Funkcja iniekcyjna, czym jest, do czego służy i przykłady

ZA funkcja iniekcyjna to dowolna relacja elementów domeny z pojedynczym elementem kodomeny. Znany również jako funkcja jeden po drugim ( jedenaście ), są częścią klasyfikacji funkcji ze względu na sposób, w jaki ich elementy są powiązane.

Elementem domeny kodowej może być tylko obraz pojedynczego elementu domeny, w ten sposób wartości zmiennej zależnej nie mogą się powtarzać.

Wyraźnym przykładem może być pogrupowanie mężczyzn na stanowiskach w grupie A, aw grupie B wszystkich szefów. Funkcja fa Będzie to ten, który kojarzy każdego pracownika z jego szefem. Jeśli każdy pracownik jest powiązany z innym szefem za pośrednictwem fa, następnie fa  Będzie funkcja iniekcyjna.

Do rozważenia iniekcyjny do funkcji muszą być spełnione:

∀ x₁  ≠ x_dwa   ⇒ F (x₁ ) ≠ F (x_dwa )

To jest algebraiczny sposób mówienia Dla wszystkich x₁ różni się od x_dwa masz F (x₁ ) różni się od F (x_dwa ).

Indeks artykułów

• 1 Do czego służą funkcje wtrysku?
  • 1.1 Uwarunkowanie funkcji
• 2 Przykłady funkcji wtrysku z rozwiązanymi ćwiczeniami
  • 2.1 Przykład 1
  • 2.2 Przykład 2
  • 2.3 Przykład 3
  • 2.4 Przykład 4
  • 2.5 Przykład 5
  • 2.6 Przykład 6
  • 2.7 Przykład 7
• 3 Ćwiczenia proponowane na zajęcia / w domu
• 4 Odnośniki

Do czego służą funkcje iniekcyjne?

Iniektywność jest właściwością funkcji ciągłych, ponieważ zapewniają one przypisanie obrazów do każdego elementu domeny, co jest istotnym aspektem ciągłości funkcji..

Podczas rysowania linii równoległej do osi X na wykresie funkcji iniekcyjnej powinieneś dotykać wykresu tylko w jednym punkcie, niezależnie od wysokości lub wielkości Y linia jest rysowana. Jest to graficzny sposób testowania wstrzykiwalności funkcji.

Innym sposobem sprawdzenia, czy funkcja jest iniekcyjny, rozwiązuje dla zmiennej niezależnej X pod względem zmiennej zależnej Y. Następnie należy sprawdzić, czy dziedzina tego nowego wyrażenia zawiera liczby rzeczywiste, w tym samym czasie, co dla każdej wartości Y istnieje pojedyncza wartość X.

Funkcje lub relacje porządkowe są zgodne między innymi z notacją F: D_fa→do_fa

Co jest czytane F biegnie od D._fa do C._fa

Gdzie funkcja fa odnoszą się do zbiorów Domena Y Codomain. Nazywany również zestawem początkowym i zestawem końcowym.

Dominium re_fa  zawiera dozwolone wartości dla zmiennej niezależnej. Kodomena do_fa  Składa się ze wszystkich wartości dostępnych dla zmiennej zależnej. Elementy do_fa związany z re_fa  są znane jako Zakres funkcji (R_fa ).

Uwarunkowanie funkcji

Czasami funkcja, która nie jest iniekcyjna, może podlegać pewnym warunkom. Te nowe warunki mogą sprawić, że stanie się to funkcja iniekcyjna. Wszystkie rodzaje modyfikacji domeny i kodomeny funkcji są ważne, gdzie celem jest spełnienie właściwości iniekcyjności w odpowiedniej relacji.

Przykłady funkcji wtrysku z rozwiązanymi ćwiczeniami

Przykład 1

Niech funkcja F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = 2x - 3

O: [Wszystkie liczby rzeczywiste]

Zauważono, że dla każdej wartości domeny istnieje obraz w kodomenie. Ten obraz jest wyjątkowy, co sprawia, że ​​F jest funkcją iniekcyjną. Dotyczy to wszystkich funkcji liniowych (funkcji, których największy stopień zmiennej wynosi jeden).

Przykład 2

Niech funkcja F: R → R określony przez F (x) = x^dwa +1

Podczas rysowania linii poziomej obserwuje się, że wykres znajduje się więcej niż jeden raz. Z tego powodu funkcja fa nie jest to iniekcja tak długo, jak jest zdefiniowane  R → R

Przystępujemy do warunkowania domeny funkcji:

                                               F: R⁺ LUB 0 → R

Teraz zmienna niezależna nie przyjmuje wartości ujemnych, w ten sposób unika się powtarzania wyników i funkcja F: R⁺ LUB 0 → R określony przez F (x) = x^dwa + 1 jest iniekcyjny.

Innym rozwiązaniem homologicznym byłoby ograniczenie domeny w lewo, to znaczy ograniczenie funkcji do przyjmowania tylko wartości ujemnych i zerowych.

Przystępujemy do warunkowania domeny funkcji

                                               F: R^- LUB 0 → R

Teraz zmienna niezależna nie przyjmuje wartości ujemnych, w ten sposób unika się powtarzania wyników i funkcja F: R^- LUB 0 → R określony przez F (x) = x^dwa + 1 jest iniekcyjny.

