Plik liczby urojone to te, które dają rozwiązanie równania, w którym nieznana, podniesiona do kwadratu, jest równa ujemnej liczbie rzeczywistej. Jednostka wyimaginowana to i = √ (-1).
W równaniu: zdwa= - a, z jest liczbą urojoną wyrażoną w następujący sposób:
z = √ (-a) = i√ (a)
Istota do dodatnia liczba rzeczywista. tak a = 1, następnie z = i, gdzie ja jest wyimaginowaną jednostką.
Ogólnie rzecz biorąc, czysta liczba urojona z jest zawsze wyrażana w postaci:
z = y⋅i
Gdzie Y jest liczbą rzeczywistą e ja jest wyimaginowaną jednostką.
Tak jak liczby rzeczywiste są reprezentowane w linii, zwanej naprawdę prosto, w analogiczny sposób liczby urojone są reprezentowane na Wyobrażona linia.
Plik Wyobrażona linia jest zawsze prostopadła (kształt 90 °) do naprawdę prosto a dwie linie definiują płaszczyznę kartezjańską zwaną złożona płaszczyzna.
Na rysunku 1 pokazano płaszczyznę zespoloną, a na niej przedstawiono niektóre liczby rzeczywiste, niektóre liczby urojone, a także niektóre liczby zespolone:
X1, Xdwa, X3 są to liczby rzeczywiste
Y1, Ydwa, Y3 są to liczby urojone
Zdwa i Z3 są to liczby zespolone
Liczba O jest prawdziwym zerem i jest również zerem urojonym, więc początek O jest zerem zespolonym wyrażonym przez:
0 + 0i
Indeks artykułów
Zbiór liczb urojonych oznaczamy:
I = …, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i,…
Możesz zdefiniować pewne operacje na tym zestawie liczbowym. Z tych operacji nie zawsze uzyskuje się liczbę urojoną, więc przyjrzyjmy się im bardziej szczegółowo:
Liczby urojone można dodawać i odejmować od siebie, uzyskując nową liczbę urojoną. Na przykład:
3i + 2i = 5i
4i - 7i = -3i
Kiedy powstaje iloczyn jednej liczby urojonej z drugą, wynikiem jest liczba rzeczywista. Wykonajmy następującą operację, aby to sprawdzić:
2i x 3i = 6 x idwa = 6 x (√ (-1))dwa = 6 x (-1) = -6.
Jak widzimy, -6 jest liczbą rzeczywistą, chociaż otrzymano ją przez pomnożenie dwóch czystych liczb urojonych.
Jeśli liczba rzeczywista zostanie pomnożona przez i, wynik będzie liczbą urojoną, która odpowiada obrotowi o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
I to jest to, że jadwa odpowiada dwóm kolejnym obrotom o 90 stopni, co jest równoważne pomnożeniu przez -1, czyli idwa = -1. Można to zobaczyć na poniższym schemacie:
Na przykład:
-3 x 5i = -15i
-3 x i = -3i.
Możesz zdefiniować wzmocnienie liczby urojonej do wykładnika będącego liczbą całkowitą:
ja1 = ja
jadwa = i x i = √ (-1) x √ (-1) = -1
ja3 = ja x idwa = -i
ja4 = jadwa x idwa = -1 x -1 = 1
ja5 = ja x i4 = ja
Generalnie musisz jan = i ^ (n mod 4), gdzie mod jest pozostałą częścią podziału między n Y 4.
Potencjowanie liczb całkowitych ujemnych można również przeprowadzić:
ja-1 = 1 / i1 = i / (i x i1) = i / (idwa) = i / (-1) = -i
ja-dwa = 1 / idwa = 1 / (-1) = -1
ja-3= 1 / i3 = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 x i-1 = (-1) x (-i) = i
Ogólnie rzecz biorąc, urojoną liczbą b⋅i podniesioną do potęgi n jest:
(b⋅i) in = bn jan = bn i ^ (n mod 4)
Oto kilka przykładów:
(5 i)12 = 512 ja12 = 512 ja0 = 512 x 1 = 244140625
(5 i)jedenaście = 5jedenaście jajedenaście = 5jedenaście ja3 = 5jedenaście x (-i) = -48828125 i
(-2 i)10 = -210 ja10 = 210 jadwa = 1024 x (-1) = -1024
Kiedy dodajesz liczbę rzeczywistą do urojonej, wynik nie jest ani rzeczywisty, ani urojony, jest to nowy typ liczby o nazwie Liczba zespolona.
