Plik numery złożone to liczby całkowite, które mają więcej niż dwa dzielniki. Jeśli przyjrzymy się bliżej, wszystkie liczby są co najmniej podzielne dokładnie przez siebie i przez 1. Te, które mają tylko te dwa dzielniki, nazywane są liczbami pierwszymi, a te, które mają więcej, to związki..
Spójrzmy na liczbę 2, którą można podzielić tylko na 1 i 2. Liczba 3 ma również dwa dzielniki: 1 i 3. Dlatego oba są liczbami pierwszymi. Teraz spójrzmy na liczbę 12, którą możemy podzielić dokładnie przez 2, 3, 4, 6 i 12. Mając 5 dzielników, 12 jest liczbą złożoną.
A co dzieje się z liczbą 1, która dzieli wszystkie pozostałe? Cóż, nie jest liczbą pierwszą, ponieważ nie ma dwóch dzielników i nie jest złożona, dlatego 1 nie należy do żadnej z tych dwóch kategorii. Ale jest o wiele więcej liczb, które to robią..
Liczby złożone można wyrazić jako iloczyn liczb pierwszych, a iloczyn ten, z wyjątkiem kolejności czynników, jest unikalny dla każdej liczby. Zapewnia to fundamentalne twierdzenie arytmetyki udowodnione przez greckiego matematyka Euklidesa (325-365 pne).
Wróćmy do punktu 12, który możemy wyrazić na różne sposoby. Spróbujmy trochę:
12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2dwa x 3 = 3 x 2dwa = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2
Kształty zaznaczone pogrubioną czcionką są iloczynami liczb pierwszych i jedyną rzeczą, która się zmienia, jest kolejność czynników, o której wiemy, że nie zmienia iloczynu. Inne formy, chociaż ważne dla wyrażenia 12, nie składają się wyłącznie z liczb pierwszych.
Jeśli chcemy rozłożyć liczbę złożoną na jej czynniki pierwsze, musimy podzielić ją na liczby pierwsze w taki sposób, aby podział był dokładny, to znaczy reszta była równa 0.
Ta procedura nazywa się faktoryzacja podstawowa lub rozkład kanoniczny. Czynniki pierwsze można podnieść do dodatnich wykładników.
Rozłożymy liczbę 570, zauważając, że jest ona parzysta, a zatem podzielna przez 2, co jest liczbą pierwszą.
Użyjemy ukośnika, aby oddzielić liczbę po lewej stronie od separatorów po prawej stronie. Odpowiednie ilorazy są umieszczane pod liczbą w miarę ich otrzymywania. Rozkład jest zakończony, gdy ostatnia cyfra w lewej kolumnie to 1:
570 │2
285 │
Dzieląc przez 2, iloraz wynosi 285, co jest podzielne przez 5, kolejną liczbę pierwszą kończącą się na 5.
570 │2
285 5
57 │
57 jest podzielne przez 3, również liczbę pierwszą, ponieważ suma jego cyfr 5 + 7 = 12 jest wielokrotnością 3.
570 │2
285 5
57 3
19 │
Ostatecznie otrzymujemy 19, czyli liczbę pierwszą, której dzielniki to 19 i 1:
570 │2
285 5
57 3
19-19
1 │
Otrzymując 1 możemy już wyrazić 570 w ten sposób:
570 = 2 x 5 x 3 x 19
Widzimy, że w efekcie jest to iloczyn 4 liczb pierwszych.
W tym przykładzie zaczynamy od podzielenia przez 2, ale te same współczynniki (w innej kolejności) zostałyby otrzymane, gdybyśmy na przykład zaczęli od dzielenia przez 5.
Aby rozłożyć liczbę złożoną na jej czynniki pierwsze, należy ją dokładnie podzielić. Kryteria podzielności między liczbami pierwszymi to reguły, które pozwalają wiedzieć, kiedy liczba jest podzielna przez inną dokładnie, bez konieczności próbowania lub udowodnienia.
Wszystkie liczby parzyste, kończące się na 0 lub parzyste, są podzielne przez 2.
Jeśli suma cyfr liczby jest wielokrotnością 3, to liczba jest również podzielna przez 3.
Liczby kończące się na 0 lub 5 są podzielne przez 5.
Liczba jest podzielna przez 7, jeśli oddzielając ostatnią cyfrę, mnożąc ją przez 2 i odejmując pozostałą liczbę, otrzymana wartość jest wielokrotnością 7.
