Plik odwrotne funkcje trygonometryczne, Jak sama nazwa wskazuje, są to odpowiadające im funkcje odwrotne funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans i cosecans..
Odwrotne funkcje trygonometryczne są oznaczone tą samą nazwą, co odpowiadająca im bezpośrednia funkcja trygonometryczna plus przedrostek łuk. A zatem:
1.- arcsen (x) jest odwrotną funkcją trygonometryczną funkcji sen (x)
dwa.- arccos (x) jest odwrotną funkcją trygonometryczną funkcji cos (x)
3.- arctan (x) jest odwrotną funkcją trygonometryczną funkcji więc (x)
4.- arccot (x) jest odwrotną funkcją trygonometryczną funkcji łóżeczko (x)
5.- arcsec (x) jest odwrotną funkcją trygonometryczną funkcji s (x)
6.- arccsc (x) jest odwrotną funkcją trygonometryczną funkcji csc (x)
Funkcja θ = arcsen (x) powoduje powstanie łuku jednostkowego θ (lub kąt w radianach θ) takie, że sin (θ) = x.
Na przykład arcsen (√3 / 2) = π / 3, ponieważ, jak wiadomo, sinus π / 3 radianów jest równy √3 / 2.
Indeks artykułów
Aby funkcja matematyczna f (x) miała odwrotność g (x) = f-1(x) konieczne jest, aby ta funkcja była iniekcyjny, co oznacza, że każda wartość y zbioru przybycia funkcji f (x) pochodzi z jednej i tylko jednej wartości x.
Jest oczywiste, że żadna funkcja trygonometryczna nie spełnia tego wymagania. Aby wyjaśnić tę kwestię, zwróć uwagę, że wartość y = 0,5 można uzyskać z funkcji sinus w następujący sposób:
I wiele więcej, ponieważ funkcja sinus jest okresowa z okresem 2π.
Aby zdefiniować odwrotne funkcje trygonometryczne, konieczne jest ograniczenie zakresu ich odpowiednich bezpośrednich funkcji trygonometrycznych, tak aby spełniały one wymóg iniekcyjności.
Ta ograniczona dziedzina funkcji bezpośredniej będzie zakresem lub główną gałęzią odpowiadającej jej funkcji odwrotnej.
Aby otrzymać pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych, stosuje się właściwości pochodnych, w szczególności pochodną funkcji odwrotnej.
Jeśli oznaczymy przez f (y) funkcję i przez f-1(x) do jej funkcji odwrotnej, to pochodna funkcji odwrotnej jest powiązana z pochodną funkcji bezpośredniej zależnością:
[FA-1(x)] '= 1 / f' [f-1(x)]
Na przykład: jeśli x = f (y) = √y jest funkcją bezpośrednią, jej odwrotność będzie
y = f-1(x) = xdwa. Zastosujmy regułę pochodnej odwrotności do tego prostego przypadku, aby zobaczyć, że ta reguła jest rzeczywiście spełniona:
[xdwa] '= 1 / [√y]' = 1 / (½ y-½ = 2 i½ = 2 (xdwa)½ = 2x
Cóż, możemy użyć tej sztuczki, aby znaleźć pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
Na przykład bierzemy θ = arcsen (x) jako funkcja bezpośrednia, to jej funkcja odwrotna będzie sin (θ) = x.
[arcsen (x)] '= 1 / [sin (θ)]' = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 - sin (θ)dwa) = ...
… = 1 / √ (1 - xdwa) .
W ten sposób można uzyskać wszystkie pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych, które pokazano poniżej:
Te pochodne są ważne dla każdego argumentu z należącego do liczb zespolonych i dlatego są również ważne dla dowolnego rzeczywistego argumentu x, ponieważ z = x + 0i.
Znajdź arctan (1).
Arctan (1) jest jednostkowym łukiem (kąt w radianach) ፀ takim, że tan (ፀ) = 1. Ten kąt wynosi ፀ = π / 4, ponieważ tan (π / 4) = 1. Więc arctan (1) = π / 4.
