Plik przyjazne lub przyjazne numery są dwiema liczbami naturalnymi a i b, których suma dzielników jednej z nich (bez liczby) jest równa drugiej liczbie, a suma dzielników drugiej liczby (nie wliczając jej też) jest równa pierwszej liczbie.
Znaleziono wiele par liczb, które mają tę osobliwą właściwość. Nie są to zbyt małe liczby, najmniejsze to 220 i 284, odkryte kilka wieków temu. Postawmy więc je jako przykład tego, co oznacza ta osobliwa przyjaźń między liczbami..
Dzielnikami liczby 220, z wyłączeniem 220, są: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110. Z kolei dzielnikami liczby 284, z wyłączeniem 284, są: 1, 2 , 4, 71 i 142.
Teraz dodajemy dzielniki pierwszej liczby, czyli 220:
re1 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Widzimy, że w efekcie suma to 284, przyjazna liczba.
Następnie dodaje się dzielniki 284:
redwa = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
I dostajesz pierwszego członka pary.
Starożytni greccy matematycy ze szkoły pitagorejskiej, założonej przez Pitagorasa (569-475 pne), autora słynnego twierdzenia o tym samym imieniu, zdołali odkryć ten szczególny związek między tymi dwoma liczbami, któremu przypisywali wiele mistycznych cech.
Znali je także średniowieczni muzułmanie islamu, którym około 850 roku n.e. udało się ustalić ogólną formułę pozwalającą znaleźć przyjazne liczby..
Indeks artykułów
Islamski matematyk Thabit Ibn Qurra (826-901) znalazł sposób na wygenerowanie przyjaznych liczb. Sean p, co Y r trzy liczby pierwsze, czyli liczby, które przyjmują tylko 1 i siebie jako dzielniki.
Gdy spełnione są następujące warunki:
p = 3,2n-1 - 1
q = 3,2n - 1
r = 9,22n-1 - 1
Z n liczba większa niż 1, to:
a = 2npq i b = 2nr
Tworzą parę przyjaznych liczb. Przetestujmy wzór na n = 2 i zobaczmy, którą parę przyjaznych liczb generuje:
p = 3,22-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5
q = 3,2dwa - 1 = 11
r = 9,22.2-1 - 1 = 71
Następnie:
a = 2npq = 2dwa. 5,11 = 220
b = 2nr = 2dwa. 71 = 284
Formuła średniowiecznego matematyka działa dla n = 2, ponieważ są to właśnie pierwsze przyjazne liczby, o których mówiono na początku i które były znane już w średniowieczu..
Jednak twierdzenie nie działa dla wszystkich znalezionych do tej pory przyjaznych liczb, tylko dla n = 2, n = 4 i n = 7.
Wieki później szwajcarski matematyk Leonhard Euler (1707-1783) opracował nową zasadę znajdowania przyjaznych liczb, opartą na tej z Thabit Ibn Qurra:
p = (2n-m + 1). dwam - 1
q = (2n-m + 1). dwan - 1
r = (2n-m + 1)dwa. dwam + n - 1
Jak zawsze, liczby p, q i r są liczbami pierwszymi, ale teraz istnieją dwa wykładniki całkowite: m i n, z których m musi spełniać następujący warunek:
1 ≤ m ≤ n-1
Para przyjaznych liczb jest tworzona w ten sam sposób:
a = 2npq
b = 2nr
Jeśli m = n-1, ponownie otrzymujemy twierdzenie Thabit, ale tak jak w przypadku twierdzenia islamskiego matematyka, nie wszystkie liczby przyjazne spełniają regułę Eulera. Jednak wraz z nim wzrosła liczba znanych dotąd przyjaznych numerów..
Oto pierwsze pary wykładników (m, n), za pomocą których można znaleźć przyjazne liczby:
(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) i (29,40)
Później w części ćwiczeń znajdziemy parę przyjaznych liczb, która powstaje dzięki wykładnikom (3,4) reguły Eulera.