Ta reguła wydaje się nieco bardziej skomplikowana niż poprzednie, ale w rzeczywistości to niewiele, więc spójrzmy na przykład: będzie 98 podzielne przez 7?
Postępujmy zgodnie z instrukcjami: oddzielamy ostatnią cyfrę, która wynosi 8, mnożymy ją przez 2, co daje 16. Liczba, która pozostaje po oddzieleniu 8 to 9. Odejmujemy 16 - 9 = 7. A ponieważ 7 jest wielokrotnością siebie , 98 jest podzielne między 7.
Jeżeli suma liczb na pozycji parzystej (2, 4, 6…) zostanie odjęta od sumy liczb na pozycji nieparzystej (1, 3, 5, 7…) i otrzymamy 0 lub wielokrotność 11, liczba jest podzielna przez 11.
Pierwsze wielokrotności 11 można łatwo zidentyfikować: 11, 22, 33, 44… 99. Ale uważaj, 111 nie jest, zamiast tego 110 to.
Na przykład zobaczmy, czy 143 jest wielokrotnością 11.
Ta liczba ma 3 cyfry, jedyna parzysta cyfra to 4 (druga), dwie nieparzyste cyfry to 1 i 3 (pierwsza i trzecia), a ich suma to 4.
Obydwie sumy są odejmowane: 4 - 4 = 0 i skoro otrzymujemy 0, okazuje się, że 143 to wielokrotność 11.
Liczbę bez cyfry jedności należy odjąć od 9-krotności tej cyfry. Jeśli liczba zwraca 0 lub wielokrotność 13, liczba jest wielokrotnością 13.
Jako przykład sprawdzimy, że 156 jest wielokrotnością 13. Cyfra jedności to 6, a liczba, która pozostaje bez niej to 15. Mnożymy 6 x 9 = 54 i teraz odejmujemy 54 - 15 = 39.
Ale 39 to 3 x 13, więc 56 to wielokrotność 13.
Dwie lub więcej liczb pierwszych lub złożonych mogą być liczbami pierwszymi lub współpierwszymi. Oznacza to, że jedynym wspólnym dzielnikiem, jaki mają, jest 1.
Istnieją dwie ważne właściwości, o których należy pamiętać, jeśli chodzi o rośliny względnie pierwsze:
-Dwie, trzy i więcej kolejnych liczb są zawsze pierwsze względem siebie.
-To samo można powiedzieć o dwóch, trzech lub więcej kolejnych liczbach nieparzystych.
Na przykład 15, 16 i 17 są dla siebie liczbami pierwszymi, podobnie jak 15, 17 i 19.
Liczba pierwsza ma dwa dzielniki, tę samą liczbę i 1. Ile dzielników ma liczba złożona? Mogą to być kuzyni lub związki.
Niech N będzie liczbą złożoną wyrażoną w postaci jej rozkładu kanonicznego w następujący sposób:
N = an . bm. dop... rk
Gdzie a, b, c… r są czynnikami pierwszymi, a n, m, p… k odpowiednimi wykładnikami. Cóż, liczba dzielników C, które ma N, jest wyrażona wzorem:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
Gdzie C = dzielniki pierwsze + dzielniki złożone + 1
Na przykład 570, co jest wyrażone w ten sposób:
570 = 2 x 5 x 3 x 19
Wszystkie czynniki pierwsze są podniesione do 1, więc 570 ma:
C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 dzielników
Z tych 10 dzielników, które już znamy: 1, 2, 3, 5, 19 i 570. Brakuje jeszcze 10 dzielników, które są liczbami złożonymi: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 i 285. Można je znaleźć, obserwując rozkład na czynniki pierwsze, a także mnożąc kombinacje tych czynników razem..
Rozłóż następujące liczby na czynniki pierwsze:
a) 98
b) 143
c) 540
d) 3705
98 │2
49 │7
7 │7
1 │
98 = 2 x 7 x 7
143 11
13-13
1 │
143 = 11 x 13
540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │
540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2dwa x 33
3705 5
741 │3
247 13
19-19
1 │
3705 = 5 x 3 x 13 x 19
Dowiedz się, czy poniższe liczby są względem siebie pierwsze:
6, 14, 9
-Dzielnikami liczby 6 są: 1, 2, 3, 6
-Jeśli chodzi o liczbę 14, jest ona podzielna przez: 1, 2, 7, 14
-Wreszcie 9 ma jako dzielniki: 1, 3, 9
Jedynym wspólnym dzielnikiem, który mają wspólnego, jest 1, dlatego są one względem siebie pierwsze.
Jeszcze bez komentarzy