Plik elipsoida jest powierzchnią w przestrzeni należącą do grupy powierzchni kwadratowych i której ogólne równanie ma postać:
Topórdwa + Przezdwa + Czdwa + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Jest to trójwymiarowy odpowiednik elipsy, charakteryzujący się eliptycznymi i kołowymi śladami w niektórych szczególnych przypadkach. Ślady to krzywe otrzymane przez przecięcie elipsoidy z płaszczyzną.
Oprócz elipsoidy istnieje jeszcze pięć quadric: jednopłytkowy i dwuwarstwowy hiperboloid, dwa typy paraboloidy (hiperboliczny i eliptyczny) oraz stożek eliptyczny. Jego ślady są również stożkowe.
Elipsoidę można również wyrazić za pomocą standardowego równania we współrzędnych kartezjańskich. Elipsoida wyśrodkowana w punkcie początkowym (0,0,0) i wyrażona w ten sposób przypomina elipsę, ale z dodatkowym określeniem:
Wartości do, b Y do są liczbami rzeczywistymi większymi od 0 i reprezentują trzy półosi elipsoidy.
Indeks artykułów
Standardowe równanie we współrzędnych kartezjańskich dla elipsy wyśrodkowanej w punkcie (h, k, m) to jest:
We współrzędnych sferycznych elipsoidę można opisać następująco:
x = grzech θ. cos φ
y = b sin θ. sen φ
z = c cos θ
Półosie elipsoidy pozostają a, b i c, podczas gdy parametrami są kąty θ i φ z poniższego rysunku:
Ogólne równanie powierzchni w przestrzeni to F (x, y, z) = 0, a ślady powierzchni to krzywe:
- x = c; F (c, y, z) = 0
- y = c; F (x, c, z) = 0
- z = c; F (x, y, c) = 0
W przypadku elipsoidy takie krzywe są elipsami, a czasem okręgami.
Objętość V elipsoidy jest wyrażona jako (4/3) π razy iloczyn jej trzech półosi:
V = (4/3) π. ABC
-Elipsoida staje się kulą, gdy wszystkie półosie mają ten sam rozmiar: a = b = c ≠ 0. Ma to sens, ponieważ elipsoida jest jak kula rozciągnięta w różny sposób wzdłuż każdej osi..
-Sferoida to elipsoida, w której dwie z półosi są identyczne, a trzecia jest inna, na przykład może to być a = b ≠ c.
Sferoida jest również nazywana elipsoidą obrotu, ponieważ można ją wygenerować, obracając elipsy wokół osi.
Jeśli oś obrotu pokrywa się z główną osią, sferoida jest wydłużony, ale jeśli pokrywa się z mniejszą osią, to jest oblat:
Miarą spłaszczenia sferoidy (eliptyczności) jest różnica długości między dwiema półosiami, wyrażona w postaci ułamkowej, to znaczy jest to spłaszczenie jednostkowe, wyrażone wzorem:
f = (a - b) / a
W tym równaniu a reprezentuje półoś dużą, b zaś półoś małą, pamiętaj, że trzecia oś jest równa jednej z osi sferoidy. Wartość f mieści się w przedziale od 0 do 1, a dla sferoidy musi być większa niż 0 (gdyby była równa 0, mielibyśmy po prostu kulę).
Planety i gwiazdy na ogół nie są idealnymi kulami, ponieważ ruch obrotowy wokół ich osi spłaszcza ciało na biegunach i wybrzusza je na równiku..
Dlatego Ziemia okazuje się być jak spłaszczona sferoida, choć nie tak przesadna jak ta na poprzednim rysunku, a ze swej strony gazowy gigant Saturn jest najbardziej płaską z planet Układu Słonecznego..
Tak więc bardziej realistycznym sposobem przedstawiania planet jest założenie, że są one podobne do sferoidy lub elipsoidy obrotowej, której półoś wielka to promień równikowy, a pół-mała oś to promień biegunowy..
Staranne pomiary wykonane na kuli ziemskiej umożliwiły zbudowanie elipsoida odniesienia Ziemi jako najbardziej precyzyjnego sposobu matematycznego przetwarzania.
Gwiazdy mają również ruchy obrotowe, które nadają im mniej lub bardziej spłaszczone kształty. Szybka gwiazda Achernar, ósma najjaśniejsza gwiazda nocnego nieba, w południowej konstelacji Eridanus, jest w porównaniu do większości niezwykle eliptyczna. To jest 144 lata świetlne od nas.
Z drugiej strony, kilka lat temu naukowcy odkryli najbardziej kulisty obiekt, jaki kiedykolwiek znaleziono: gwiazdę Kepler 11145123, oddaloną o 5000 lat świetlnych, dwukrotnie większą od naszego Słońca i różnicą między półosiami wynoszącą zaledwie 3 km. Zgodnie z oczekiwaniami obraca się również wolniej.
Jeśli chodzi o Ziemię, nie jest to również idealna sferoida ze względu na jej nierówną powierzchnię i lokalne zmiany grawitacji. Dlatego jest dostępnych więcej niż jedna sferoida odniesienia, a dla każdego miejsca wybierana jest najbardziej odpowiednia dla lokalnej geografii..
Pomoc satelitów jest nieoceniona w tworzeniu coraz dokładniejszych modeli kształtu Ziemi, dzięki nim wiadomo np., Że biegun południowy jest bliżej równika niż biegun północny..
W wyniku obrotu Ziemi generowana jest siła odśrodkowa, która nadaje jej kształt podłużnej elipsoidy zamiast kuli. Wiadomo, że promień równikowy Ziemi wynosi 3963 mil, a promień biegunowy 3942 mil..
Znajdź równanie śladu równikowego, równanie tej elipsoidy i miarę jej spłaszczenia. Porównaj również z eliptycznością Saturna, z danymi podanymi poniżej:
-Równikowy promień Saturna: 60268 km
-Promień polarny Saturn: 54364 km
Wymagany jest układ współrzędnych, który przyjmiemy, że jest wyśrodkowany na początku (środek Ziemi). Zakładamy, że pionowa oś z i ślad odpowiadający równikowi leży na płaszczyźnie xy, równoważnej płaszczyźnie z = 0.
W płaszczyźnie równikowej półosie a i b są równe, stąd a = b = 3963 mil, podczas gdy c = 3942 mil. Jest to szczególny przypadek: sferoida wyśrodkowana w punkcie (0,0,0), jak podano powyżej.
Ślad równikowy to okrąg o promieniu R = 3963 mil, którego środkiem jest początek. Oblicza się go, wykonując z = 0 w standardowym równaniu:
A standardowe równanie ziemskiej elipsoidy to:
fa Wylądować = (a - b) / a = (3963-3942) mil / 3963 mil = 0,0053
fa Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980
Zauważ, że eliptyczność f jest wielkością bezwymiarową.
Jeszcze bez komentarzy