Oblicz arcsen (cos (π / 3)).
Kąt π / 3 radiany to niezwykły kąt, którego cosinus wynosi ½, więc problem sprowadza się do znalezienia wartości łuku (½).
Następnie chodzi o znalezienie kąta, którego sinus daje ½. Ten kąt wynosi π / 6, ponieważ sin (π / 6) = sin (30º) = ½. Dlatego arcsen (cos (π / 3)) = π / 6.
Znajdź wynik następującego wyrażenia:
sec (arctan (3)) + csc (arccot (4))
Zaczynamy od nazwania α = arctan (3) i β = arccot (4). Wtedy wyrażenie, które musimy obliczyć, wygląda następująco:
sec (α) + csc (β)
Wyrażenie α = arctan (3) jest równoważne stwierdzeniu, że tan (α) = 3.
Ponieważ styczna jest przeciwległą nogą nad sąsiednią, konstruujemy prostokątny trójkąt z nogą przeciwległą do α o 3 jednostkach i sąsiedniej odnodze o 1 jednostce, tak że tan (α) = 3/1 = 3.
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest określona twierdzeniem Pitagorasa. Przy tych wartościach wynik wynosi √10, więc:
sec (α) = przeciwprostokątna / sąsiednia noga = √10 / 1 = √10.
Podobnie β = arccot (4) jest równoważne stwierdzeniu, że łóżeczko (β) = 4.
Konstruujemy trójkąt na prawej nodze sąsiadujący z β o 4 jednostkach i przeciwną nogą o 1 jednostce, tak że łóżeczko (β) = 4/1.
Trójkąt jest natychmiast uzupełniany przez znalezienie przeciwprostokątnej dzięki twierdzeniu Pitagorasa. W tym przypadku okazało się, że ma √17 jednostek. Następnie oblicza się csc (β) = przeciwprostokątna / przeciwległa noga = √17 / 1 = √17.
Pamiętając, że wyrażenie, które musimy obliczyć, to:
sec (arctan (3)) + csc (arccot (4)) = sec (α) + csc (β) =…
… = √10 + √17 = 3,16 + 4,12 = 7,28.
Znajdź rozwiązania:
Cos (2x) = 1 - Sen (x)
Konieczne jest, aby wszystkie funkcje trygonometryczne były wyrażone w tym samym argumencie lub pod tym samym kątem. Użyjemy tożsamości podwójnego kąta:
Cos (2x) = 1 - 2 Sendwa(x)
Następnie oryginalne wyrażenie zostaje zredukowane do:
1 - 2 Sendwa(x) = 1 - Sen x
Po uproszczeniu i uwzględnieniu jest wyrażony jako:
sin (x) (2 sin (x) - 1) = 0
Co daje początek dwóm możliwym równaniom: Sen (x) = 0 z rozwiązaniem x = 0 i innym równaniem sin (x) = ½ z x = π / 6 jako rozwiązaniem.
Rozwiązania równania to: x = 0 lub x = π / 6.
Znajdź rozwiązania następującego równania trygonometrycznego:
cos (x) = grzechdwa(x)
Aby rozwiązać to równanie, wygodnie jest umieścić tylko jeden typ funkcji trygonometrycznej, więc użyjemy podstawowej tożsamości trygonometrycznej, aby oryginalne równanie zostało przepisane w następujący sposób:
cos (x) = 1 - cosdwa(x)
Jeśli nazwiemy y = cos (x), wyrażenie można przepisać jako:
Ydwa + i - 1 = 0
Jest to równanie drugiego stopnia w y, którego rozwiązania są:
y = (-1 ± √5) / 2
Wtedy wartości x, które spełniają pierwotne równanie, to:
x = arccos ((-1 ± √5) / 2)
Prawdziwym rozwiązaniem jest to ze znakiem dodatnim x = 0,9046 rad = 51,83º.
Drugie rozwiązanie jest złożone: x = (π - 1,06 i) rad.
Jeszcze bez komentarzy