Plik iloczyn krzyżowy lub produkt wektorowy jest to sposób na pomnożenie dwóch lub więcej wektorów. Istnieją trzy sposoby mnożenia wektorów, ale żaden z nich nie jest mnożeniem w zwykłym znaczeniu tego słowa. Jedna z tych form jest znana jako produkt wektorowy, co daje nam trzeci wektor.
Iloczyn wektorowy, nazywany również iloczynem krzyżowym lub iloczynem zewnętrznym, ma różne właściwości algebraiczne i geometryczne. Właściwości te są bardzo przydatne, zwłaszcza w nauce fizyki..
Indeks artykułów
Formalna definicja iloczynu wektorowego jest następująca: jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3) są wektorami, to iloczyn wektorowy A i B, który oznaczymy jako AxB, jest:
AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Ze względu na notację AxB jest odczytywane jako „A cross B”.
Przykładem użycia iloczynu zewnętrznego jest to, że jeśli A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4) są wektorami, to używając definicji iloczynu wektorowego mamy:
AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)
AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).
Innym sposobem wyrażenia iloczynu wektorowego jest zapis wyznaczników.
Obliczenie wyznacznika drugiego rzędu daje:
Dlatego wzór na iloczyn krzyżowy podany w definicji można przepisać w następujący sposób:
Zwykle upraszcza się to do wyznacznika trzeciego rzędu w następujący sposób:
Gdzie i, j, k reprezentują wektory tworzące podstawę R.3.
Używając tego sposobu wyrażenia iloczynu krzyżowego, mamy, że poprzedni przykład można przepisać jako:
Niektóre właściwości, które posiada produkt wektorowy, są następujące:
Jeśli A jest dowolnym wektorem w R.3, musimy:
- AxA = 0
- Ax0 = 0
- 0xA = 0
Te właściwości można łatwo sprawdzić przy użyciu samej definicji. Jeśli A = (a1, a2, a3) mamy:
AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.
Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.
Jeśli i, j, k reprezentują podstawę jednostki R.3, możemy je zapisać w następujący sposób:
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
Tak więc mamy, że następujące właściwości są prawdziwe:
Z zasady mnemonicznej często używa się następującego koła do zapamiętania tych właściwości:
Tam musimy zauważyć, że każdy wektor ze sobą daje w rezultacie wektor 0, a resztę iloczynów można uzyskać zgodnie z następującą regułą:
Iloczyn poprzeczny dwóch kolejnych wektorów w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara daje następny wektor; a gdy rozważa się kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara, wynikiem jest następujący wektor ze znakiem ujemnym.
Dzięki tym właściwościom widzimy, że produkt wektorowy nie jest przemienny; na przykład, po prostu zauważ, że i x j ≠ j x i. Następująca właściwość mówi nam, w jaki sposób AxB i BxA są ogólnie powiązane.
Jeśli A i B są wektorami R.3, musimy:
AxB = - (BxA).
Jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), z definicji produktu zewnętrznego mamy:
AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)
= (- 1) (BxA).
Widzimy również, że ten produkt nie jest skojarzony z następującym przykładem:
ix (ixj) = ixk = - j ale (ixi) xj = 0xj = 0
Z tego widać, że:
ix (ixj) ≠ (ixi) xj
Jeśli A, B, C są wektorami R.3 a r jest liczbą rzeczywistą, prawdą jest:
- Ax (B + C) = AxB + AxC
- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)
Dzięki tym właściwościom możemy obliczyć iloczyn wektorowy korzystając z praw algebry, pod warunkiem przestrzegania kolejności. Na przykład:
Jeśli A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4), możemy je przepisać na podstawie kanonicznej podstawy R3.
Zatem A = i + 2j + 3k i B = 3i - 2j + 4k. Następnie stosując poprzednie właściwości:
AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)
= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)
= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)
= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k
= (14, 5, - 8).
Jak wspomnieliśmy na początku, oprócz iloczynu wektorów istnieją inne sposoby mnożenia wektorów. Jednym z tych sposobów jest iloczyn skalarny lub iloczyn skalarny, który jest oznaczony jako A and B i którego definicja to:
Jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), to A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3
Właściwość, która wiąże oba produkty, jest znana jako iloczyn potrójny skalarny.
