Plik całka nieoznaczona jest odwrotną operacją wyprowadzenia i aby ją oznaczyć, używa się symbolu wydłużonego „s”: ∫. Matematycznie całka nieoznaczona funkcji F (x) jest zapisana:
∫F (x) dx = f (x) + C
Gdzie całka F (x) = f '(x) jest funkcją zmiennej x, który z kolei jest pochodną innej funkcji f (x), zwanej całką lub funkcją pierwotną.
Z kolei C jest stałą znaną jako stała integracji, która zawsze towarzyszy wynikowi każdej całki nieoznaczonej. Natychmiast zobaczymy jego pochodzenie na przykładzie.
Załóżmy, że mamy znaleźć następującą całkę nieoznaczoną I:
I = ∫x.dx
Natychmiast f '(x) jest utożsamiane z x. Oznacza to, że musimy podać funkcję f (x) taką, że jej pochodną jest x, co nie jest trudne:
f (x) = ½ xdwa
Wiemy, że różniczkując f (x) otrzymujemy f '(x), sprawdzamy to:
[½ xdwa] '= 2. (½ x) = x
Teraz funkcja: f (x) = ½ xdwa + 2 również spełnia to wymaganie, ponieważ wyprowadzenie jest liniowe, a pochodna stałej wynosi 0. Inne funkcje, które po wyprowadzeniu dają f (x) = to:
½ xdwa -1, ½ xdwa + piętnaście; ½ xdwa - √2…
I ogólnie wszystkie funkcje formularza:
f (x) = ½ xdwa + do
Są to poprawne odpowiedzi na problem.
Każda z tych funkcji jest wywoływana pierwotna lub prymityw f '(x) = x i to właśnie w tym zbiorze wszystkich funkcji pierwotnych funkcji jest to znane jako całka nieoznaczona.
Wystarczy znać tylko jeden z prymitywów, bo jak widać jedyną różnicą między nimi jest stała C integracji.
Jeśli problem zawiera warunki początkowe, można obliczyć wartość C, aby je dopasować (patrz rozwiązany przykład poniżej).
Indeks artykułów
W poprzednim przykładzie obliczono ∫x.dx, ponieważ znana była funkcja f (x), która po wyprowadzeniu dała całkę.
Z tego powodu z najbardziej znanych funkcji i ich pochodnych można szybko rozwiązać całki podstawowe.
Ponadto istnieje kilka ważnych właściwości, które rozszerzają zakres możliwości rozwiązywania całki. Być k liczba rzeczywista, to prawdą jest, że:
1. - ∫kdx = k ∫dx = kx + C
2. - ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
3. - ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
4. - ∫xn dx = [xn + 1/ n + 1] + C (n ≠ -1)
5. - ∫x -1 dx = ln x + C
W zależności od całki istnieją różne algebraiczne i numeryczne metody rozwiązywania całek. Tutaj wspominamy:
-Zmienna zmiana
-Podstawienia algebraiczne i trygonometryczne.
-Integracja przez części
-Rozkład na ułamki proste dla całki typu wymiernego
-Korzystanie z tabel
-Metody numeryczne.
Istnieją całki, które można rozwiązać więcej niż jedną metodą. Niestety, nie ma jednego kryterium, które pozwalałoby określić a priori najskuteczniejszą metodę rozwiązania danej całki.
W rzeczywistości niektóre metody pozwalają na szybsze osiągnięcie rozwiązania pewnych całek niż inne. Ale prawda jest taka, że aby zdobyć umiejętność rozwiązywania całek, musisz ćwiczyć każdą z metod.
Uporządkować:
Zróbmy prostą zmianę zmiennej dla wielkości subradical:
u = x-3
Z:
x = u + 3
Wyprowadzenie obu stron w jednym z dwóch wyrażeń daje:
dx = du
Teraz podstawimy w całce, którą oznaczymy jako I:
I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u1/2 du
Stosujemy własność rozdzielczą i mnożenie potęg o równej podstawie i otrzymujemy:
I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du
Według właściwości 3 z poprzedniej sekcji:
I = ∫ u3/2 du + ∫ 3u1/2 du
Teraz stosowana jest właściwość 4, która jest znana jako zasada władzy:
∫ u3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C1 =
= [u5/2 / (5/2)] + C1 = (2/5) u5/2 + do1
∫ 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3 [u3/2 / (3/2)] + Cdwa =
= 3 (2/3) u3/2 + dodwa = 2u3/2 + dodwa
Następnie wyniki są łączone w I:
I = (2/5) u5/2 + 2u3/2 + do
Dwie stałe można bez problemu połączyć w jedną. Na koniec nie zapomnij zwrócić poprzedniej zmiany zmiennej i wyrazić wynik w postaci oryginalnej zmiennej x:
I = (2/5) (x-3)5/2 + 2 (x-3)3/2 + do
Wynik można wziąć pod uwagę:
I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C
Całka nieoznaczona dotyczy wielu modeli w naukach przyrodniczych i społecznych, na przykład:
W rozwiązywaniu problemów z ruchem, aby obliczyć prędkość telefonu komórkowego, znając jego przyspieszenie oraz w obliczeniu położenia telefonu komórkowego, znając jego prędkość.
Na przykład przy obliczaniu kosztów produkcji towarów i modelowaniu funkcji popytu.
Minimalna prędkość wymagana, aby obiekt mógł uciec przed grawitacyjnym przyciąganiem Ziemi, jest wyrażona wzorem:
W tym wyrażeniu:
-v to prędkość obiektu, który chce uciec z Ziemi
-y to odległość mierzona od środka planety
-M to masa lądu
-G jest stałą grawitacji
Jest proszony o znalezienie związku między v Y Y, rozwiązywanie całek nieoznaczonych, jeśli obiektowi nada się prędkość początkową vlub a promień Ziemi jest znany i nazywa się R.
Przedstawiono nam dwie całki nieoznaczone do rozwiązania za pomocą reguł całkowania:
ja1 = ∫v dv = vdwa/ 2 + C1
jadwa = -GM ∫ (1 / rdwa) dy = -GM ∫ y-dwa dy = -GM [r-2 + 1/ (- 2 + 1)] + Cdwa = GM. Y-1 + dodwa
Zrównujemy ja1 i jadwa:
vdwa/ 2 + C1 = GM. Y-1 + dodwa
Dwie stałe można połączyć w jedną:
Po rozwiązaniu całek stosujemy warunki początkowe, które są następujące: gdy obiekt znajduje się na powierzchni Ziemi, znajduje się w odległości R od jej środka. W oświadczeniu mówią nam, że y to odległość mierzona od środka Ziemi.
A samo przebywanie na powierzchni oznacza, że otrzymuje ona prędkość początkową vo, z jaką wydostanie się z grawitacyjnego przyciągania planety. Dlatego możemy ustalić, że v (R) = vlub. W takim przypadku nic nie stoi na przeszkodzie, aby zastąpić ten warunek w wyniku, który właśnie otrzymaliśmy:
A ponieważ vlub jest znana, podobnie jak G, M i R, możemy obliczyć wartość stałej całkowania C:
Które możemy podstawić w wyniku całek:
I wreszcie usuwamy vdwa, faktoring i grupowanie odpowiednio:
To jest wyrażenie odnoszące się do prędkości v satelity wystrzelonego z powierzchni planety (o promieniu R) z prędkością początkową vo, kiedy jest w oddali Y od środka planety.
Jeszcze bez komentarzy