ZA liczba doskonała to taka liczba naturalna suma jej dzielników jest taka sama jak liczba. Oczywiście samej liczby nie można zawrzeć między dzielnikami.
Jednym z najprostszych przykładów liczby doskonałej jest 6, ponieważ jej dzielnikami są: 1, 2 i 3. Jeśli dodamy dzielniki, otrzymamy: 1 + 2 + 3 = 6.
Wywoływana jest suma dzielników liczby całkowitej, bez samej liczby podwielokrotność. Dlatego doskonała liczba jest równa jej podwielokrotności.
Ale jeśli sama liczba jest zawarta w sumie dzielników liczby, wówczas doskonałą liczbą będzie taka, w której suma wszystkich jej dzielników podzielona przez 2 jest równa samej liczbie..
Indeks artykułów
Starożytni matematycy, zwłaszcza Grecy, przywiązywali wielką wagę do doskonałych liczb i przypisywali im boskie cechy..
Na przykład Filon z Aleksandrii pod koniec pierwszego wieku potwierdził, że 6 i 28 to liczby idealne, które pokrywają się z sześcioma dniami stworzenia świata i dwudziestoma ośmioma dniami, w których Księżyc okrąża Ziemię..
Doskonałe liczby są również obecne w przyrodzie, na przykład na północnym biegunie Saturna pojawia się doskonała liczba 6, wir w kształcie sześciokąta znaleziony przez sondę Cassini, który zaintrygował naukowców..
Plaster miodu pszczół ma komórki w kształcie sześciokąta, to znaczy z 6 bokami. Wykazano, że wielokąt o doskonałej liczbie 6 to taki, który pozwala na maksymalizację liczby komórek w ulu, przy minimalnej ilości wosku do jego opracowania..
Suma wszystkich dzielników liczby naturalnej n jest oznaczona przez σ (n). W przypadku liczby doskonałej jest spełnione, że: σ (n) = 2n.
Euclid odkrył formułę i kryterium, które pozwalają znaleźć idealne liczby. Ta formuła to:
dwa(n-1) (dwan -1)
Jednak liczba wygenerowana przez formułę będzie idealna tylko wtedy, gdy współczynnik (2n -1) być kuzynem.
Zobaczmy, jak generowane są pierwsze doskonałe liczby:
Jeśli n = 2, zostaje nam 21 (dwadwa - 1) = 2 x 3 = 6, które już widzieliśmy, jest idealne.
Gdy n = 3 mamy 2dwa (dwa3 - 1) = 4 x 7 = 28, co jest również doskonałe, co zostało szczegółowo zweryfikowane w przykładzie 1.
Zobaczmy, co się stanie z n = 4. Podstawiając do wzoru Euclida otrzymujemy:
dwa3 (dwa4 - 1) = 8 x 15 = 120
Można zweryfikować, że liczba ta nie jest doskonała, jak pokazano szczegółowo w przykładzie 3. Nie jest to sprzeczne z kryterium Euklidesa, ponieważ 15 nie jest liczbą pierwszą, co jest warunkiem koniecznym, aby wynik był liczbą doskonałą.
Zobaczmy teraz, co się stanie, gdy n = 5. Stosując formułę mamy:
dwa4 (dwa5 - 1) = 16 x 31 = 496
Ponieważ 31 jest liczbą pierwszą, to liczba 496 musi być doskonała, zgodnie z kryteriami Euklidesa. W przykładzie 4 pokazano szczegółowo, że tak jest.
Liczby pierwsze, które mają postać 2p - 1 nazywają się kuzynami Mersenne, na cześć mnicha Marina Mersenne'a, który badał liczby pierwsze i doskonałe w XVII wieku..
Później w XVIII wieku Leonhard Euler wykazał, że wszystkie liczby doskonałe generowane przez formułę Euclida są parzyste.
Jak dotąd nie znaleziono ideału, co byłoby dziwne.
