Elementy algebry blokowej, przykłady, rozwiązane ćwiczenia

Plik algebra blokowa odnosi się do zestawu operacji wykonywanych za pomocą bloków. Te i kilka innych elementów służą do schematycznego przedstawienia systemu i łatwej wizualizacji jego odpowiedzi na dane wejście..

Ogólnie rzecz biorąc, system zawiera różne elementy elektryczne, elektroniczne i elektromechaniczne, a każdy z nich, wraz z odpowiednią funkcją i pozycją w systemie, a także sposobem, w jaki są powiązane, jest zarysowany za pomocą bloków funkcjonalnych..

Na powyższym rysunku jest bardzo prosty system, składający się z sygnału wejściowego X (s), który wchodzi do bloku z funkcją transferu G (s), która go modyfikuje i wytwarza wyjście Y (y).

Wygodne jest przedstawienie sygnałów i ich drogi w systemie za pomocą strzałek wchodzących i wychodzących z każdego bloku. Zwykle przepływ sygnału jest kierowany od lewej do prawej.

Zaletą tego rodzaju schematu jest pomoc wizualna w zrozumieniu systemu, mimo że nie jest fizyczną reprezentacją systemu. W rzeczywistości schemat blokowy nie jest unikalny, ponieważ w zależności od punktu widzenia można nawet narysować kilka diagramów tego samego systemu..

Może się również zdarzyć, że ten sam diagram obsługuje kilka systemów, które niekoniecznie są ze sobą powiązane, o ile odpowiednio opisuje ich zachowanie. Istnieją różne systemy, których odpowiedź jest podobna pod wieloma względami, na przykład obwód LC (cewka-kondensator) i układ masa-sprężyna..

Indeks artykułów

• 1 Co to jest schemat blokowy?
• 2 Elementy schematu blokowego
  • 2.1 Sygnał
  • 2.2 Blok
  • 2.3 Suma punktów
  • 2.4 Punkt rozgałęzienia
• 3 Przykłady reguł algebry bloków
  • 3.1 Kaskadowe bloki
  • 3.2 Bloki równolegle
  • 3.3 Przenieś sumator w lewo
  • 3.4 Przenieś sumator w prawo
  • 3.5 Przenoszenie punktu rozgałęzienia od lewej do prawej
  • 3.6 Przenieś punkt rozgałęzienia od prawej do lewej
  • 3.7 System informacji zwrotnej
  • 3.8 System ze sprzężeniem zwrotnym i przetwornikiem
• 4 ćwiczenia rozwiązane
  • 4.1 Ćwiczenie 1
  • 4.2 Ćwiczenie 2
• 5 Referencje

Co to jest schemat blokowy?

Systemy są generalnie bardziej skomplikowane niż ten na rysunku 1, ale algebra bloków dostarcza szeregu prostych reguł manipulowania schematem systemu i sprowadzania go do jego najprostszej wersji..

Jak wyjaśniono na początku, diagram używa bloków, strzałek i okręgów do ustalenia związku między każdym elementem systemu a przepływem sygnałów, które przez niego przebiegają..

Algebra blokowa umożliwia porównywanie dwóch lub więcej sygnałów przez dodawanie, odejmowanie i mnożenie ich, a także analizowanie wkładu każdego składnika do systemu.

Dzięki temu możliwe jest zredukowanie całego systemu do jednego sygnału wejściowego, jednej funkcji transferu, która w pełni opisuje działanie układu i odpowiadającego mu wyjścia..

Elementy schematu blokowego

Elementy schematu blokowego są następujące:

Sygnał

Sygnały mają bardzo zróżnicowany charakter, na przykład często jest to prąd elektryczny lub napięcie, ale może to być światło, dźwięk i nie tylko. Ważne jest to, że zawiera informacje o pewnym systemie.

Sygnał jest oznaczany wielką literą, jeśli jest funkcją zmiennej s transformaty Laplace'a: X (s) (patrz rysunek 1) lub małymi literami, jeśli jest to funkcja czasu t, jak x (t).

