

Bibliografia

1. Baldor. 1977. Algebra elementarna. Wenezuelskie wydania kulturalne.
2. Hoffman, J. Wybór tematów matematyki. Głośność 2.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
4. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5. Wydanie. Cengage Learning.
5. Zapata, F. 4 sposoby rozwiązania równania kwadratowego. Odzyskany z: francesphysics.blogspot.com.
6. Zill, D. 1984. Algebra i trygonometria. Mcgraw hill.