Plik algebra boolowska o Algebra Boole'a jest notacją algebraiczną używaną do traktowania zmiennych binarnych. Obejmuje badania dowolnej zmiennej, która ma tylko 2 możliwe wyniki, komplementarne i wzajemnie wykluczające się. Na przykład zmienne, których jedyną możliwością jest prawda lub fałsz, poprawne lub niepoprawne, włączone lub wyłączone, są podstawą badań algebry Boole'a..
Algebra Boole'a stanowi podstawę elektroniki cyfrowej, co czyni ją dość obecną dzisiaj. Rządzi się pojęciem bramek logicznych, w przypadku których działania znane w tradycyjnej algebrze są szczególnie dotknięte.
Indeks artykułów
Algebra Boole'a została wprowadzona w 1854 roku przez angielskiego matematyka George'a Boole'a (1815-1864), który był ówczesnym samoukiem. Jego obawy wynikały z istniejącego sporu między Augustusem De Morganem a Williamem Hamiltonem o parametry definiujące ten logiczny system.
George Boole argumentował, że definicja wartości liczbowych 0 i 1 odpowiada, w dziedzinie logiki, interpretacji Nic i wszechświat odpowiednio.
Intencją George'a Boole'a było zdefiniowanie, poprzez własności algebry, wyrażeń logiki zdań potrzebnych do radzenia sobie ze zmiennymi typu binarnego.
W 1854 roku najważniejsze działy algebry Boole'a zostały opublikowane w książce „Badanie praw myślenia, na których oparte są matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństwa..
Ten ciekawy tytuł zostanie podsumowany później jako „Prawa myśli ”. Tytuł zyskał sławę dzięki natychmiastowej uwadze społeczności matematycznej tamtych czasów..
W 1948 roku Claude Shannon zastosował ją do projektowania bistabilnych elektrycznych obwodów przełączających. Służyło to jako wprowadzenie do zastosowania algebry Boole'a w całym schemacie elektroniczno-cyfrowym..
Elementarnymi wartościami tego typu algebry są 0 i 1, które odpowiadają odpowiednio FALSE i TRUE. Podstawowe operacje w algebrze Boole'a to 3:
- Operacja AND lub koniunkcja. Reprezentowany przez kropkę (.). Synonim produktu.
- LUB operacja lub rozłączenie. Przedstawiony krzyżykiem (+) Synonim sumy.
- NIE operacja ani negacja. Reprezentowane przez przedrostek NIE (NIE A). Znany również jako uzupełnienie.
Jeśli w zbiorze A 2 prawa wewnętrznego składu są określone jako iloczyn i suma (. +), Potrójny (A. +) mówi się, że jest algebrą Boole'a wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana potrójna spełnia warunek bycia rozkładem kratowym.
Aby zdefiniować kratownicę rozdzielczą, muszą być spełnione warunki dystrybucji między podanymi operacjami:
. jest rozdzielcza w odniesieniu do sumy + do . (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ ma charakter dystrybucyjny w odniesieniu do produktu. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Elementy składające się na zbiór A muszą być binarne, czyli mieć wartości wszechświat lub pustka.
Jego głównym scenariuszem zastosowania jest gałąź cyfrowa, w której służy do strukturyzowania obwodów tworzących operacje logiczne. Sztuka prostoty obwodów w celu optymalizacji procesów jest wynikiem prawidłowego zastosowania i praktyki algebry Boole'a..
Od opracowania paneli elektrycznych, poprzez transmisję danych, po programowanie w różnych językach, często możemy znaleźć algebrę Boole'a we wszelkiego rodzaju zastosowaniach cyfrowych..
Zmienne logiczne są bardzo powszechne w strukturze programowania. W zależności od używanego języka programowania w kodzie będą operacje strukturalne korzystające z tych zmiennych. Warunki warunkowe i argumenty każdego języka dopuszczają zmienne logiczne do definiowania procesów.
