Plik funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej odpowiada dowolnemu kątowi (wyrażonemu w radianach), współczynnik trygonometryczny, który może być sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans i cosecans.
W ten sposób mamy sześć funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans i cotangens..
Funkcje trygonometryczne dla kątów od 0 do 2π są definiowane za pomocą koła jednostkowego o promieniu 1 i którego środek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych kartezjańskich: punkt (0,0).
Możemy zlokalizować dowolny punkt P o współrzędnych (x, y) na tym obwodzie.
Segment, który łączy początek z P, wraz z odpowiednimi segmentami, które łączą rzuty P na osiach współrzędnych, tworzą trójkąt prostokątny, którego stosunki trygonometryczne są znane jako stosunki między bokami trójkąta. A) Tak:
A teraz powody, które są odwrotnością poprzednich:
W okręgu jednostkowym przeciwprostokątna dowolnego trójkąta jest równa 1, a nogi są warte x i y, więc:
sin θ = y
cos θ = x
W ten sposób funkcje sinus i cosinus zawsze uzyskują wartości z przedziału od -1 do 1, podczas gdy reszta:
tg θ = y / x
cosec θ = 1 / rok
sek θ = 1 / x
Nie są zdefiniowane, kiedy x lub Y wart 0.
Indeks artykułów
Jak zobaczymy poniżej, funkcje trygonometryczne charakteryzują się okresowością. Dlatego nie są one bijektywne, z wyjątkiem domeny z ograniczeniami..
Zaczynając od koła trygonometrycznego w punkcie P (1,0), kąt wynosi 0 radianów. Następnie promień obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a funkcja sin x stopniowo rośnie, aż osiągnie wartość π / 2 radianów (90º), co odpowiada około 1571 radianom..
Tam osiąga wartość y = 1, a następnie maleje, aż osiągnie zero w π radianach (180 °). Później maleje jeszcze bardziej, ponieważ wartość staje się ujemna, aż osiągnie -1, gdy kąt wynosi 3π / 2 radianów (270 °).
W końcu rośnie ponownie, aż wróci do zera w 360 °, gdzie wszystko zaczyna się od nowa. To sprawia, że y = sin x a funkcja okresowa okresu 2π, dlatego funkcja sinus nie jest bijektywna.
Wykres jest również symetryczny względem punktu (0,0), dlatego funkcja jest nieparzysta.
Następnie wykres y = sin x:
Sekcja zaznaczona na czerwono to pierwsza kropka. Uwzględniane są również kąty ujemne, ponieważ promień koła trygonometrycznego może obracać się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Domena sin x = Wszystkie reale.
Zakres lub ścieżka sin x = [-1,1]
W punkcie P (1,0) funkcja cosinus ma wartość 1 i stamtąd maleje, osiągając 0, gdy kąt wynosi π / 2. Nadal maleje i przyjmuje wartości ujemne, aż osiągnie -1 przy kącie π.
Następnie zaczyna stopniowo rosnąć, aż osiągnie 0 w 3π / 2 i powróci do wartości 1, gdy promień wykona jeden pełny obrót. Stamtąd cykl się powtarza, ponieważ cos x jest okresowy i również jest parzysty (symetryczny wokół osi pionowej).
Postać funkcji cosinus jest taka sama jak funkcji sinus, z wyjątkiem tego, że są one przesunięte π / 2 względem siebie..
Dziedzina cos x = Wszystkie reale.
Zakres Cos x lub droga = [-1,1]
Funkcje tg x, ctg x, sec x i cosec x są nieciągłe, ponieważ są ilorazami sinusa i cosinusa lub odwrotnie. Ponieważ są one warte 0 w niektórych kątach, kiedy pojawiają się w mianowniku, powodują nieciągłość funkcji.
A ponieważ sinus i cosinus są funkcjami okresowymi, funkcje tg x, ctg x, sec x, cosec x są również okresowe..
Dla funkcji stycznej wartości nieciągłości wynoszą: ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… Funkcja przyjmuje bardzo duże lub bardzo małe wartości. Na ogół dzieje się tak dla wszystkich wielokrotności π postaci (2n + 1) π / 2, zarówno dodatnich, jak i ujemnych, przy n = 0, 1, 2 ...
W związku z tym:
Domena tg x: D = x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z
Zasięg lub skok Tg x: Wszystko prawdziwe.
Zauważ, że funkcja f (x) = tg x powtarza się między - π / 2 a + π / 2, dlatego jej okres wynosi π. Ponadto jest symetryczny w stosunku do pochodzenia.
Dla tej funkcji wartości nieciągłości występują przy 0, ± π, ± 2π…, to znaczy całkowitych wielokrotnościach π.
Podobnie jak funkcja styczna, funkcja cotangens jest okresowa od okresu π. Dla niej to prawda, że:
Domena ctg x: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z
Ctg x zasięg lub podróż: Wszystko prawdziwe.
Funkcja sec x ma punkty nieciągłości przy ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2…, gdzie cos x = 0. Jest również okresowa z okresem π i widać również na wykresie, że funkcja nigdy nie przyjmuje wartości w przedziale (-1,1)
Dziedzina sec x: D = x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z
Zasięg lub podróż Sec x: Wszystkie reale z wyjątkiem (-1,1)
Jest podobna do funkcji siecznej, chociaż jest przesunięta w prawo, dlatego punkty nieciągłości wynoszą 0, ± π, ± 2π i wszystkie całkowite wielokrotności π. Jest to również okresowe.
Cosec Domain X: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z
Zasięg lub ścieżka zbioru x: Wszystkie reale z wyjątkiem (-1,1)
Mężczyzna o wzroście sześciu stóp rzuca cień S, którego długość określa:
S (t) = 6 │cot (π.t / 12) │
Gdzie S w stopach it oznacza liczbę godzin od 6 rano. Jak wysoki jest cień o 8:00, 12:00, 14:00 i 17:45?
Musimy ocenić funkcję dla każdej z podanych wartości, zauważ, że musi ona przyjąć wartość bezwzględną, ponieważ długość cienia jest dodatnia:
-O 8 rano minęły 2 godziny od 6 rano, więc t = 2 i S (t) wynosi:
S (2) = 6 │cot (π.2 / 12) │ft = 6 │cot (π / 6) │ft = 10,39 stopy.
-Gdy wynosi 12 N, upłynęło t = 6 godzin, dlatego:
S (6) = 6 │cot (π.6 / 12) │ft = 6 │cot (π / 2) │ft = 0 stóp. (W tym czasie Słońce pada pionowo na głowę osoby).
-O 14:00 t = minęło 8 godzin:
S (8) = 6 │cot (π.8 / 12) │ft = 6 │cot (2π / 3) │ft = 3,46 stopy.
-Kiedy jest 17:45, od 6:00 minęło już 11:75, więc:
S (11,75) = 6 │cot (π x 11,75 / 12) │ stóp = 91,54 stopy. O tej godzinie cienie się wydłużają.
Czy czytelnik może obliczyć czas, kiedy cień osoby jest równy jego wzrostowi??
Jeszcze bez komentarzy