Plik reguła Simpsonów jest metodą obliczania w przybliżeniu całek oznaczonych. Opiera się na podzieleniu przedziału całkowania na parzystą liczbę równo rozmieszczonych podprzedziałów.
Ekstremalne wartości dwóch kolejnych podrzędnych przedziałów definiują trzy punkty, do których pasuje parabola, której równanie jest wielomianem drugiego stopnia.
Następnie obszar pod krzywą funkcji w dwóch kolejnych przedziałach jest aproksymowany przez pole wielomianu interpolacyjnego. Dodając udział w polu pod parabolą wszystkich kolejnych pod-przedziałów, otrzymujemy przybliżoną wartość całki.
Z drugiej strony, ponieważ całkę paraboli można obliczyć dokładnie algebraicznie, można znaleźć wzór analityczny na przybliżoną wartość całki oznaczonej. Jest znany jako Wzór Simpsona.
Błąd przybliżonego wyniku uzyskanego w ten sposób maleje, gdy liczba podpodziałów n jest większa (gdzie n jest liczbą parzystą).
Poniżej zostanie podane wyrażenie, które pozwoli oszacować górną granicę błędu aproksymacji do całki I, gdy wykonano podział n regularnych podprzedziałów całkowitego przedziału [a, b].
Indeks artykułów
Przedział całkowania [a, b] jest podzielony na n podprzedziałów, przy czym n jest parzystą liczbą całkowitą. Szerokość każdego podziału będzie wynosić:
h = (b - a) / n
W ten sposób na przedziale [a, b] wykonujemy podział:
X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn
Gdzie X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
Wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu całkę oznaczoną I ciągłej, a najlepiej gładkiej funkcji na przedziale [a, b], jest:
Aby otrzymać wzór Simpsona, w każdym podprzedziale [Xi, Xi + 2] funkcja f (X) jest aproksymowana przez wielomian drugiego stopnia p (X) (parabola), który przechodzi przez trzy punkty: [Xi, f (Xi)] ; [Xi + 1, f (Xi + 1)] i [Xi + 2, f (Xi + 2)].
Następnie obliczamy całkę z wielomianu p (x) w [Xi, Xi + 2], która jest przybliżeniem całki funkcji f (X) w tym przedziale.
Równanie paraboli p (X) ma postać ogólną: p (X) = A Xdwa + B X + C. Gdy parabola przechodzi przez punkty Q zaznaczone na czerwono (patrz rysunek), współczynniki A, B, C są określane z następującego układu równań:
A (-h)dwa - B h + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h)dwa + B h + C = f (Xi + 2)
Można zauważyć, że współczynnik C jest określony. Aby wyznaczyć współczynnik A, dodajemy pierwsze i trzecie równanie otrzymując:
2 A godzdwa + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Następnie wartość C jest podstawiana i A jest usuwana, pozostawiając:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 godz.dwa)
Aby określić współczynnik B, trzecie równanie odejmuje się od pierwszego i rozwiązuje B, uzyskując:
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 godz.
Podsumowując, wielomian drugiego stopnia p (X) przechodzący przez punkty Qi, Qi + 1 i Qi + 2 ma współczynniki:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 godz.dwa)
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 godz
C = f (Xi + 1)
Jak już wspomniano, na całkowitym przedziale całkowania [a, b] tworzy się podział X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn z krokiem h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n , gdzie n jest liczbą parzystą.
Zauważ, że błąd maleje wraz z czwartą potęgą liczby podpodziałów w przedziale. Na przykład, jeśli przejdziesz z n podpodziałów do 2n, błąd zmniejszy się o współczynnik 1/16.
Górną granicę błędu otrzymanego przez przybliżenie Simpsona można otrzymać z tego samego wzoru, zastępując czwartą pochodną maksymalną wartość bezwzględną czwartej pochodnej w przedziale [a, b].
Rozważmy funkcję f (X) = 1 / (1 + Xdwa).
Znajdź całkę oznaczoną funkcji f (X) na przedziale [-1, 1] używając metody Simpsona z dwoma podpodziałami (n = 2).
Przyjmujemy n = 2. Granice całkowania to a = -1 i b = -2, więc partycja wygląda następująco:
X0 = -1; X1 = 0 i X2 = +1.
Dlatego formuła Simpsona przyjmuje następującą postać:
Przy n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, więc:
Rozważmy funkcję f (X) = 1 / (1 + Xdwa).
Znajdź całkę oznaczoną funkcji f (X) na przedziale [-1, 1] używając wzoru Simpsona z czterema podpodziałami (n = 4).
Przyjmujemy n = 4. Granice całkowania to a = -1 i b = -2, więc partycja wygląda następująco:
X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 i X4 = +1.
Formuła Simpsona jest sformułowana w następujący sposób:
Całka ≃ [(b -a) / (3 n)] [f (X0) + 4 I + 2 P + f (Xn)]
W przypadku, w którym jest stosowany, wygląda to następująco:
Całka ≃ (1 - (1)) / (3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)
Całka ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666
Wyznacz dokładnie całkę oznaczoną z poprzednich przykładów i porównaj dokładny wynik z wynikami uzyskanymi za pomocą wzoru Simpsona w przykładach 1a i 1b.
Całka nieoznaczona funkcji f (X) = 1 / (1 + Xdwa) jest funkcją arctan (X).
Oceniając w granicach integracji pozostaje:
Całka = arctan (1) - arctan (-1) = π / 4 - (-π / 4) = π / 2 = 1,5708
Jeśli porównamy wynik dokładnego rozwiązania z wynikiem uzyskanym metodą Simpsona przy n = 2 i n = 4, otrzymamy:
Dla n = 2 różnica między rozwiązaniem dokładnym a przybliżonym wynosi π / 2 - 5/3 = -0,0959, czyli różnica procentowa wynosi -0,06%.
A dla przybliżenia Simpsona z n = 4, różnica między rozwiązaniem dokładnym a przybliżonym wynosi π / 2-47/30 = 0,0041, czyli procentowa różnica 0,003%.
Metoda Simpsona jest odpowiednia do stosowania w językach programowania i aplikacjach komputerowych do obliczeń matematycznych. Sugeruje się, aby czytelnik na podstawie podanych w tym artykule wzorów napisał własny kod w swoim ulubionym programie.
Poniższy rysunek przedstawia ćwiczenie, w którym zaimplementowano formułę Simpsona Studio Smath, darmowe oprogramowanie dostępne dla systemów operacyjnych Windows Y Android.
Jeszcze bez komentarzy