Na schemacie blokowym sygnał wejściowy jest reprezentowany przez strzałkę skierowaną w stronę bloku, podczas gdy sygnał wyjściowy, oznaczony jako Y (s) lub y (t), jest oznaczony strzałką wychodzącą.

Zarówno sygnały wejściowe, jak i wyjściowe są unikalne, a kierunek przepływu informacji jest określony przez kierunek strzałki. A algebra jest taka sama dla każdej z dwóch zmiennych.

Blok

Blok jest reprezentowany przez kwadrat lub prostokąt (patrz rysunek 1) i może być używany do wykonywania operacji lub implementacji funkcji przenoszenia, która jest zwykle oznaczana dużą literą G. Ta funkcja jest modelem matematycznym, w którym opisano odpowiedź oferowane przez system do sygnału wejściowego.

Funkcja przenoszenia może być wyrażona w czasie t jako G (t) lub zmienna s jako G (s).

Gdy sygnał wejściowy X (s) dociera do bloku, jest mnożony przez funkcję transferu i przekształcany na sygnał wyjściowy Y (y). Matematycznie wyraża się to następująco:

Y (s) = X (s) .G (s)

Równoważnie, funkcja przenoszenia jest stosunkiem między transformatą Laplace'a sygnału wyjściowego i transformatą Laplace'a sygnału wejściowego, pod warunkiem, że warunki początkowe systemu są zerowe:

G (s) = Y (s) / X (s)

Punkt sumy

Punkt dodawania lub sumator jest symbolizowany przez okrąg z krzyżem w środku. Służy do łączenia, poprzez dodawanie i odejmowanie, dwóch lub więcej sygnałów. Na końcu strzałki symbolizującej znak umieszcza się bezpośrednio znak +, jeśli ten znak jest dodawany, lub znak -, jeśli jest odejmowany..

Na poniższym rysunku przedstawiono przykład działania sumatora: mamy sygnał wejściowy X, do którego dodawane są sygnały A i B, uzyskując w rezultacie wyjście Y, które jest algebraicznie równoważne:

Y = X + A + B

Punkt rozgałęzienia

Nazywa się to również punkt rozwidlenia. W nim sygnał wychodzący z bloku jest dystrybuowany do innych bloków lub do sumatora. Jest reprezentowany przez punkt umieszczony na strzałce sygnalizacyjnej i wychodzi z niego inna strzałka, która przekierowuje sygnał do innej części.

Przykłady reguł algebry bloków

Jak wyjaśniono wcześniej, chodzi o wyrażenie systemu za pomocą schematu blokowego i zredukowanie go, aby znaleźć funkcję transferu, która go opisuje. Poniżej przedstawiono zasady algebry blokowej, które upraszczają diagramy:

Kaskadowe bloki

Gdy masz sygnał, który przechodzi kolejno przez bloki G.₁, sol_dwa, sol₃..., jest zredukowana do pojedynczego bloku, którego funkcja przenoszenia jest iloczynem G₁, sol_dwa, sol₃...

W poniższym przykładzie sygnał X wchodzi do pierwszego bloku, a jego wyjście to:

Y₁(s) = X (s) .G₁(s)

Włącz Y₁(s) wejść do bloku G_dwa(s), których wynikiem jest:

Y_dwa(s) = X (s). G.₁(s). sol_dwa(s)

Procedura obowiązuje dla n kaskadowych bloków:

Y_n (s) = X (s). sol₁(s) .G_dwa(s) ... G._n(s)

Bloki równoległe

Na schemacie po lewej stronie sygnał X (s) rozgałęzia się do bloków G.₁(s) i G._dwa(s):

Odpowiednie sygnały wyjściowe to:

Y₁(s) = X (s) .G₁(s)

Y_dwa(s) = X (s). G._dwa(s)

Sygnały te są sumowane, aby uzyskać:

C (s) = Y₁(s) + Y_dwa(s) = X (s). [G₁(s) + G._dwa(s)]

Jak pokazano na schemacie po prawej stronie.

