Plik punkty współpłaszczyznowe wszystkie należą do tej samej płaszczyzny. Dwa punkty są zawsze współpłaszczyznowe, ponieważ te punkty definiują linię, przez którą przechodzą nieskończone płaszczyzny. Wówczas oba punkty należą do każdej z płaszczyzn przechodzących przez linię i dlatego zawsze będą współpłaszczyznowe.
Z drugiej strony, trzy punkty definiują jedną płaszczyznę, z której wynika, że trzy punkty zawsze będą współpłaszczyznowe do wyznaczonej przez nie płaszczyzny..
Więcej niż trzy punkty mogą być współpłaszczyznowe lub nie. Na przykład na rysunku 1 punkty A, B, C i D są współpłaszczyznowe do płaszczyzny (Ω). Ale E, F i G nie są współpłaszczyznowe do (Ω), chociaż są współpłaszczyznowe z płaszczyzną, którą definiują.
Indeks artykułów
Równanie płaszczyzny wyznaczonej przez trzy znane punkty A, B, C jest zależnością matematyczną, która gwarantuje, że każdy punkt P o współrzędnych ogólnych (x, y, z), który spełnia równanie, należy do tej płaszczyzny.
Poprzednie stwierdzenie jest równoznaczne z powiedzeniem, że jeśli P o współrzędnych (x, y, z) spełnia równanie płaszczyzny, to wspomniany punkt będzie współpłaszczyznowy z trzema punktami A, B, C, które wyznaczyły płaszczyznę.
Aby znaleźć równanie tej płaszczyzny, zacznijmy od znalezienia wektorów AB Y AC:
AB = [Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az]
AC = [Cx - Ax, Cy - Ay, Cz - Az]
Iloczyn wektorowy AB X AC skutkuje wektorem prostopadłym lub normalnym do płaszczyzny określonej przez punkty A, B, C.
Dowolny punkt P o współrzędnych (x, y, z) należy do płaszczyzny wektora AP jest prostopadła do wektora AB X AC, co jest gwarantowane, jeśli:
AP • (AB X AC) = 0
Jest to równoważne stwierdzeniu, że potrójny iloczyn AP, AB Y AC jest null. Powyższe równanie można zapisać w postaci macierzowej:
Niech punkty A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) i D (do, 0, 1). Jaka powinna mieć wartość do tak, że cztery punkty są współpłaszczyznowe?
Aby znaleźć wartość a, punkt D musi być częścią płaszczyzny określonej przez A, B i C, co jest gwarantowane, jeśli spełnia równanie płaszczyzny.
Rozwijając wyznacznik mamy:
a (-1-1) + 1 (-1 - 7) -1 (1 - 7) = -2a -8 + 6 = -2a - 2 = 0
Powyższe równanie nam to mówi a = -1 aby równość została spełniona. Innymi słowy, jedyny sposób, w jaki punkt D (do, 0,1) jest współpłaszczyznowa z punktami A, B i C. do warta -1. W przeciwnym razie nie będzie współpłaszczyznowy.
Płaszczyzna przecina kartezjańskie osie X, Y, Z odpowiednio na 1, 2 i 3. Punkt przecięcia tej płaszczyzny z osiami wyznacza punkty A, B i C. Znajdź składową Dz punktu D, którego składowe kartezjańskie to:
D (-Dz, Dz + 1, Dz)
Pod warunkiem, że D leży w jednej płaszczyźnie z punktami A, B i C..
Gdy punkty przecięcia płaszczyzny z osiami kartezjańskimi są znane, można zastosować segmentową postać równania płaszczyzny:
x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1
Ponieważ punkt D musi należeć do poprzedniej płaszczyzny, musi:
-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1
Mianowicie:
-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1
Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½
Dz (-1 / 6⅙) = ½
Dz = -3
Z powyższego wynika, że punkt D (3, -2, -3) jest współpłaszczyznowy z punktami A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) i C (0, 0, 3).
Określić, czy punkty A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) i D (2, 3, 1) są współpłaszczyznowe.
Tworzymy macierz, której wiersze są współrzędnymi D-A, B-A i C-A. Następnie obliczany jest wyznacznik i sprawdzane, czy jest zerowy.
Po wykonaniu wszystkich obliczeń stwierdza się, że są one współpłaszczyznowe.
W przestrzeni są dwie linie. Jedną z nich jest prosta (R), której równanie parametryczne to:
(R): x = 1 + 2 λ; y = 1 - λ; z = 1
A druga to prosta (S), której równanie to:
(S): x + 2 y = 1; z = -1
Pokaż, że (R) i (S) są liniami współpłaszczyznowymi, to znaczy leżą w tej samej płaszczyźnie.
Zacznijmy od arbitralnego wzięcia dwóch punktów na prostej (R) i dwóch na linii (S):
Prosty (R): λ = 0; A (1, 1, 1) i λ = 1; B (3, 0, 1)
Zróbmy x = 0 na linii (S)=> y = ½; C (0, ½, -1). Z drugiej strony, jeśli to zrobimy y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).
Oznacza to, że wzięliśmy punkty A i B należące do prostej (R) oraz punkty C i D należące do linii (S). Jeśli te punkty są współpłaszczyznowe, wówczas te dwie linie również będą współpłaszczyznowe.
Teraz wybieramy punkt A jako oś obrotu, a następnie znajdujemy współrzędne wektorów AB, AC Y OGŁOSZENIE. W ten sposób otrzymujesz:
B - A: (3-1, 0-1, 1 - 1) => AB= (2, -1, 0)
C - A: (0-1, 1/2-1, -1 - 1) => AC= (-1, -1/2, -2)
D - A: (1-1, 0-1, -1 - 1) => OGŁOSZENIE= (0, -1, -2)
Następnym krokiem jest skonstruowanie i obliczenie wyznacznika, którego pierwszym wierszem są współczynniki wektora AB, w drugim rzędzie są te z AC aw trzecim rzędzie te z wektora OGŁOSZENIE:
Ponieważ wyznacznik okazuje się być zerowy, możemy wywnioskować, że cztery punkty są współpłaszczyznowe. Dodatkowo można stwierdzić, że linie (R) i (S) są również współpłaszczyznowe.
Proste (R) i (S) są współpłaszczyznowe, jak pokazano w ćwiczeniu 3. Znajdź równanie płaszczyzny, która je zawiera.
Punkty A, B, C całkowicie definiują tę płaszczyznę, ale chcemy narzucić, że każdy punkt X o współrzędnych (x, y, z) należy do tej samej.
X - A: (x-1, y -1, z - 1) => TOPÓR= (x-1, y -1, z - 1)
B - A: (3-1, 0-1, 1 - 1) => AB= (2, -1, 0)
C - A: (0-1, 1/2-1, -1 - 1) => AC= (-1, -1/2, -2)
Aby X należał do płaszczyzny określonej przez A, B, C iw której znajdują się proste (R) i (S), konieczne jest, aby wyznacznik utworzony w jej pierwszym rzędzie przez składowe TOPÓR, w drugim przez te z AB aw trzecim przez tych z AC:
Kierując się tym wynikiem, grupujemy w ten sposób:
2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0
I od razu widać, że można to przepisać w ten sposób:
x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0
Dlatego x + 2y - z = 2 jest równaniem płaszczyzny zawierającej proste (R) i (S).
Jeszcze bez komentarzy