Plik fale liniowe to takie, w których ma zastosowanie zasada superpozycji, to znaczy takie, w których przebieg i jego ewolucja czasoprzestrzenna mogą być osiągnięte jako suma rozwiązań podstawowych, na przykład typu harmonicznego. Nie wszystkie fale są zgodne z zasadą superpozycji, te, które nie są zgodne, nazywane są falami nieliniowymi.
Nazwa „liniowa” pochodzi z faktu, że fale liniowe zawsze spełniają równanie różniczkowe w pochodnych cząstkowych, w którym wszystkie wyrazy dotyczące zmiennej zależnej lub jej pochodnych są podniesione do pierwszej potęgi.
Z drugiej strony, fale nieliniowe spełniają równania falowe, które mają wyrażenia kwadratowe lub wyższe stopnie w zmiennej zależnej lub jej pochodnych.
Fale liniowe są czasami mylone z falami podłużnymi, czyli takimi, w których drgania zachodzą w tym samym kierunku propagacji, co fale dźwiękowe.
Ale fale podłużne, jak również fale poprzeczne, mogą z kolei być liniowe lub nieliniowe, w zależności między innymi od amplitudy początkowego zakłócenia i ośrodka, w którym się rozchodzą..
Zwykle zdarza się, że gdy początkowe zaburzenie ma małą amplitudę, równanie opisujące propagację fali jest liniowe lub może być linearyzowane przez pewne przybliżenia, chociaż nie zawsze tak jest..
Indeks artykułów
W ośrodku liniowym przebieg ograniczony w czasie i przestrzeni może być reprezentowany przez sumę funkcji falowych typu sinus lub cosinus o różnych częstotliwościach i długościach fal przy użyciu szeregu Fouriera.
Fale liniowe zawsze wiązały się z równaniem różniczkowym typu liniowego, którego rozwiązanie stanowi przewidywanie, jakie będzie zakłócenie w późniejszych momentach początkowego zaburzenia, zlokalizowanego przestrzennie w początkowej chwili..
Klasyczne liniowe równanie falowe, w jednym wymiarze przestrzennym, którego rozwiązania są falami liniowymi, to:
W powyższym równaniu lub reprezentuje zaburzenie pewnej wielkości fizycznej w pozycji x i natychmiast t, mianowicie lub jest funkcją x Y t:
u = u (x, t)
Na przykład, jeśli jest to fala dźwiękowa w powietrzu, lub może przedstawiać zmianę ciśnienia w odniesieniu do jego wartości bez zakłócania.
W przypadku fali elektromagnetycznej u oznacza pole elektryczne lub pole magnetyczne oscylujące prostopadle do kierunku propagacji.
W przypadku naprężonej liny, lub przedstawia poprzeczne przemieszczenie w stosunku do równowagi równowagi liny, jak pokazano na poniższym rysunku:
Jeśli istnieją dwa lub więcej rozwiązań liniowego równania różniczkowego, to każde rozwiązanie pomnożone przez stałą będzie rozwiązaniem, podobnie jak ich suma.
W przeciwieństwie do równań nieliniowych, równania falowe liniowe dopuszczają rozwiązania harmoniczne typu:
lub1= A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) Y lubdwa= A⋅sen (k⋅x + ω⋅t)
Można to zweryfikować przez proste podstawienie w równaniu fali liniowej.
Pierwsze rozwiązanie przedstawia falę biegnącą poruszającą się w prawo, a drugie rozwiązanie szybko w lewo c = ω / k.
Rozwiązania harmoniczne są charakterystyczne dla liniowych równań falowych.
Z drugiej strony liniowa kombinacja dwóch rozwiązań harmonicznych jest również rozwiązaniem liniowego równania falowego, na przykład:
u = A.1 cos (k1⋅x - ω1⋅t) + Adwa sen (kdwa⋅x - ωdwa⋅t) jest rozwiązaniem.
Najbardziej istotną cechą fal liniowych jest to, że każdy przebieg, bez względu na to, jak skomplikowany, można uzyskać poprzez sumowanie prostych fal harmonicznych w sinusoidzie i cosinusie:
u (x, t) = A0 + ∑n DOn cos (kn⋅x - ωn⋅t) + ∑m bm sen (km⋅x - ωm⋅t).
W klasycznym liniowym równaniu falowym, do reprezentuje prędkość propagacji impulsu.
