Wzory, równania i przykłady obliczeń na moment bezwładności

Plik moment bezwładności sztywnego korpusu względem określonej osi obrotu, przedstawia jego odporność na zmianę jego prędkości kątowej wokół tej osi. Jest proporcjonalna do masy, a także do położenia osi obrotu, ponieważ korpus, zgodnie ze swoją geometrią, może łatwiej obracać się wokół niektórych osi niż w innych.

Załóżmy, że duży obiekt (składający się z wielu cząstek) może obracać się wokół osi. Załóżmy, że działa siła fa, zastosowana stycznie do elementu bryłowego Δm_ja, który wytwarza moment obrotowy lub moment, podany przez τ_netto = ∑r_ja x fa_ja. Wektor r_ja jest położeniem Δm_ja (patrz rysunek 2).

Ten moment jest prostopadły do ​​płaszczyzny obrotu (kierunek +k = wychodząc z papieru). Ponieważ siła i promieniowy wektor położenia są zawsze prostopadłe, iloczyn poprzeczny pozostaje:

τ_netto = ∑ F._ja r_ja k = ∑ (Δm_ja do_ja) r_ja  k = ∑ Δm_ja (do_ja r_ja ) k

Przyspieszenie do_ja reprezentuje styczną składową przyspieszenia, ponieważ przyspieszenie promieniowe nie wpływa na moment obrotowy. Jako funkcję przyspieszenia kątowego α możemy wskazać, że:

do_ja = α r_ja

Dlatego moment obrotowy netto wygląda następująco:

τ_netto = ∑ Δm_ja (α r_ja^dwa) k = (∑ r_ja^dwa Δm_ja) α k

Przyspieszenie kątowe α jest takie samo dla całego obiektu, dlatego nie ma na nie wpływu indeks dolny „i” i może opuścić sumę, która jest właśnie momentem bezwładności obiektu oznaczonym literą I:

I = ∑ r_ja^dwa Δm_ja

Jest to moment bezwładności dyskretnego rozkładu masy. Gdy rozkład jest ciągły, sumowanie jest zastępowane przez całkę i Δm staje się różnicą masy dm. Całka jest wykonywana po całym obiekcie:

I = ∫_M(r^dwa) dm

Jednostki momentu bezwładności w międzynarodowym układzie SI to kg x m^dwa. Jest to wielkość skalarna i dodatnia, ponieważ jest iloczynem masy i kwadratu odległości.

Indeks artykułów

• 1 Przykłady obliczeń
  • 1.1 Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek
  • 1.2 Moment bezwładności dysku względem osi przechodzącej przez jego środek
  • 1.3 Moment bezwładności stałej kuli względem średnicy
  • 1.4 Moment bezwładności litego walca względem osi osiowej
  • 1.5 Moment bezwładności prostokątnego arkusza względem osi przechodzącej przez jego środek
  • 1.6 Moment bezwładności kwadratowego arkusza względem osi przechodzącej przez jego środek
• 2 Twierdzenia o momencie bezwładności
  • 2.1 Twierdzenie Steinera
  • 2.2 Twierdzenie o osiach prostopadłych
• 3 Ćwiczenie rozwiązane
• 4 Odnośniki

Przykłady obliczeń

Rozciągnięty obiekt, taki jak pręt, dysk, kula lub inny, którego gęstość ρ jest stała i wiedząc, że gęstość jest stosunkiem masy do objętości, różnicą mas dm jest napisane jako:

ρ = dm / dV → dm = ρdV

Podstawiając w całce moment bezwładności otrzymujemy:

I = ∫r^dwa ρdV = ρ ∫r^dwadV

Jest to ogólne wyrażenie, ważne dla trójwymiarowego obiektu, którego objętość V i pozycję r są funkcjami współrzędnych przestrzennych x, Y Y z. Zauważ, że będąc stałą, gęstość jest poza całką.

Gęstość ρ Jest również znany jako gęstość objętościowa, ale jeśli obiekt jest bardzo płaski, jak arkusz lub bardzo cienki i wąski jak pręt, można zastosować inne formy gęstości, zobaczmy:

- W przypadku bardzo cienkich arkuszy gęstość, którą należy zastosować, to σ, gęstość powierzchniowa (masa na jednostkę powierzchni) i daje jest różnicą powierzchni.

- A jeśli jest to cienki pręt, w którym istotna jest tylko długość, stosuje się liniową gęstość masy λ i różnicę długości, zgodnie z osią używaną jako odniesienie.

W poniższych przykładach wszystkie obiekty są uważane za sztywne (nie odkształcalne) i mają jednakową gęstość.

Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek

Tutaj obliczymy moment bezwładności cienkiego, sztywnego, jednorodnego pręta o długości L i masie M względem osi przechodzącej przez środek.

Najpierw konieczne jest ustalenie układu współrzędnych i zbudowanie figury o odpowiedniej geometrii, na przykład:

Plik Oś X wzdłuż paska i Oś y jako oś obrotu. Procedura wyznaczania całki wymaga również wybrania różniczki masy na pręcie, tzw dm, który ma różną długość dx i znajduje się na tym miejscu x dowolne, względem środka x = 0.

Zgodnie z definicją liniowej gęstości masy λ:

λ = M / L

Ponieważ gęstość jest jednorodna, co jest ważne dla M i L, jest również ważne dla dm i dx:

λ = dm / dx → dm = λdx.

Z drugiej strony element bryłowy jest w położeniu x, następnie podstawiając tę ​​geometrię w definicji, otrzymujemy całkę oznaczoną, której granicami są końce pręta według układu współrzędnych:

Podstawiając gęstość liniową λ = M / L:

Aby znaleźć moment bezwładności pręta względem innej osi obrotu, na przykład przechodzącej przez jedną z jej skrajności, możesz skorzystać z twierdzenia Steinera (patrz ćwiczenie rozwiązane na końcu) lub wykonać bezpośrednie obliczenia podobne do tego pokazane tutaj, ale odpowiednio modyfikując geometrię.

Moment bezwładności dysku względem osi przechodzącej przez jego środek

Bardzo cienki dysk o znikomej grubości to płaska figura. Jeżeli masa jest równomiernie rozłożona na całej powierzchni obszaru A, gęstość masy σ wynosi:

σ = M / R

Tak wiele dm Co daje odpowiadają masie i powierzchni pierścienia mechanizmu różnicowego pokazanej na rysunku. Zakładamy, że cały zespół obraca się wokół osi y.

Możesz sobie wyobrazić, że dysk składa się z wielu koncentrycznych pierścieni o promieniu r, każdy z odpowiednim momentem bezwładności. Dodanie wkładów wszystkich pierścieni aż do osiągnięcia promienia R, całkowity moment bezwładności dysku wyniesie.

σ = dm / dA → dm = σdaje

Gdzie M reprezentuje całą masę dysku. Powierzchnia dysku zależy od jego promienia r jako:

A = π.r^dwa

Wyprowadzenie w odniesieniu do r:

dA / dr = 2 = 2π.r → dA = 2π.rdr

Zastępując powyższe w definicji I:

Podstawiając σ = M / (π.R^dwa ) pozostaje:

Moment bezwładności stałej kuli względem średnicy

Sfera o promieniu R może być traktowana jako seria dysków ułożonych jeden na drugim, gdzie każdy dysk o nieskończenie małej masie dm, radio r i grubość dz, ma moment bezwładności określony przez:

dał_dysk = (½) r^dwadm

Aby znaleźć tę różnicę, po prostu wzięliśmy wzór z poprzedniej sekcji i podstawiliśmy M Y R dla dm Y r, odpowiednio. Taki dysk można zobaczyć w geometrii na rysunku 5.

Sumując wszystkie nieskończenie małe momenty bezwładności ułożonych dysków, otrzymujemy całkowity moment bezwładności kuli:

ja_kula = ∫dI_dysk

Co jest równoważne z:

I = ∫_kula (½) r^dwadm

Aby rozwiązać całkę, musisz wyrazić dm prawidłowo. Jak zawsze osiąga się to z gęstości:

ρ = M / V = ​​dm / dV → dm = ρ.dV

Objętość dysku różnicowego wynosi:

dV = powierzchnia podstawy x wysokość

Wysokość dysku to grubość dz, podczas gdy powierzchnia podstawy jest πr^dwa, A zatem:

dV = πr^dwadz

A podstawiając w proponowanej całce wyglądałoby to tak:

I = ∫_kula(½) r^dwadm = ∫ (½) r^dwa(ρπr^dwadz)

Ale przed całkowaniem należy zauważyć, że r -promień dysku- zależy od z i R -promień kuli-, jak widać na rysunku 5. Używając twierdzenia Pitagorasa:

R^dwa = r^dwa + z^dwa → r^dwa = R.^dwa - z^dwa

 Co prowadzi nas do:

I = ∫_kula(½) ρ r^dwa(πr^dwadz) = ∫_kula(½) ρ π r⁴dz= ∫_kula(½) ρ π (R^dwa - z^dwa)^dwa dz

Aby przeprowadzić całkowanie po całej kuli, zauważamy, że z waha się między -R i R, dlatego:

Wiedząc to ρ = M / V = ​​M / [(4/3) πR³] ostatecznie uzyskuje się po uproszczeniu:

Moment bezwładności litego walca względem osi osiowej

W przypadku tego obiektu stosowana jest metoda podobna do tej zastosowanej dla kuli, tyle że tym razem łatwiej jest wyobrazić sobie, że cylinder jest utworzony przez cylindryczne powłoki o promieniu r, grubość dr i wysokość H., jakby były warstwami cebuli.