Istnieją twierdzenia, które rządzą strukturalnymi prawami logicznymi algebry Boole'a. W ten sam sposób istnieją postulaty znajomości możliwych wyników w różnych kombinacjach zmiennych binarnych, w zależności od wykonywanej operacji..
Operator LUB którego elementem logicznym jest unia (U) jest zdefiniowana dla zmiennych binarnych w następujący sposób:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Operator I którego elementem logicznym jest przecięcie (∩) jest zdefiniowane dla zmiennych binarnych w następujący sposób:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1. 0 = 0
1. 1 = 1
Operator NIE którego elementem logicznym jest dopełnienie (X) '' definiuje się dla zmiennych binarnych w następujący sposób:
NIE 0 = 1
NIE 1 = 0
Wiele postulatów różni się od ich odpowiedników w algebrze konwencjonalnej. Wynika to z dziedziny zmiennych. Na przykład dodanie elementów wszechświata w algebrze Boole'a (1 + 1) nie może dać konwencjonalnego wyniku 2, ponieważ nie należy on do elementów zbioru binarnego.
Każda prosta operacja, która obejmuje element ze zmiennymi binarnymi, jest zdefiniowana:
0 + A = A
1 + A = 1
0. A = 0
1. A = A
Operacje między równymi zmiennymi definiuje się jako:
A + A = A
DO . A = A
Każda operacja między zmienną a jej uzupełnieniem jest definiowana jako:
A + NIE A = 1
DO . NIE A = 0
Każda podwójna negacja będzie uważana za zmienną naturalną.
NOT (NOT A) = A.
A + B = B + A; Przemienność sumy.
DO . B = B. DO ; Przemienność produktu.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Łączność sumy.
DO . (B. C) = (A. B). C = A. B. DO; Kojarzenie produktu.
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Dystrybucja sumy w odniesieniu do produktu.
DO . (B + C) = (A. B) + (A + C); Dystrybucja produktu w odniesieniu do sumy.
Istnieje wiele praw absorpcji wśród wielu odniesień, niektóre z najbardziej znanych to:
DO . (A + B) = A
DO . (NIE A + B) = A. b
NIE A (A + B) = NIE A. b
(A + B). (A + NIE B) = A
A + A. B = A
A + NIE A. B = A + B
NIE A + A. B = NIE A + B
DO . B + A. NIE B = A
Są to prawa transformacji, które obsługują pary zmiennych, które oddziałują między zdefiniowanymi operacjami algebry Boole'a (+.).
NOT (A. B) = NOT A + NOT B
NIE (A + B) = NIE A. NIE B
A + B = NIE (NIE A + NIE B)
DO . B = NIE (NIE A. NIE B)
Wszystkie postulaty i twierdzenia posiadają zdolność dwoistości. Oznacza to, że poprzez wymianę zmiennych i operacji wynikająca z nich propozycja jest weryfikowana. To znaczy przy zamianie 0 na 1 i AND na OR lub odwrotnie; tworzone jest wyrażenie, które będzie również całkowicie poprawne.
Na przykład, jeśli przyjmiesz postulat
1. 0 = 0
I stosuje się dwoistość
0 + 1 = 1
Otrzymano kolejny, całkowicie słuszny postulat.
Mapa Karnaugha jest diagramem używanym w algebrze Boole'a w celu uproszczenia funkcji logicznych. Składa się z dwuwymiarowego układu podobnego do tablic prawdy logiki zdań. Dane z tabel prawdy można bezpośrednio przechwycić na mapie Karnaugh.
Mapa Karnaugha może uwzględniać procesy składające się z maksymalnie 6 zmiennych. W przypadku funkcji z większą liczbą zmiennych zalecane jest użycie oprogramowania w celu uproszczenia procesu.
Zaproponowany w 1953 roku przez Maurice'a Karnaugha, został uznany za stałe narzędzie w dziedzinie algebry Boole'a, ponieważ jego implementacja synchronizuje potencjał ludzki z potrzebą uproszczenia wyrażeń Boole'a, kluczowego aspektu płynności procesów cyfrowych..