Przesuń sumator w lewo

Sumator można przesunąć w lewo od bloku w następujący sposób:

Po lewej sygnał wyjściowy to:

C (s) = R (s). G (s) - X (s)

Odpowiednik po prawej:

C (s) = [R (s) - X (s) / G (s)]. G (s)

Przesuń sumator w prawo

Sumator można przenieść na prawo od bloku w następujący sposób:

Po lewej mamy: [R (s) - X (s)]. G (s) = C (s)

Po prawej:

R (s). G (s) - X (s). G (s) = C (s)

Przesuń punkt rozgałęzienia od lewej do prawej

Aby przesunąć punkt rozgałęzienia z lewej do prawej strony bloku, po prostu zauważ, że wyjście C (s) po prawej to iloczyn X (s) .G (s). Ponieważ chcesz ponownie przekonwertować to na X (s), pomnóż przez odwrotność G (s).

Przesuń punkt rozgałęzienia od prawej do lewej

Alternatywnie punkt rozgałęzienia można przesunąć od prawej do lewej w następujący sposób:

Ponieważ na wyjściu z gałęzi chcemy uzyskać C (s), po prostu wstaw nowy blok G (s) w punkcie rozgałęzienia na lewo od oryginalnego bloku.

System informacji zwrotnych

W następującym systemie sygnał wyjściowy C (s) jest podawany z powrotem przez sumator po lewej stronie:

C (s) = E (s) .G (s)

Ale:

E (s) = R (s) -C (s)

Zastępując to wyrażenie w poprzednim równaniu pozostaje: C (s) = [R (s) -C (s)]. G (s), z których można rozwiązać C (s):

C (s) + C (s). G (s) = R (s). G (s) → C (s). [1 + G (s)] = R (s) .G (s)

C (s) = R (s). G (s) / [1 + G (s)]

Lub alternatywnie:

C (s) / R (s) = G (s) / [1 + G (s)]

W formie graficznej po uproszczeniu pozostaje:

System ze sprzężeniem zwrotnym i przetwornikiem

Przetwornik składa się z funkcji przenoszenia H (s):

Na schemacie po prawej stronie sygnał wyjściowy C (s) to:

C (s) = E (s). G (s) gdzie E (s) = R (s) - C (s). H (s)

Następnie:

C (s) = [R (s) - C (s). H (s)]. G (s)

C (s) [1+ H (s) .G (s)] = R (s) .G (s)

Dlatego C (s) można rozwiązać przez:

C (s) = G (s). R (s) / [1+ H (s) .G (s)]

Funkcja transferu będzie wyglądać następująco:

G (s) / [1+ H (s) .G (s)]

Jak pokazano na uproszczonym schemacie po prawej stronie.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Znajdź funkcję transferu następującego systemu:

Rozwiązanie

Traktuje dwa bloki w kaskadzie, dlatego funkcja przenoszenia jest iloczynem funkcji G₁ i G._dwa.

Musi:

sol₁ = 2 / s

sol_dwa = 2 / (s + 1)

Dlatego poszukiwana funkcja transferu to:

G (s) = 4 / [s (s + 1)]

Ćwiczenie 2

Zredukuj następujący system:

Rozwiązanie

Najpierw zmniejsza się kaskada G._dwa, sol₃ i G._4, a równoległość G jest oddzielona₅ i G.₆:

Następnie sumator po lewej stronie bloku G_dwa ⋅G₃ ⋅ G₄ przesuwa się w prawo:

Dodatki po prawej stronie są zredukowane do jednego, podobnie jak kaskadowe bloki:

Wreszcie wyjście systemu to:

Y (s) = X (s) ⋅G₁⋅ G_dwa ⋅G₃ ⋅ G₄ + C (s) ⋅ [G₅ - sol₆ ⋅ G_dwa ⋅G₃ ⋅ G₄]

Bibliografia

1. Alaydi, J. Schemat blokowy systemu sterowania. Odzyskany z: site.iugaza.edu.ps.
2. Bolton, W. 2006. Technika sterowania. 2nd. Wydanie. Alpha Omega.
3. Cwalinsky, J. Wprowadzenie do algebry bloków systemowych. Odzyskany z: cedengineering.com.
4. Dademuchconnection. Schemat bloków. Odzyskany z: dademuch.com.
5. Ogata, K. 2010. Nowoczesna technika sterowania. 5. Wydanie. osoba.