Plik matematyczna nadzieja lub oczekiwana wartość zmienna losowa X oznacza się jako E (X) i definiuje się jako sumę iloczynu między prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia losowego a wartością tego zdarzenia.
W formie matematycznej wyraża się następująco:
μ = E (X) = ∑ xja. P (xja) = x1.P (x1) + xdwa.P (xdwa) + x3.P (x3) + ...
Gdzie xja jest wartością zdarzenia, a P (xja) prawdopodobieństwo wystąpienia. Sumowanie rozciąga się na wszystkie wartości, które przyjmuje X. A jeśli są one skończone, wskazana suma jest zbieżna do wartości E (X), ale jeśli suma nie jest zbieżna, to zmienna po prostu nie ma wartości oczekiwanej.
Jeśli chodzi o zmienną ciągłą x, zmienna może mieć nieskończone wartości, a całki zastępują sumy:
Tutaj f (x) reprezentuje Funkcja gęstości prawdopodobieństwa.
Ogólnie rzecz biorąc, matematyczne oczekiwanie (które jest średnią ważoną) nie jest równe średniej arytmetycznej ani średniej, chyba że mamy do czynienia z dystrybucjami dyskretnymi, w których każde zdarzenie jest równie prawdopodobne. Wtedy i tylko wtedy:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xja
Gdzie n to liczba możliwych wartości.
Koncepcja jest bardzo przydatna na rynkach finansowych i firmach ubezpieczeniowych, gdzie często brakuje pewności, ale są prawdopodobieństwa..
Indeks artykułów
Wśród najważniejszych właściwości oczekiwań matematycznych wyróżniają się:
- Znak: jeśli X jest dodatnie, to E (X) też będzie.
- Oczekiwana wartość stałej: oczekiwana wartość stałej rzeczywistej k jest stała.
E (k) = k
- Liniowość w sumie: oczekiwanie zmiennej losowej będącej z kolei sumą dwóch zmiennych X i Y jest sumą oczekiwań.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Mnożenie przez stałą: jeśli zmienna losowa ma postać kX, gdzie k jest stałą (liczbą rzeczywistą), wychodzi poza oczekiwaną wartość.
E (kX) = k E (X)
- Oczekiwana wartość produktu i niezależność między zmiennymi: jeśli zmienna losowa jest iloczynem zmiennych losowych X i Y, które są niezależne, wtedy wartość oczekiwana produktu jest iloczynem wartości oczekiwanych.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- Zmienna losowa formularza Y = aX + b: znalezione przez zastosowanie poprzednich właściwości.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Ogólnie tak Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xja). P [g (xja)]
- Zamów na oczekiwaną wartość: jeśli X ≤ Y, to:
E (X) ≤ E (Y)
Ponieważ istnieją oczekiwane wartości każdego z nich.
Kiedy słynny astronom Christian Huygens (1629-1695) nie obserwował nieba, poświęcił się m.in. badaniu prawdopodobieństwa w grach losowych. To on wprowadził pojęcie nadziei matematycznej w swojej pracy z 1656 r .: Rozumowanie na temat hazardu.
Huygens stwierdził, że zakłady można klasyfikować na trzy sposoby, w oparciu o wartość oczekiwaną:
-Gry z przewagą: E (X)> 0
-Uczciwe zakłady: E (X) = 0
-Gra z handicapem: E (X) < 0
Problem polega na tym, że w grze losowej matematyczne oczekiwanie nie zawsze jest łatwe do obliczenia. A kiedy możesz, wynik jest czasami rozczarowujący dla tych, którzy zastanawiają się, czy postawić zakład.
Spróbujmy prostego zakładu: orzeł lub reszka, a przegrany płaci kawę za 1 dolara. Jaka jest oczekiwana wartość tego zakładu?
Cóż, prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi ½, czyli reszce. Zmienna losowa ma zyskać 1 $ lub stracić 1 $, zysk jest oznaczony znakiem +, a strata znakiem -.
Informacje organizujemy w tabeli:
Mnożymy wartości kolumn: 1. ½ = ½ i (-1). ½ = -½ i na koniec dodaje się wyniki. Suma wynosi 0 i jest to gra uczciwa, w której od uczestników nie oczekuje się ani wygranej, ani przegranej.
Francuska ruletka i loteria to gry z handicapem, w których większość graczy przegrywa. Później jest nieco bardziej skomplikowany zakład w części z rozwiązanymi ćwiczeniami.
Oto kilka prostych przykładów, w których koncepcja oczekiwań matematycznych jest intuicyjna i wyjaśnia tę koncepcję:
Zaczniemy od rzutu uczciwą kostką. Jaka jest spodziewana wartość uruchomienia? Cóż, jeśli kostka jest uczciwa i ma 6 orłów, prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej wartości (X = 1, 2, 3… 6) wynosi 1/6, na przykład:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
Oczekiwana wartość w tym przypadku jest równa średniej, ponieważ każda ściana ma takie samo prawdopodobieństwo wyjścia. Ale E (X) nie jest możliwą wartością, ponieważ żadna głowa nie jest warta 3,5. Jest to całkowicie możliwe w niektórych dystrybucjach, chociaż w tym przypadku wynik nie pomaga graczowi zbytnio..
Zobaczmy inny przykład z rzutem dwóch monet.
Dwie uczciwe monety są wyrzucane w powietrze, a zmienną losową X definiujemy jako liczbę wyrzuconych orłów. Mogą wystąpić następujące zdarzenia:
-Brak orłów: 0 orłów, co odpowiada 2 reszkom.
-Zwraca 1 głowę i 1 ogon lub reszkę.
-Wychodzą 2 twarze.
Niech C będzie głową, a T pieczęcią, przestrzeń próbna opisująca te zdarzenia jest następująca:
Sm = Seal-Seal; Seal-Face; Uszczelnienie twarzy; Face-Face = TT, TC, CT, CC
Prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń są następujące:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Tabela jest zbudowana z uzyskanych wartości:
Zgodnie z definicją podaną na początku, oczekiwanie matematyczne oblicza się jako:
μ = E (X) = ∑ xja. P (xja) = x1.P (x1) + xdwa.P (xdwa) + x3.P (x3) + ...
Zastępowanie wartości:
E (X) = 0 ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Wynik ten jest interpretowany w następujący sposób: jeśli dana osoba ma wystarczająco dużo czasu na wykonanie dużej liczby eksperymentów, obracając dwie monety, oczekuje się, że przy każdym rzucie będzie miała głowę..
Wiemy jednak, że wydania z 2 wytwórniami są całkowicie możliwe..
W rzucie dwoma uczciwymi monetami obstawiany jest następujący zakład: jeśli wypadną 2 reszki, wygrywa 3 $, jeśli wypadnie 1 reszka, 1 $ zostanie wygrany, ale jeśli wypadną dwa znaczki, należy wpłacić 5 $. Oblicz oczekiwaną wygraną zakładu.
Zmienna losowa X to wartości, które przyjmują pieniądze w zakładzie, a prawdopodobieństwa zostały obliczone w poprzednim przykładzie, dlatego tabela zakładów przedstawia się następująco:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Ponieważ oczekiwana wartość wynosi 0, gra jest uczciwa, więc w tym przypadku oczekuje się, że obstawiający nie wygra i nie przegra. Jednak kwoty zakładu mogą ulec zmianie, aby zakład był grą z handicapem lub grą z handicapem..
Jeszcze bez komentarzy