Jeśli A, B i C są wektorami R.3, wtedy A ∙ BxC = AxB ∙ C
Jako przykład zobaczmy, że biorąc pod uwagę A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ta właściwość jest spełniona.
BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k
A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74
Z drugiej strony:
AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k
AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74
Innym potrójnym produktem jest Ax (BxC), który jest znany jako potrójny produkt wektorowy..
Jeśli A, B i C są wektorami R.3, następnie:
Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C
Jako przykład zobaczmy, że biorąc pod uwagę A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ta właściwość jest spełniona.
Z poprzedniego przykładu wiemy, że BxC = (- 18, - 22, 17). Obliczmy Ax (BxC):
Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k
Z drugiej strony musimy:
A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4
A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3
Dlatego musimy:
(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)
Jest to jedna z właściwości geometrycznych wektorów. Jeśli A i B są dwoma wektorami w R3 a ϴ jest kątem utworzonym między nimi, to:
|| AxB || = || A |||| B || sin (ϴ), gdzie || ∙ || oznacza moduł lub wielkość wektora.
Geometryczna interpretacja tej właściwości jest następująca:
Niech A = PR i B = PQ. Następnie kąt utworzony przez wektory A i B jest kątem P trójkąta RQP, jak pokazano na poniższym rysunku.
Dlatego obszar równoległoboku, który ma PR i PQ jako sąsiednie boki, to || A |||| B || sin (ϴ), ponieważ możemy przyjąć za podstawę || A || a jego wysokość jest określona wzorem || B || sin (ϴ).
W ten sposób możemy wywnioskować, że || AxB || jest obszarem wspomnianego równoległoboku.
Biorąc pod uwagę następujące wierzchołki czworoboku P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) i S (5,7, -3), pokaż, że wspomniany czworobok jest równoległobokiem i znajdź jego pole.
W tym celu najpierw określamy wektory, które określają kierunek boków czworoboku. To jest:
A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)
B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)
C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)
D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)
Jak widać, A i C mają ten sam wektor kierunkowy, więc oba są równoległe; to samo dzieje się z B i D. Dlatego dochodzimy do wniosku, że PQRS jest równoległobokiem.
Aby mieć pole tego równoległoboku, obliczamy BxA:
BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)
= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i
= - 6i - 2j - 7k.
Dlatego kwadrat do kwadratu będzie wyglądał następująco:
|| BxA ||dwa = (- 6)dwa + (- dwa)dwa + (- 7)dwa = 36 + 4 + 49 = 89.
Można wywnioskować, że obszar równoległoboku będzie pierwiastkiem kwadratowym z 89.
Dwa wektory A i B są równoległe w R3 wtedy i tylko wtedy, gdy AxB = 0
Oczywiste jest, że jeśli A lub B są wektorem zerowym, spełnione jest, że AxB = 0. Ponieważ wektor zerowy jest równoległy do dowolnego innego wektora, to właściwość jest prawidłowa.
Jeśli żaden z dwóch wektorów nie jest wektorem zerowym, mamy, że ich wielkości są różne od zera; to znaczy oba || A || ≠ 0 jak || B || ≠ 0, więc będziemy mieli || AxB || = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy sin (ϴ) = 0, a dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy ϴ = π lub ϴ = 0.
Dlatego możemy stwierdzić, że AxB = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ϴ = π lub ϴ = 0, co ma miejsce tylko wtedy, gdy oba wektory są do siebie równoległe.
Jeśli A i B są dwoma wektorami w R3, to AxB jest prostopadłe zarówno do A, jak i B..
Dla tego dowodu pamiętajmy, że dwa wektory są prostopadłe, jeśli A ∙ B jest równe zero. Ponadto wiemy, że:
A ∙ AxB = AxA ∙ B, ale AxA jest równe 0. Zatem mamy:
A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.
Z tego możemy wywnioskować, że A i AxB są do siebie prostopadłe. Podobnie musimy:
AxB ∙ B = A ∙ BxB.
