Plik stosunki trygonometryczne są ilorazami lub stosunkami, które można obliczyć z wartości boków trójkąta prostokątnego. Te boki to: dwie nogi, które tworzą ze sobą 90º i przeciwprostokątna, która tworzy kąt ostry θ z jedną z nóg.
Możesz utworzyć 6 ilorazów. Ich nazwy i odpowiednie skróty to:
Wszystkie odnoszą się do kąta θ, jak pokazano na poniższym rysunku:
Podstawowe stosunki trygonometryczne kąta θ to sin θ, cos θ i tan θ, natomiast pozostałe stosunki można wyrazić za pomocą tych trzech. Z powyższej tabeli widać, że:
Rozmiar boków trójkąta nie wpływa na wartość współczynników, ponieważ dwa trójkąty, których kąty są takie same, są trójkątami podobnymi, a odpowiednie stosunki między bokami mają tę samą wartość.
Indeks artykułów
Na przykład obliczmy stosunki trygonometryczne kąta θ w następujących trójkątach:
Dla małego trójkąta mamy trzy podstawowe stosunki kąta θ:
sin θ = 3/5
cos θ = 4/5
tg θ = ¾
A teraz obliczmy trzy podstawowe stosunki θ z dużym trójkątem:
sin θ = 30/50 = 3/5
cos θ = 40/50 = 4/5
tg θ = 30/40 = ¾
Ważnym szczegółem, który należy wziąć pod uwagę, jest: zarówno sin θ, jak i cos θ są mniejsze niż 1, ponieważ nogi zawsze mierzą mniej niż przeciwprostokątna. W rzeczy samej:
sin θ = 3/5 = 0,6
cos θ = 4/5 = 0,8
W kolejnych ćwiczeniach zostaniesz poproszony o rozwiązanie trójkąta prostokątnego, co oznacza znalezienie długości jego trzech boków i miary jego wewnętrznych kątów, z których jeden zawsze wynosi 90º.
Twierdzenie Pitagorasa odnosi się do trójkątów prostokątnych i jest bardzo przydatne, gdy znane są dwa boki i trzeba określić brakujący bok. Twierdzenie wygląda następująco:
Przeciwprostokątnadwa = przeciwległa nogadwa + sąsiednia nogadwa
Twierdzenie Pitagorasa możemy sprawdzić za pomocą małego trójkąta na rysunku 2, którego odnogi mają wymiary 3 i 4. Kolejność, w jakiej brane są nogi, nie ma znaczenia. Stosując twierdzenie mamy:
Przeciwprostokątnadwa = 3dwa + 4dwa = 9 + 16 = 25
Dlatego przeciwprostokątna to:
Przeciwprostokątna = √25 = 5
Oblicz stosunki trygonometryczne kątów przedstawionych w następujących trójkątach:
Ten trójkąt jest taki sam jak na rycinie 3, ale jesteśmy proszeni o podanie stosunków trygonometrycznych drugiego kąta ostrego, oznaczonego α. Oświadczenie nie podaje wartości przeciwprostokątnej, jednak stosując twierdzenie Pitagorasa wiemy, że jest ono warte 5.
Wskaźniki można obliczyć bezpośrednio z definicji, uważając przy wyborze nogi, czyli przeciwieństwo kąta α obliczyć sin α. Zobaczmy:
Jak widać, wartości stosunków trygonometrycznych zostały zamienione. Rzeczywiście, α i θ są kątami komplementarnymi, co oznacza, że sumują się do 90º. W tym przypadku prawdą jest, że sin α = cos θ i tak dalej z innych powodów.
Obliczmy przeciwprostokątną trójkąta za pomocą twierdzenia Pitagorasa:
Przeciwprostokątnadwa = 20dwa + dwadzieścia jedendwa = 841
√841 = 29
Wtedy 6 stosunków trygonometrycznych kąta β to:
a) Znajdź wartość x na rysunku.
b) Oblicz obwód trzech pokazanych trójkątów.
Na rysunku możemy zidentyfikować kilka trójkątów, w szczególności prawy trójkąt po lewej, który ma nogę równą 85 i kąt ostry 60º.
Na podstawie informacji z tego trójkąta możemy obliczyć bok b. Nie jest to miara wymagana w oświadczeniu, ale poznanie jej wartości jest krokiem poprzedzającym.
Aby to określić, odpowiedni stosunek wynosi tg 60º = 85 / b, ponieważ b jest ramieniem przylegającym do 60º, a 85 jest przeciwieństwem wymienionego kąta. W związku z tym:
b = 85 / tg 60º = 85 / √3
Kiedy poznamy b, użyjemy dużego i zewnętrznego trójkąta prostokątnego, który ma wspólny bok z poprzednim trójkątem: ten, który mierzy 85. To jest noga przeciwległa do kąta 30º..
Stamtąd:
Noga sąsiadująca z 30º = (85 / √3) + x
Teraz możemy zaproponować co następuje:
85 / [(85 / √3) + x] = tg 30º
To, co jest w nawiasach, powoduje pomnożenie tg 30º:
85 = [(85 / √3) + x]. tg 30º
Stosowanie rozdzielczej własności mnożenia:
85 = tg 30 °. (85 / √3) + x. tg 30º
W związku z tym:
x.tg 30º = 85 - tg 30º. (85 / √3) = 85 [1 - tg 30º. (1 / √3)] = 85. (2/3) = 170/3
Podstawiając wartość tg 30º = √3 / 3:
x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98,15
Niech h1 przeciwprostokątna tego trójkąta, którą można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa lub za pomocą stosunku trygonometrycznego, na przykład cos 60º:
cos 60 º = 85 / √3 / h1→ godz1 = (85 / √3) ÷ cos 60º = 98,1
Aby znaleźć P, obwód tego trójkąta, po prostu dodajemy 3 boki:
P = 85 + (85 / √3) + 98,1 = 232,2
Niech hdwa do przeciwprostokątnej trójkąta zewnętrznego:
sin 30º = 85 ÷ hdwa
godzdwa = 85 ÷ sin 30º = 170
Dla tego trójkąta obwód wynosi:
P = 85 + [(85 / √3) + 98,15] + 170 = 402,22
Znamy już wszystkie jego boki tego trójkąta:
P = x + h1 + godzdwa = 98,15 + 98,15 + 170 = 366,3
Stosunki trygonometryczne mają wiele praktycznych zastosowań, na przykład można obliczyć wysokości.
Załóżmy, że wieża ciśnień znajduje się 100 metrów od budynku. Obserwator przy oknie zauważa, że kąt podniesienia górnego końca wieży wynosi 39º, podczas gdy kąt obniżenia, z jakim patrzy się na podstawę wieży, wynosi 25º. Zastanawia się:
a) Jaka jest wysokość wieży?
b) Jak wysokie jest okno?
Z nogi znajdującej się naprzeciw 39º górnego trójkąta otrzymujemy część odpowiedzi:
godz1/ 325 = tg 39º → godz1 = 325. tg 39º stopy = 263,2 stopy
W podobny sposób otrzymujemy pozostałą część wysokości wieży, zwaną hdwa zaczynając od dolnego trójkąta:
godzdwa/ 325 = tg 25º → godzdwa = 325. tg 25º stopy = 151,6 stopy
Całkowita wysokość wieży to h1 + godzdwa = 263,2 + 151,6 stopy = 414,7 stopy.
Okno znajduje się dokładnie na wysokości hdwa ziemia:
godzdwa = 151,6 stopy.
Jeszcze bez komentarzy