-220 i 284
-1184 i 1210
-2620 i 2924
-5020 i 5564
-6232 i 6368
-10,744 i 10,856
-12 285 i 14 595
-17 296 i 18 416
Oczywiście za pomocą komputera można wygenerować znacznie więcej par przyjaznych liczb.
Zobaczymy teraz, jak znaleźć dzielniki liczby, aby sprawdzić, czy są przyjaciółmi. Zgodnie z definicją przyjaznych liczb, wszystkie dzielniki każdego uczestnika są potrzebne, aby móc je dodać, z wyjątkiem samych liczb.
Teraz liczby naturalne można podzielić na dwie grupy: liczby pierwsze i liczby złożone..
Liczby pierwsze przyjmują tylko 1 i siebie jako dokładne dzielniki. A liczby złożone ze swojej strony zawsze można wyrazić jako iloczyn liczb pierwszych i mieć inne dzielniki, oprócz 1 i siebie..
Dowolną liczbę złożoną N, taką jak 220 lub 284, można wyrazić w następujący sposób:
N = an . bm. dop... rk
Gdzie a, b, c… r są liczbami pierwszymi, a n, m, p… k są wykładnikami należącymi do liczb naturalnych, które mogą wynosić od 1 wzwyż.
Jeśli chodzi o te wykładniki, istnieje wzór pozwalający określić, ile (ale nie które) dzielników ma liczba N. Niech C będzie tą liczbą:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
Gdy liczba N zostanie wyrażona w postaci iloczynów liczb pierwszych i wiadomo, ile ma dzielników, mamy już narzędzia, aby dowiedzieć się, jakie są jej dzielniki, zarówno pierwsze, jak i inne. Chodzi o to, że musisz ich wszystkich znać, aby sprawdzić, czy są przyjaciółmi, z wyjątkiem ostatniego, który jest samą liczbą.
Znajdź wszystkie dzielniki pary przyjaznych liczb 220 i 284.
Najpierw znajdźmy pierwsze dzielniki liczby 220, która jest liczbą złożoną:
220 │2
110 │2
55 │5
11-11
1 │
Podstawowa faktoryzacja 220 to:
220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2dwa.5. 11
Zatem n = 2, m = 1, p = 1 i ma:
C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 dzielników
Pierwsze dzielniki, które są zauważane podczas dekompozycji liczby, to: 1, dwa, 4, 5 Y jedenaście. I oni też są 110 Y 55.
Brakowałoby im 5 z nich, które wytwarzają produkty między kuzynami i ich kombinacjami: 2dwa.5 = dwadzieścia; dwadwa.11 = 44; 2. 11 = 22 i wreszcie 1 i jego własny 220.
Analogiczna procedura jest stosowana dla 284:
284 │2
142 │2
71-71
1 │
284 = 2dwa. 71
C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 dzielników
Te dzielniki to: 1, 2, 4, 71, 142 i 284, jak powiedziano na początku.
Sprawdzenie wzoru Eulera dla n = 4 im = 3 generuje trójkę liczb pierwszych (p, q, r) = (23,47, 1151). Jaka jest para przyjaznych liczb utworzonych z nimi?
Liczby pierwsze p, q i r oblicza się ze wzoru:
p = (2n-m + 1). dwam - 1
q = (2n-m + 1). dwan - 1
r = (2n-m + 1)dwa. dwam + n - 1
Podstawiając wartości m = 3 i n = 4, otrzymujemy:
p = (24-3 + 1). dwa3 - 1 = 23
q = (24-3 + 1). dwa4 - 1 = 47
r = (24-3 + 1)dwa. dwa4 + 3 - 1 = 1151
Teraz stosujemy wzór, aby znaleźć parę przyjaznych liczb a i b:
a = 2npq
b = 2nr
a = 2npq = 16,23,47 = 17,296
b = 2nr = 16,151 = 18,416
I rzeczywiście, znajdują się one na liście pierwszych par przyjaznych liczb, które pokazaliśmy wcześniej.
Jeszcze bez komentarzy