Funkcje trygonometryczne zachowują się podobnie do fal, w których bardzo często można znaleźć powtórzenia wartości w zmiennej zależnej. Poprzez specyficzne warunkowanie, oparte na wcześniejszej znajomości tych funkcji, możemy zawęzić dziedzinę, aby spełnić warunki iniekcji.

Przykład 3

Niech funkcja F: [ -π / 2, π / 2 ] → R. określony przez F (x) = Cos (x)

W przerwie [ -π / 2 → π / 2 ] funkcja cosinus zmienia swoje wyniki od zera do jedynki.

Jak widać na wykresie. Zacznij od zera x = -π / 2, a następnie osiąga maksimum przy zera. To jest po x = 0 że wartości zaczynają się powtarzać, aż powrócą do zera x = π / 2. W ten sposób wiadomo, że F (x) = Cos (x) nie jest iniekcyjny na interwał [ -π / 2, π / 2 ] .

Podczas studiowania wykresu funkcji F (x) = Cos (x) obserwuje się odstępy czasu, w których zachowanie krzywej dostosowuje się do kryteriów wtrysku. Jak na przykład interwał

[0 , π ]

Gdy funkcja zmienia się, daje wyniki od 1 do -1, bez powtarzania żadnej wartości w zmiennej zależnej.

W ten sposób funkcja działa F: [0 , π ] → R. określony przez F (x) = Cos (x). To jest iniekcyjne

Istnieją funkcje nieliniowe, w których występują podobne przypadki. W przypadku wyrażeń typu wymiernego, w których mianownik zawiera co najmniej jedną zmienną, istnieją ograniczenia, które uniemożliwiają iniekcyjność relacji.

Przykład 4

Niech funkcja F: R → R określony przez F (x) = 10 / x

Funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 0 kto ma nieokreśloność (nie można podzielić przez zero).

Przy zbliżaniu się do zera od lewej zmienna zależna przyjmuje bardzo duże wartości ujemne, a bezpośrednio po zera wartości zmiennej zależnej przyjmują duże liczby dodatnie.

To zakłócenie powoduje wyrażenie F: R → R określony przez F (x) = 10 / x

Nie stosuj iniekcji.

Jak widać w poprzednich przykładach, wykluczenie wartości w domenie służy do „naprawy” tych nieokreśloności. Przystępujemy do wyłączenia zera z domeny, pozostawiając zbiory odlotów i przylotów zdefiniowane w następujący sposób:

R - 0 → R

Gdzie R - 0 symbolizuje liczby rzeczywiste z wyjątkiem zbioru, którego jedynym elementem jest zero.

W ten sposób wyrażenie F: R - 0 → R określony przez F (x) = 10 / x jest iniekcyjne.

 Przykład 5

Niech funkcja F: [0 , π ] → R. określony przez F (x) = Sen (x)

W przerwie [0 , π ] funkcja sinus zmienia swoje wyniki od zera do jedynki.

Jak widać na wykresie. Zacznij od zera x = 0 następnie osiągając maksimum w x = π / 2. To jest po x = π / 2, aby wartości zaczęły się powtarzać, aż do powrotu do zera x = π. W ten sposób wiadomo, że F (x) = Sen (x) nie jest iniekcyjny na interwał [0 , π ] .

Podczas studiowania wykresu funkcji F (x) = Sen (x) obserwuje się odstępy czasu, w których zachowanie krzywej dostosowuje się do kryteriów wtrysku. Jak na przykład interwał  [  π / 2,3π / 2  ]

Gdy funkcja zmienia się, daje wyniki od 1 do -1, bez powtarzania żadnej wartości w zmiennej zależnej.

W ten sposób funkcja F: [  π / 2,3π / 2  ] → R. określony przez F (x) = Sen (x). To jest iniekcyjne

Przykład 6

Sprawdź, czy funkcja F: [0, ∞) → R określony przez F (x) = 3x^dwa to jest iniekcyjne.

Tym razem domena wyrażenia jest już ograniczona. Zaobserwowano również, że wartości zmiennej zależnej nie powtarzają się w tym przedziale.

Dlatego można stwierdzić, że F: [0, ∞) → R określony przez F (x) = 3x^dwa   to jest iniekcyjne

Przykład 7

Określ, która z poniższych funkcji jest

1. To jest iniekcyjne. Powiązane elementy kodomeny są unikalne dla każdej wartości zmiennej niezależnej.
2. To nie jest iniekcyjne. Istnieją elementy domeny kodowej powiązane z więcej niż jednym elementem zestawu początkowego.
3. To jest iniekcyjne
4. To nie jest iniekcyjne

Proponowane ćwiczenia na zajęcia / w domu

Sprawdź, czy następujące funkcje są iniekcyjne:

F: [0, ∞) → R określony przez F (x) = (x + 3)^dwa  

F: [ π / 2,3π / 2  ] → R. określony przez F (x) = Tan (x)

F: [ -π,π  ] → R. określony przez F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = 7x + 2

Bibliografia

1. Wprowadzenie do logiki i krytycznego myślenia. Merrilee H. Salmon. Uniwersytet w Pittsburghu
2. Problemy w analizie matematycznej. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Uniwersytet Wrocławski. Polska.
3. Elementy analizy abstrakcyjnej. Dr Mícheál O'Searcoid Katedra Matematyki. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych. Alfred Tarski, New York Oxford. Prasa Uniwersytetu Oksfordzkiego.
5. Zasady analizy matematycznej. Enrique Linés Escardó. Od redakcji Reverté S. A 1991. Barcelona Hiszpania.