Plik moment pędu lub moment pędu jest dla ruchu obrotowego tym, czym pęd liniowy dla ruchu postępowego. Jest to wielkość wektorowa charakteryzująca obrót cząstki punktowej lub obiektu rozciągniętego wokół osi przechodzącej przez punkt.
Oznacza to, że ilekroć ma być obliczany moment pędu, należy odpowiednio określić oś obrotu.
Rozpoczynając od punktu materialnego o masie m, moment pędu jest oznaczany przez L, pęd liniowy jako p a położenie cząstki względem osi przechodzącej przez pewien punkt O jest r, następnie:
L = r x p
Pogrubione litery są zarezerwowane dla wielkości wektorowych, a krzyżyk oznacza, że iloczynem wektorowym między wektorem położenia jest moment pędu r i moment liniowy p cząstki. Wektor będący wynikiem iloczynu wektorowego jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez uczestniczące wektory.
Oznacza to, że kierunek i sens L można znaleźć, stosując regułę prawej ręki dla iloczynu krzyżowego.
W Międzynarodowym Układzie Jednostek SI jednostkami momentu pędu są kg .mdwa/ s, które nie mają specjalnej nazwy. A dla rozciągniętego ciała, które składa się z wielu cząstek, powyższa definicja jest dogodnie rozszerzona.
Indeks artykułów
Wielkość wektora momentu pędu jest zgodna z definicją iloczynu wektorowego:
L = r⋅m⋅v⋅sen ϕ = mv (r⋅sen ϕ) = mvℓ
Gdzie ϕ jest kątem między wektorami r Y v. Wtedy ℓ = r sin ϕ jest prostopadłą odległością między linią v i punkt O.
W przypadku cząstki, która porusza się po obwodzie pokazanym na górnym obrazku, kąt ten wynosi 90 °, ponieważ prędkość jest zawsze styczna do obwodu, a zatem prostopadła do promienia..
Dlatego sin 90º = 1 i wielkość L to jest:
L = m⋅r⋅v
Moment bezwładności ciała sztywnego opisuje bezwładność ciała względem obrotu wokół określonej osi.
Zależy to nie tylko od masy ciała, ale także od odległości do osi obrotu. Jest to łatwo zrozumiałe, gdy myślisz, że w przypadku niektórych obiektów łatwiej jest obracać się wokół niektórych osi niż innych..
Dla układu cząstek moment bezwładności, oznaczony literą I, jest określony wzorem:
I = ∑ rjadwa Δmja
Gdzie Δmja to mała porcja ciasta i rja to jego odległość od osi obrotu. Rozciągnięte ciało składa się z wielu cząstek, stąd jego całkowity moment bezwładności jest sumą wszystkich produktów występujących między masą i odległością cząstek, które go tworzą..
Jeśli jest to ciało rozszerzone, sumowanie zmienia się na całkę i Δm staje się różnicą masy dm. Granice integracji zależą od geometrii obiektu:
I = ∫M (rdwa) dm
Pojęcie momentu bezwładności jest ściśle związane z momentem pędu rozciągniętego obiektu, co zobaczymy poniżej.
Rozważmy układ cząstek złożony z mas Δmja który obraca się po obwodzie w płaszczyźnie xy, każda ma prędkość liniową związaną z prędkością kątową, ta ostatnia jest taka sama dla wszystkich cząstek:
vja = ωrja
Gdzie rja jest odległością od osi obrotu O. Wtedy wielkość momentu pędu wynosi:
Lja = Δmja. rja. (ωrja) = rjadwaω Δmja
Moment pędu układu zostanie określony jako suma:
L = ω ∑ rjadwa Δmja
Szybko identyfikujemy moment bezwładności, jak zdefiniowano w poprzedniej sekcji, a zatem wielkość jego pędu jest następująca:
L = Iω
Jak powiedzieliśmy, że układ cząstek znajdował się w płaszczyźnie xy, okazuje się, że moment pędu jest skierowany wzdłuż osi z prostopadłej do tej płaszczyzny. Kierunek jest określony przez kierunek obrotu: moment pędu jest dodatni, jeśli obrót odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Rozciągnięty korpus można podzielić na plasterki, z których każdy ma moment pędu określony przez L = Iω skierowane wzdłuż osi z. Jeśli oś symetrii obiektu pokrywa się z osią z, nie ma problemu, ponieważ nawet dla punktów, które nie znajdują się w płaszczyźnie xy, składowe momentu pędu prostopadłe do tej osi anulują się.
Wektorowo:
L = Jaω
To równanie jest ważne dla trójwymiarowych obiektów, które obracają się wokół osi symetrii.