Do chwili obecnej znanych jest 51 liczb doskonałych, wszystkie wygenerowane przez formułę i kryterium Euklidesa. Liczbę tę uzyskano po znalezieniu większego kuzyna Mersenne, czyli: (282589933 - 1).
Idealna liczba # 51 to (282589933) x (282589933 - 1) i ma 49724095 cyfr.
W teorii liczb mówi się, że dwie liczby są przyjaciółmi, gdy suma dzielników jednej, nie licząc samej liczby, jest równa drugiej liczbie i odwrotnie.
Czytelnik może sprawdzić, czy suma dzielników 220, nie licząc 220, wynosi 284. Z drugiej strony, suma dzielników 284, bez 284, jest równa 220. Zatem para liczb 220 i 284 jest przyjaciele.
Z tego punktu widzenia idealna liczba zaprzyjaźnia się z samą sobą..
Poniżej wymieniono pierwszych osiem doskonałych liczb:
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
W następnych ćwiczeniach konieczne będzie obliczenie dzielników liczby, a następnie dodanie ich i sprawdzenie, czy liczba jest liczbą idealną, czy nie..
Dlatego przed przystąpieniem do ćwiczeń dokonamy przeglądu koncepcji i pokażemy, jak są obliczane..
Na początek musisz pamiętać, że liczby mogą być liczbami pierwszymi (kiedy można je podzielić tylko na siebie i 1) lub złożonymi (kiedy można je rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych).
Dla liczby złożonej N mamy:
N = an . bm. dop ... rk
Gdzie a, b, c… r są liczbami pierwszymi, a n, m, p… k są wykładnikami należącymi do liczb naturalnych, które mogą wynosić od 1 wzwyż.
Jeśli chodzi o te wykładniki, istnieje wzór pozwalający określić, ile dzielników ma liczba N, chociaż nie mówi nam, jakie to są. Niech C będzie tą wielkością, więc:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
Rozkład liczby N jako iloczyn liczb pierwszych i wiedza, ile ma dzielników, zarówno pierwszych, jak i innych, pomoże nam określić, jakie są te dzielniki..
Gdy masz je wszystkie, z wyjątkiem ostatniego, który nie jest wymagany w sumie, możesz sprawdzić, czy jest to liczba idealna, czy nie.
Sprawdź, czy liczba 28 jest idealna.
Pierwszą rzeczą będzie rozłożenie liczby na jej czynniki pierwsze.
28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1
Jego dzielnikami są: 1, 2, 4, 7, 14 i 28. Jeśli wykluczymy 28, suma dzielników daje:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28
Dlatego 28 to doskonała liczba.
Ponadto suma wszystkich jej dzielników wynosi 28 + 28, więc reguła σ (28) = 2 x 28 jest spełniona.
Decydowanie, czy liczba 38 jest idealna, czy nie.
Liczba jest rozłożona na jej czynniki pierwsze:
39 | 3
13 | 13
01 | 1
Dzielniki liczby 39 bez samej liczby to: 1, 3 i 13. Suma 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 nie jest równa 39, więc 39 jest liczbą niedoskonałą lub niedoskonałą.
Dowiedz się, czy anioł numer 120 jest doskonały, czy niedoskonały.
Przystępujemy do rozłożenia liczby na jej czynniki pierwsze:
120 | 2
060 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 | 1
Z czynników pierwszych przystępujemy do znalezienia dzielników:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 i 120
Gdyby 120 było idealne, dodanie wszystkich jego dzielników powinno dać 2 x 120 = 240.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
Wynik ten wyraźnie różni się od 240, więc wyciągnięto wniosek, że liczba 120 nie jest liczbą doskonałą..
Sprawdź, czy liczba 496, uzyskana według kryterium Euklidesa, jest liczbą doskonałą.
Liczba 496 jest rozłożona na jej czynniki pierwsze:
496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1
Więc jego dzielnikami są:
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496
Teraz wszystkie z nich zostały dodane, z wyjątkiem 496:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Potwierdzając, że jest to rzeczywiście doskonała liczba.
Jeszcze bez komentarzy