Wzór i równania na błąd losowy, obliczenia, przykłady, ćwiczenia

Plik błąd losowy wielkości fizycznej składa się z nieprzewidywalnych zmian miary tej wielkości. Te zmiany mogą być wywołane przez mierzone zjawisko, przyrząd pomiarowy lub przez samego obserwatora..

Taki błąd nie wynika z tego, że podczas eksperymentu zrobiono coś źle, ale jest błędem nieodłącznym w procesie pomiaru lub badanym zjawisku. Powoduje to, że mierzona wielkość jest czasami trochę wyższa, a czasami trochę mniejsza, ale zwykle oscyluje wokół wartości centralnej..

W przeciwieństwie do błędu przypadkowego, błąd systematyczny może być spowodowany złą kalibracją lub nieodpowiednim współczynnikiem skali w przyrządzie pomiarowym, a nawet awarią wyposażenia eksperymentalnego lub nieodpowiednią obserwacją, która powoduje odchylenie w tym samym kierunku..

Rysunek 1 ilustruje różnicę między systematycznym i przypadkowym błędem w grze polegającej na rzucaniu rzutkami w cel z kółkami..

W przypadku lewej strzałki są skoncentrowane wokół punktu oddalonego od środka. Wyrzutnia tych rzutek, choć celna, ma systematyczną awarię, być może pochodzenia wizualnego, lub w sposobie rzucania.

Z drugiej strony wyrzutnia po prawej (na rysunku 1) ma duży rozrzut wokół celu centralnego, dlatego jest to wyrzutnia bardzo nieprecyzyjna, słabo wycelowana, która mimowolnie popełnia przypadkowy błąd..

Indeks artykułów

• 1 Wzory i równania z błędem losowym
  • 1.1 Wartość średnia i odchylenie standardowe
• 2 Jak obliczyć błąd przypadkowy?
• 3 Przykłady błędu losowego
  • 3.1 Pomiar długości za pomocą taśmy mierniczej lub linijki
  • 3.2 Prędkość wiatru
  • 3.3 Podczas odczytywania objętości na wyskalowanej butli
  • 3.4 Podczas pomiaru wzrostu dziecka
  • 3.5 Podczas korzystania z wagi łazienkowej
• 4 Ćwiczenie rozwiązane
  • 4.1 Rozwiązanie
• 5 Referencje

Wzory i równania z błędem losowym

W przypadku zaobserwowania błędu losowego w procesie pomiarowym konieczne jest kilkukrotne powtórzenie pomiaru, gdyż ze statystycznego punktu widzenia im większa liczba pomiarów, tym mniejszy błąd ostatecznej estymaty pomiaru..

Oczywiście w każdym pomiarze należy zadbać o to, aby warunki w jakich są przeprowadzane były zawsze takie same.

Załóżmy, że pomiar zostanie powtórzony n czasy. Ponieważ w każdym pomiarze występuje błąd losowy, będzie on miał nieco inną wartość. Załóżmy, że zbiór n pomiary to:

x₁, x_dwa, x₃,..., x_n

Więc jaką wartość zgłosić dla miary? 

Średnia wartość i odchylenie standardowe

Plik średnia wartość lub średni zbioru miar, które oznaczamy i jest obliczany w następujący sposób:

= (x₁ + x_dwa + x₃ +… + X_n) / n

Odchylenie standardowe

Jednak wynik ten ma margines błędu określony przez odchylenie standardowe. Aby to zdefiniować, musisz najpierw poznać odchylenie, a następnie wariancję:

-Odchylenie re_ja  co ma każda mierzona wartość xi w stosunku do wartości średniej to jest:

re_ja = x_ja -

Gdyby obliczyć średnią odchyleń, otrzymano by ją systematycznie = 0, tak jak: 

= (d₁ + re_dwa + re₃ +… + D_n) / n =

= [(x₁ - ) + (x_dwa - ) +… + (X_n - )] / n

= (x₁+ x_dwa +… + X_n) / n - n / n = - = 0

-Średnia odchyleń nie jest przydatna do poznania rozproszenia miar. Z drugiej strony, średnia wartość kwadratu odchyleń lub wariancji, oznaczona przez σ^dwa, Jeśli to jest.

Obliczany jest według następującego wzoru:

σ^dwa = (d₁^dwa + re_dwa^dwa +…. + D_n^dwa ) / (n -1)

W statystykach wielkość ta nazywana jest zmienność.  

A pierwiastek kwadratowy z wariancji jest znany jako odchylenie standardowe σ:

σ = √ [(d₁^dwa + re_dwa^dwa +…. + D_n^dwa ) / (n -1)] 

Odchylenie standardowe σ mówi nam, że:

1. - 68% wykonanych pomiarów mieści się w przedziale [ - σ , + σ]. 

2. - 95% pomiarów odbywa się w interwale [ - 2σ , + 2σ].