Kiedy siła wypadkowa działa na cząstkę lub ciało, jej pęd może się zmienić, a co za tym idzie, zmieni się też jej pęd kątowy. Aby wiedzieć, kiedy to się zmienia, używamy pochodnej, która da nam tempo zmian w czasie, jeśli istnieje:
Zastosowanie reguły iloczynu dla pochodnej:
Termin v x mv jest zerowe, ponieważ jest iloczynem wektora z samym sobą, aw drugim członie znajdujemy siłę wypadkową fa = mdo, A zatem:
Iloczyn wektorowy r x fa jest niczym innym jak momentem obrotowym lub momentem obrotowym netto, czasami oznaczanym grecką literą τ lub jako M, zawsze pogrubioną czcionką, ponieważ jest to wielkość wektorowa. Tak więc, analogicznie do pędu liniowego, moment pędu zmienia się tak długo, jak długo występuje moment obrotowy lub moment obrotowy netto:
reL/ dt = M
Z poprzednich sekcji widzieliśmy, że:
reL/ dt = M
Oznacza to, że moment pędu zmienia się, gdy występuje moment obrotowy netto. Jeśli nie ma momentu obrotowego netto, to:
reL/ dt = 0 → L to jest stałe
Innymi słowy:
Początkowy moment pędu = końcowy moment pędu
Ten wynik jest nadal aktualny nawet w przypadku, gdy ciało nie jest sztywne, jak zobaczymy w poniższych przykładach.
Moment pędu to ważna wielkość, która ujawnia się w wielu sytuacjach, co pokazuje, jak bardzo jest uniwersalna:
Kiedy obracające się ciało kurczy się, jego prędkość obrotowa wzrasta, jest to dobrze znane łyżwiarzom..
Wynika to z faktu, że gdy ręce i nogi kurczą się, moment bezwładności I maleje, ponieważ zmniejsza się odległość między ich częściami, ale ponieważ moment pędu jest zachowany, aby utrzymać stałą iloczyn Iω, prędkość kątowa musi wzrosnąć.
Dotyczy to nie tylko łyżwiarstwa, ale także sportów i zajęć, w których konieczne jest wykonywanie skrętów, takich jak nurkowie i artyści na trapezie w cyrku..
Koty zawsze lądują na czworakach, gdy upadają. Chociaż nie mają początkowego pędu, szybko obracają nogi i ogon, aby zmienić bezwładność obrotową i wylądować na nogach..
Podobnie podczas manewrowania ich moment pędu wynosi zero, ponieważ ich obrót nie jest ciągły..
Frisbee należy rzucić, kręcąc nim tak, aby poleciało, w przeciwnym razie spadnie. Rzeczywiście, moment pędu zapewniany przez wyrzutnię zapewnia krążkowi wystarczającą stabilność, aby mógł poruszać się dalej w powietrzu..
Piłki w baseballu, piłce nożnej, koszykówce i innych sportach mają pęd kątowy. Ponieważ są kuliste, mają moment bezwładności i są obracane podczas gry. Ponieważ moment bezwładności kuli wynosi:
I = (2/5) MRdwa
Gdzie M jest masą kuli, a R jej promieniem, moment bezwładności względem pewnej (ustalonej) osi wynosi:
L = (2/5) MRdwaω
Księżyc oddala się od Ziemi, ponieważ prędkość obrotowa Ziemi zmniejsza się z powodu tarcia między dużymi masami wody a dnem morskim.
Układ Ziemia-Księżyc zachowuje swój moment pędu, dlatego jeśli Ziemia zmniejsza swój udział, Księżyc zwiększa swój udział, oddalając się od Ziemi..
Pierwszy postulat modelu atomowego Bohra głosi, że elektron zajmuje tylko orbity, na których moment pędu jest całkowitą wielokrotnością h / 2π, gdzie h jest stałą Plancka.
Cienki stalowy pręt ma masę 500 gi długość 30 cm. Obraca się wokół osi przechodzącej przez jego środek z prędkością 300 obrotów na minutę. Określ moduł jego momentu pędu.
Będziemy potrzebować momentu bezwładności pręta odniesionego do osi przechodzącej przez jego środek. Po zapoznaniu się z tabelami momentów bezwładności stwierdza się, że:
I = (1/12) MLdwa = (1/12) × 0,5 kg x (30 × 10-dwa m)dwa = 3,75 × 10-3 kg. mdwa
Ponieważ jest to wydłużone ciało, którego prędkość kątową znamy, używamy:
L = Iω
Zanim zmienimy prędkość kątową lub częstotliwość kątową ω do radianów / s:
ω = (300 obrotów / minutę) × (1 minuta / 60 sekund) x (2π radianów / obrót) = 10 π rad / s
Zastępowanie:
L = 3,75 x 10-3 kg⋅mdwa × 10 π rad / s = 0,118 kg⋅mdwa / s
Jeszcze bez komentarzy