Objętość dV warstwy cylindrycznej to:

dV = 2π.rL.dr

Dlatego masa powłoki wynosi:

dm = ρ. dV = ρ. 2π.r.L.dr

To wyrażenie zostaje zastąpione w definicji momentu bezwładności:

Z powyższego równania wynika, że ​​moment bezwładności walca nie zależy od jego długości, a jedynie od jego masy i promienia. tak L zmieniony, moment bezwładności względem osi osiowej pozostałby taki sam. Z tego powodu, ja cylindra pokrywa się z poprzednio obliczoną cienką tarczą.

Moment bezwładności prostokątnego arkusza względem osi przechodzącej przez jego środek

Plik Oś y pozioma oś obrotu. Poniższy rysunek przedstawia geometrię wymaganą do przeprowadzenia integracji:

Element obszaru zaznaczony na czerwono jest prostokątny. Jego powierzchnia to podstawa x wysokość, dlatego:

dA = a.dz

Dlatego różnica mas wynosi:

dm = σ.dA = σ. (a.dz)

Jeśli chodzi o odległość od elementu obszaru do osi obrotu, to zawsze z. Wszystko to podstawiamy w całce z momentu bezwładności:

Teraz gęstość masy powierzchniowej σ jest zastąpiona przez:

σ = M / ab

I na pewno wygląda to tak:

Zwróć uwagę, że jest podobny do tego z cienkim paskiem.

Moment bezwładności kwadratowego arkusza względem osi przechodzącej przez jego środek

Na boczny kwadrat L, w poprzednim wyrażeniu prawidłowym dla prostokąta po prostu podstaw wartość b za to z L:

Twierdzenia o momencie bezwładności

Istnieją dwa twierdzenia, które są szczególnie przydatne do uproszczenia obliczeń momentów bezwładności względem innych osi, które w przeciwnym razie mogłyby być trudne do znalezienia z powodu braku symetrii. Te twierdzenia to:

Twierdzenie Steinera

Nazywany również twierdzenie o osiach równoległych, wiąże moment bezwładności względem osi z inną, która przechodzi przez środek masy obiektu, o ile osie są równoległe. Aby go zastosować, trzeba znać odległość D między obiema osiami i oczywiście masę M obiektu.

Być ja_z moment bezwładności rozciągniętego obiektu względem oś z, ja_CM moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy (CM) tego obiektu, to prawdą jest, że:

ja_z = Ja_CM + MD^dwa

Lub w zapisie poniższego rysunku: ja_{z '} = Ja_z + Md^dwa

Twierdzenie o osiach prostopadłych

To twierdzenie odnosi się do powierzchni płaskich i wygląda następująco: moment bezwładności obiektu płaskiego wokół osi prostopadłej do niego jest sumą momentów bezwładności wokół dwóch osi prostopadłych do pierwszej osi:

ja_z = Ja_x + ja_Y

Jeśli obiekt ma taką symetrię ja_x i ja_Y są równe, to prawdą jest, że:

ja_z = 2 I._x

Ćwiczenie rozwiązane

Znajdź moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jeden z jego końców, jak pokazano na rysunku 1 (poniżej i po prawej stronie) i rysunku 10.

Rozwiązanie:

Mamy już moment bezwładności pręta wokół osi przechodzącej przez jego geometryczny środek. Ponieważ sztabka jest jednorodna, jej środek masy znajduje się w tym punkcie, więc to będzie nasze ja_CM zastosować twierdzenie Steinera.

Jeśli długość paska wynosi L, oś z znajduje się w odległości D = L / 2, dlatego:

ja_z = Ja_CM + MD^dwa= (1/12) ML^dwa+M (L / 2)^dwa= (1/3) ML^dwa

Bibliografia

1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Podstawy fizyki. Osoba. 190-200.
3. Twierdzenie o osi równoległej. Odzyskane z: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. Cengage.
5. Uniwersytet w Sewilli. Moment bezwładności ciał stałych kulistych. Odzyskany z: laplace.us.es.
6. Uniwersytet w Sewilli. Moment bezwładności układu cząstek. Odzyskany z: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Twierdzenie o osi równoległej. Odzyskane z: en.wikipedia.org