Algebra Boole'a jest używana do redukcji bramek logicznych w obwodzie, gdzie priorytetem jest sprowadzenie złożoności lub poziomu obwodu do najniższego możliwego wyrażenia. Jest to spowodowane opóźnieniem obliczeniowym, które zakłada każda bramka.
W poniższym przykładzie zaobserwujemy uproszczenie wyrażenia logicznego do jego minimum, używając twierdzeń i postulatów algebry Boole'a.
NIE (AB + A + B). NIE (A + NIE B)
NIE [A (B + 1) + B]. NIE (A + NIE B); Faktoring A ze wspólnym czynnikiem.
NIE [A (1) + B]. NIE (A + NIE B); Zgodnie z twierdzeniem A + 1 = 1.
NIE (A + B). NIE (A + NIE B); przez twierdzenie A. 1 = A
(NIE A. NIE B). [ UWAGA . NIE (NIE B)];
Zgodnie z twierdzeniem Morgana NIE (A + B) = NIE A. NIE B
(NIE A. NIE B). (NIE A. B); Poprzez twierdzenie o podwójnej negacji NOT (NOT A) = A
UWAGA . NIE B. UWAGA . B; Grupowanie algebraiczne.
UWAGA . UWAGA . NIE B. B; Przemienność produktu A. B = B. DO
UWAGA . NIE B. B; Według twierdzenia A. A = A
UWAGA . 0; Według twierdzenia A. NIE A = 0
0; Według twierdzenia A. 0 = 0
DO . B. C + NIE A + A. NIE B. do
DO . DO. (B + NIE B) + NIE A; Faktoring (A. C) ze wspólnym czynnikiem.
DO . DO. (1) + NIE A; Zgodnie z twierdzeniem A + NIE A = 1
DO . C + NIE A; Zgodnie z zasadą zera i jedności 1. A = A
NIE A + C ; Zgodnie z prawem Morgan A + NOT A. B = A + B
W przypadku tego rozwiązania prawo Morgana musi zostać rozszerzone, aby zdefiniować:
NIE (NIE A). C + NIE A = NIE A + C
Ponieważ NOT (NOT A) = A przez inwolucję.
UWAGA . NIE B. NIE C + NIE A. NIE B. C + NIE A. NOT C do jego minimalnego wyrażenia
UWAGA . NIE B. (NIE C + C) + NIE A. NIE C; Faktoring (NIE A. NIE B) ze wspólnym czynnikiem
UWAGA . NIE B. (1) + NIE A. NIE C; Zgodnie z twierdzeniem A + NIE A = 1
(NIE A. NIE B) + (NIE A. NIE C); Zgodnie z zasadą zera i jedności 1. A = A
NIE A (NIE B + NIE C); Faktoring NIE A ze wspólnym czynnikiem
UWAGA . NOT (B. C); Zgodnie z prawami Morgana NIE (A. B) = NIE A + NIE B
NIE [A + (B. C)] Zgodnie z prawami Morgana NIE (A. B) = NIE A + NIE B
Każda z 4 opcji zaznaczonych pogrubioną czcionką przedstawia możliwe rozwiązanie obniżenia poziomu obwodu
(A. NIE B. C + A. NIE B. B. D + NIE A. NIE B). do
(A. NIE B. C + A. 0. D + NIE A. NIE B). DO; Według twierdzenia A. NIE A = 0
(A. NIE B. C + 0 + NIE A. NIE B). DO; Według twierdzenia A. 0 = 0
(A. NIE B. C + NIE A. NIE B). DO; Zgodnie z twierdzeniem A + 0 = A
DO . NIE B. DO. C + NIE A. NIE B. DO; Przez dystrybucję produktu w odniesieniu do sumy
DO . NIE B. C + NIE A. NIE B. DO; Według twierdzenia A. A = A
NIE B. C (A + NIE A) ; Faktoring (NOT B. C) ze wspólnym czynnikiem
NIE B. C (1); Zgodnie z twierdzeniem A + NIE A = 1
NIE B. DO; Zgodnie z zasadą zera i jedności 1. A = A
Jeszcze bez komentarzy