Plik geometria euklidesowa odpowiada badaniu właściwości przestrzeni geometrycznych, w których aksjomaty Euklidesa są spełnione. Chociaż termin ten jest czasami używany w odniesieniu do geometrii, które mają większe wymiary i podobne właściwości, na ogół jest synonimem klasycznej geometrii lub geometrii płaskiej..
W III wieku a. C. Euclid i jego uczniowie napisali Elementy, praca obejmująca wiedzę matematyczną epoki o strukturze logiczno-dedukcyjnej. Od tego czasu geometria stała się nauką, początkowo mającą na celu rozwiązywanie klasycznych problemów i ewoluowała, aby stać się nauką kształtującą, która pomaga rozumować..
Indeks artykułów
Aby porozmawiać o historii geometrii euklidesowej, należy zacząć od Euklidesa z Aleksandrii i Elementy.
Kiedy Egipt pozostawał w rękach Ptolemeusza I, po śmierci Aleksandra Wielkiego, rozpoczął swój projekt w szkole w Aleksandrii.
Wśród mędrców, którzy nauczali w tej szkole, był Euclid. Spekuluje się, że jego narodziny pochodzą z około 325 roku pne. C. i jego śmierć 265 a. C. Możemy z całą pewnością wiedzieć, że chodził do szkoły Platona.
Przez ponad trzydzieści lat Euclid nauczał w Aleksandrii, budując jej słynne elementy: zaczął pisać wyczerpujący opis matematyki swoich czasów. Nauki Euklidesa wydały znakomitych uczniów, takich jak Archimedes i Apoloniusz z Perge.
Euclidowi powierzono uporządkowanie odmiennych odkryć starożytnych Greków w Elementy, ale w przeciwieństwie do swoich poprzedników nie ogranicza się do stwierdzenia, że twierdzenie jest prawdziwe; Euclid oferuje demonstrację.
Plik Elementy są kompendium trzynastu książek. Po Biblii jest to najczęściej publikowana książka, która ma ponad tysiąc wydań.
Plik Elementy jest arcydziełem Euklidesa w dziedzinie geometrii i oferuje ostateczną obróbkę geometrii dwóch wymiarów (płaszczyzna) i trzech wymiarów (przestrzeń), co jest źródłem tego, co teraz znamy jako geometria euklidesowa.
Elementy składają się z definicji, wspólnych pojęć i postulatów (lub aksjomatów), po których następują twierdzenia, konstrukcje i dowody..
- Chodzi o to, co nie ma części.
- Linia to długość, która nie ma szerokości.
- Linia prosta to taka, która leży jednakowo w stosunku do punktów, które się w niej znajdują.
- Jeśli dwie linie są przecięte tak, że sąsiednie kąty są równe, kąty nazywane są kątami prostymi, a linie nazywane są prostopadłymi.
- Proste równoległe to takie, które będąc na tej samej płaszczyźnie, nigdy się nie przecinają.
Po tych i innych definicjach Euclid przedstawia nam listę pięciu postulatów i pięciu pojęć..
- Dwie rzeczy, które są równe jednej trzeciej, są sobie równe.
- Jeśli te same rzeczy zostaną dodane do tych samych rzeczy, wyniki będą takie same.
- Jeśli równe rzeczy odejmujemy od równych rzeczy, wyniki są równe.
- Rzeczy, które pasują do siebie, są sobie równe.
- Suma jest większa niż część.
- Jedna i tylko jedna linia przechodzi przez dwa różne punkty.
- Proste linie można przedłużać w nieskończoność.
- Okrąg można narysować z dowolnym środkiem i dowolnym promieniem.
- Wszystkie kąty proste są równe.
- Jeśli prosta przecina dwie proste linie, tak że wewnętrzne kąty po tej samej stronie sumują się do mniej niż dwóch kątów prostych, to dwie linie przecinają się po tej stronie..
Ten ostatni postulat jest znany jako postulat równoległy i został przeformułowany w następujący sposób: „W przypadku punktu znajdującego się poza prostą można narysować pojedynczą równoległość do podanej prostej”.
Oto kilka twierdzeń Elementy posłużą do ukazania własności przestrzeni geometrycznych, w których spełnia się pięć postulatów Euklidesa; Ponadto zilustrują logiczno-dedukcyjne rozumowanie, którego użył ten matematyk.
Jeśli dwa trójkąty mają dwa boki, a kąt między nimi jest równy, wówczas pozostałe boki i pozostałe kąty są równe..
Niech ABC i A'B'C 'będą dwoma trójkątami, przy czym AB = A'B', AC = A'C 'i kąty BAC i B'A'C' są równe. Przesuńmy trójkąt A'B'C 'tak, aby A'B' pokrywał się z AB i ten kąt B'A'C 'pokrywał się z kątem BAC.
Zatem prosta A'C 'pokrywa się z linią AC, tak że C' pokrywa się z C. Następnie, zgodnie z postulatem 1, linia BC musi pokrywać się z linią B'C '. Dlatego oba trójkąty pokrywają się, a co za tym idzie, ich kąty i boki są równe.
Jeśli trójkąt ma dwa równe boki, wówczas przeciwne kąty do tych boków są równe..
Załóżmy, że trójkąt ABC ma równe boki AB i AC.
Zatem trójkąty ABD i ACD mają dwa równe boki, a kąty między nimi są równe. Zatem zgodnie z Twierdzeniem 1.4 kąty ABD i ACD są równe.
Możesz skonstruować prostą równoległą do prostej określonej przez dany punkt.
Biorąc pod uwagę linię L i punkt P, linia M jest poprowadzona przez P i przecina L. Następnie linia N jest rysowana przez P, która przecina L. Teraz linia N jest rysowana przez P, która przecina M, tworząc kąt równy ten, który tworzy L z M.
N jest równoległe do L..
Załóżmy, że L i N nie są równoległe i przecinają się w punkcie A. Niech B będzie punktem w L poza A. Rozważmy prostą O przechodzącą przez B i P. Następnie O przecina M pod kątami, których suma daje mniej niż dwa prosto.
Następnie o 1,5 prosta O musi przecinać linię L po drugiej stronie M, więc L i O przecinają się w dwóch punktach, co jest sprzeczne z postulatem 1. Dlatego L i N muszą być równoległe.
Jeszcze bez komentarzy