3. - 99,7% wykonanych pomiarów mieści się w zakresie [ - 3σ , + 3σ].

Jak obliczyć przypadkowy błąd?

Wynik pomiaru to średnia wartość z n pomiary oznaczone i jest obliczany według następującego wzoru:

= (∑x_ja) / n

jednak Nie jest to „dokładna” wartość pomiaru, ponieważ ma wpływ błąd losowy ε, który jest obliczany w ten sposób:

ε = σ / √n

Gdzie:

σ = √ [(∑ (xi - )^dwa ) / (n -1)]

Końcowy wynik pomiaru należy podać w jeden z następujących sposobów:

1. ± σ / √n = ± ε z poziomem ufności 68%.
2. ± 2σ / √n = ± 2ε z poziomem ufności 95%.
3. ± 3σ / √n = ± 3ε z poziomem ufności 99,7%.

Błąd losowy wpływa na ostatnią znaczącą wartość pomiaru, która generalnie pokrywa się z oceną instrumentu pomiarowego. Jeśli jednak błąd losowy jest bardzo duży, odchylenie może mieć wpływ na dwie ostatnie znaczące cyfry..

Przykłady błędów losowych

Przypadkowe błędy mogą pojawić się w różnych przypadkach, gdy wykonywany jest pomiar:

Mierzenie długości za pomocą taśmy mierniczej lub linijki

Gdy długość jest mierzona za pomocą linijki lub taśmy mierniczej, a odczyty mieszczą się między znakami na skali, szacowana jest ta wartość pośrednia.

Czasami oszacowanie ma nadmiar, a innym razem wadę, przez co do procesu pomiaru wprowadzany jest przypadkowy błąd.

Prędkość wiatru

Podczas pomiaru prędkości wiatru mogą wystąpić zmiany odczytu z jednej chwili na drugą, ze względu na zmieniający się charakter zjawiska..

Podczas odczytywania objętości na wyskalowanym cylindrze

Gdy objętość odczytywana jest cylindrem miarowym, nawet próbując zminimalizować błąd paralaksy, za każdym razem, gdy jest mierzona, kąt obserwacji łąkotki nieznacznie się zmienia, dlatego pomiary obarczone są przypadkowym błędem.

Podczas pomiaru wzrostu dziecka

Podczas pomiaru wzrostu dziecka, zwłaszcza jeśli jest trochę niespokojne, wprowadza drobne zmiany postawy nieznacznie zmieniając odczyt.

Podczas korzystania z wagi łazienkowej

Kiedy chcemy zmierzyć swoją wagę za pomocą wagi łazienkowej, niewielka zmiana punktu podparcia, nawet zmiana postawy, może losowo wpłynąć na pomiar..

Ćwiczenie rozwiązane

Zabawkowy wózek może toczyć się po prostym i pochyłym torze, a czas potrzebny do przejechania całego toru jest mierzony stoperem. 

Pomiar wykonuje się 11 razy, zwracając uwagę, aby zawsze wypuszczać wózek z tego samego miejsca, bez nadawania mu żadnego impulsu i utrzymując stałe nachylenie..

Zestaw uzyskanych wyników to:

3,12 s 3,09 s 3,04 s 3,04 s 3,10 s 3,08 s 3,05 s 3,10 s 3,11 s 3,06 s, 3,03 s

Jaki jest przypadkowy błąd pomiarów?

Rozwiązanie

Jak widać, uzyskane wyniki nie są unikalne i różnią się nieznacznie..

Pierwszą rzeczą jest obliczenie średniej wartości czasu opadania, uzyskując 3,074545455 sekund.

Nie ma sensu zachować tak wielu miejsc po przecinku, ponieważ każdy pomiar ma trzy cyfry znaczące, a druga cyfra dziesiętna każdego pomiaru jest niepewna, ponieważ znajduje się na granicy oceny stopera, dlatego wynik zaokrągla się do dwóch miejsc po przecinku:

= 3,08 s.

Gdy kalkulator pracuje w trybie statystycznym, odchylenie standardowe wynosi σ = 0,03 s a standardowy błąd to σ / √11 = 0,01 s. Ostateczny wynik wyraża się następująco:

Czas zejścia 

3,08 s ± 0,01 s (z poziomem ufności 68%)

3,08 s ± 0,02 s (z 95% poziomem ufności)

3,08 s ± 0,03 s (z poziomem ufności 99,7%)

Bibliografia

1. Canavos, G. 1988. Prawdopodobieństwo i statystyka: zastosowania i metody. Mcgraw hill.
2. Devore, J. 2012. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauki. 8th. Wydanie. Cengage.
3. Helmenstine A.Losowy błąd vs. błąd systematyczny. Odzyskany z: thinkco.com
4. Laredo, E. Błędy w mediach. Odzyskany z: usb.ve.
5. Levin, R. 1988. Statystyka dla administratorów. 2nd. Wydanie. Sala Prentice.