Ponieważ BxB = 0, mamy:
AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.
Dlatego AxB i B są do siebie prostopadłe, a wraz z tym właściwość jest zademonstrowana. Jest to bardzo przydatne, ponieważ pozwala nam określić równanie płaszczyzny.
Uzyskaj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) i R (2, 1, 3).
Niech A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) i B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Wtedy A = - i + 3j + k i B = i - 2j + k. Aby znaleźć płaszczyznę utworzoną przez te trzy punkty, wystarczy znaleźć wektor normalny do płaszczyzny, czyli AxB.
AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.
Mając ten wektor i biorąc punkt P (1, 3, 2), możemy wyznaczyć równanie płaszczyzny w następujący sposób:
(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0
Zatem mamy, że równanie płaszczyzny to 5x + 2y - z - 9 = 0.
Znajdź równanie płaszczyzny zawierającej punkt P (4, 0, - 2) i która jest prostopadła do każdej z płaszczyzn x - y + z = 0 i 2x + y - 4z - 5 = 0 .
Wiedząc, że wektor normalny do płaszczyzny ax + by + cz + d = 0 to (a, b, c), mamy, że (1, -1,1) jest wektorem normalnym x - y + z = 0 y (2,1, - 4) jest wektorem normalnym 2x + y - 4z - 5 = 0.
Dlatego wektor normalny do poszukiwanej płaszczyzny musi być prostopadły do (1, -1,1) i do (2, 1, - 4). Wspomniany wektor to:
(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.
Następnie mamy, że poszukiwana płaszczyzna to ta, która zawiera punkt P (4,0, - 2) i ma wektor (3,6,3) jako wektor normalny.
3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0
x + 2y + z - 2 = 0.
Aplikacja z iloczynem potrójnym skalarnym ma być w stanie obliczyć objętość równoległościanu, którego krawędzie wyznaczają wektory A, B i C, jak pokazano na rysunku:
Możemy wydedukować tę aplikację w następujący sposób: jak powiedzieliśmy wcześniej, wektor AxB jest wektorem normalnym do płaszczyzny A i B. Mamy również to, że wektor - (AxB) jest innym wektorem normalnym do wspomnianej płaszczyzny.
Wybieramy wektor normalny, który tworzy najmniejszy kąt z wektorem C; bez utraty ogólności niech AxB będzie wektorem, którego kąt z C jest najmniejszy.
Mamy, że zarówno AxB, jak i C mają ten sam punkt wyjścia. Ponadto wiemy, że obszar równoległoboku, który tworzy podstawę równoległościanu, to || AxB ||. Dlatego, jeśli wysokość równoległościanu jest podana przez h, mamy, że jego objętość będzie wynosić:
V = || AxB || h.
Z drugiej strony rozważmy iloczyn skalarny między AxB i C, który można opisać następująco:
Jednak z właściwości trygonometrycznych mamy h = || C || cos (ϴ), więc mamy:
W ten sposób mamy to:
Ogólnie rzecz biorąc, mamy, że objętość równoległościanu jest określona przez wartość bezwzględną potrójnego iloczynu skalarnego AxB ∙ C.
Biorąc pod uwagę punkty P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) i S = (2, 6, 9), punkty te tworzą równoległościan, którego krawędzie są to PQ, PR i PS. Określ objętość wspomnianego równoległościanu.
Jeśli weźmiemy:
- A = PQ = (-1, 6, 1)
- B = PR = (-4, 4, 2)
- C = PS = (-3, 2, 2)
Korzystając z własności iloczynu potrójnego skalarnego, otrzymujemy:
AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).
AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.
Dlatego mamy, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 52.
Określ objętość równoległościanu, którego krawędzie są podane przez A = PQ, B = PR i C = PS, gdzie punkty P, Q, R i S to (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) i (2, 2, 5) odpowiednio.
Najpierw mamy, że A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).
Obliczamy AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).
Następnie obliczamy AxB ∙ C:
AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.
Zatem wnioskujemy, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 1 jednostkę sześcienną.
Jeszcze bez komentarzy