W przypadkach, gdy do jest wartością stałą, na przykład falami elektromagnetycznymi w próżni, a następnie impulsem w początkowej chwili t = 0 Kształt f (x) spready według:
u (x, t) = f (x - c⋅t)
Bez żadnych zniekształceń. Kiedy to nastąpi, mówi się, że pożywka jest niedyspersyjna..
Jednak w mediach dyspersyjnych prędkość propagacji c może zależeć od długości fali λ, czyli: c = c (λ).
Fale elektromagnetyczne są rozpraszane podczas podróży przez ośrodek materialny. Również fale powierzchniowe wody przemieszczają się z różnymi prędkościami w zależności od głębokości wody.
Szybkość, z jaką fala harmoniczna danego typu A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) to jest ω / k = c y nazywa się prędkością fazową. Jeśli medium jest dyspersyjne, to do jest funkcją numeru fali k: c = c (k), gdzie k jest powiązany z długością fali wg k = 2π / λ.
Zależność między częstotliwością a długością fali nazywa się współczynnik dyspersji, niż wyrażona jako częstotliwość kątowa ω i numer fali k to jest: ω = c (k) ⋅k.
Niektóre charakterystyczne zależności dyspersji fal liniowych są następujące:
Na falach oceanicznych, gdzie długość fali (odległość między grzbietami) jest znacznie większa niż głębokość H., ale ponieważ jego amplituda jest znacznie mniejsza niż głębokość, zależność dyspersji jest następująca:
ω = √ (gH) ⋅k
Stamtąd można wywnioskować, że rozprzestrzeniają się one ze stałą prędkością √ (gH) (nośnik niedyspersyjny).
Ale fale w bardzo głębokich wodach są rozproszone, ponieważ ich współczynnik dyspersji wynosi:
ω = √ (g / k) ⋅k
Oznacza to, że prędkość fazowa ω / k jest zmienna i zależy od liczby fal, a zatem od długości fali.
Jeśli dwie harmoniczne fale liniowe nakładają się, ale postępują z różnymi prędkościami, to prędkość grupy (to znaczy pakietu fal) nie jest zgodna z prędkością fazową.
Szybkość grupy vsol definiuje się jako pochodną częstotliwości względem liczby falowej w relacji dyspersji: vsol = ω '(k).
Poniższy rysunek przedstawia superpozycję lub sumę dwóch fal harmonicznych lub1= A⋅sen (k1⋅x - ω1⋅t) Y lubdwa= A⋅sen (kdwa⋅x - ωdwa⋅t) podróżowanie z różnymi prędkościami v1= ω1/ k1 Y vdwa= ωdwa/ kdwa. Zwróć uwagę, jak prędkość grupowa różni się od prędkości fazowej, w tym przypadku jest to prędkość grupowa ∆ω / ∆k.
W zależności od współczynnika dyspersji może się nawet zdarzyć, że prędkość fazowa i prędkość grupowa w falach liniowych mają przeciwne kierunki..
Fale elektromagnetyczne to fale liniowe. Jego równanie falowe wywodzi się z równań elektromagnetyzmu (równania Maxwella), które również są liniowe.
Jest to równanie opisujące dynamikę cząstek w skali atomowej, gdzie istotne są charakterystyki falowe, na przykład przypadek elektronów w atomie.
Zatem „fala elektronowa” lub funkcja falowa, jak się ją również nazywa, jest falą liniową.
Fale liniowe to również te, w których amplituda jest znacznie mniejsza niż długość fali, a długość fali znacznie większa niż głębokość. Fale w głębokiej wodzie są zgodne z teorią liniową (znaną jako teoria fal Airy'ego).
Jednak fala, która zbliża się do brzegu i tworzy charakterystyczny grzbiet curlingu (i który uwielbiają surferzy) jest falą nieliniową..
Ponieważ dźwięk jest niewielkim zaburzeniem ciśnienia atmosferycznego, uważa się go za falę liniową. Jednak fala uderzeniowa z eksplozji lub czoło fali z samolotu naddźwiękowego są typowymi przykładami fali nieliniowej..
Fale, które rozchodzą się przez naprężoną linę, są liniowe, o ile początkowa pulsacja ma małą amplitudę, to znaczy nie przekracza granicy sprężystości liny..
Fale liniowe w strunach odbijają się na ich końcach i zachodzą na siebie, dając początek falom stojącym lub modom wibracyjnym, które nadają tonom harmonicznym i subharmonicznym charakterystycznym dla instrumentów smyczkowych..
Jeszcze bez komentarzy