Na przykład, jeśli X = 3,5 i Y = 3,75i, wynikiem jest liczba zespolona:
Z = X + Y = 3,5 + 3,75 w
Zauważ, że w sumie części rzeczywistej i urojonej nie można pogrupować razem, więc liczba zespolona zawsze będzie miała część rzeczywistą i część urojoną..
Ta operacja rozszerza zbiór liczb rzeczywistych na najszerszy z liczb zespolonych.
Nazwa liczb urojonych została zaproponowana przez francuskiego matematyka René Descartes (1596-1650) jako kpina lub nieporozumienie z propozycją tego samego włoskiego matematyka stulecia Raffaelle Bombelli.
Inni wielcy matematycy, tacy jak Euler i Leibniz, poparli Kartezjusza w tym sporze i nazwali liczby urojone numery płazów, które były rozdarte między bytem a niczym.
Nazwa liczb urojonych pozostaje do dziś, ale ich istnienie i znaczenie jest bardzo realne i namacalne, ponieważ pojawiają się one naturalnie w wielu dziedzinach fizyki, takich jak:
-Teoria względności.
-W elektromagnetyzmie.
-Mechanika kwantowa.
Znajdź rozwiązania następującego równania:
zdwa + 16 = 0
zdwa = -16
Biorąc pierwiastek kwadratowy z obu członków, mamy:
√ (zdwa ) = √ (-16)
± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i
Innymi słowy, rozwiązania pierwotnego równania to:
z = + 4i lub z = -4i.
Znajdź wynik podniesienia jednostki urojonej do potęgi 5 minus odjęcie jednostki urojonej podniesionej do potęgi -5.
ja5 - ja-5 = ja5 - 1 / i5 = i - 1 / i = i - (i) / (i x i) = i - i / (- 1) = i + i = 2i
Znajdź wynik następującej operacji:
(3i)3 + 9i
33 ja3 - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i
Znajdź rozwiązania następującego równania kwadratowego:
(-2x)dwa + 2 = 0
Równanie jest uporządkowane w następujący sposób:
(-2x)dwa = -2
Następnie brany jest pierwiastek kwadratowy z obu elementów
√ ((- 2x)dwa) = √ (-2)
± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i
Następnie rozwiązujemy x, aby ostatecznie otrzymać:
x = ± √2 / 2 w
Oznacza to, że istnieją dwa możliwe rozwiązania:
x = (√2 / 2) i
Lub ten inny:
x = - (√2 / 2) i
Znajdź wartość Z zdefiniowaną przez:
Z = √ (-9) √ (-4) + 7
Wiemy, że pierwiastek kwadratowy z ujemnej liczby rzeczywistej jest liczbą urojoną, na przykład √ (-9) jest równe √ (9) x √ (-1) = 3i.
Z drugiej strony √ (-4) jest równe √ (4) x √ (-1) = 2i.
Zatem oryginalne równanie można zastąpić:
3i x 2i - 7 = 6 wdwa - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13
Znajdź wartość Z wynikającą z następującego podziału dwóch liczb zespolonych:
Z = (9 - idwa) / (3 + i)
Licznik wyrażenia można rozłożyć na czynniki przy użyciu następującej właściwości:
Różnica kwadratów jest iloczynem sumy i różnicy dwumianów bez kwadratu.
Następnie:
Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)
Wynikowe wyrażenie jest następnie upraszczane, pozostawiając
Z = (3 - i)
Jeszcze bez komentarzy