Plik relacje proporcjonalności są to powiązania między dwiema lub więcej zmiennymi, tak że gdy zmienia się jedna z wielkości, zmienia się również wartość pozostałych. Na przykład, jeśli jeden wzrośnie, inne mogą wzrosnąć lub spaść, ale w jednolitej wysokości..
Starożytni matematycy greccy zdawali sobie sprawę, że niektóre zmienne są ze sobą powiązane w bardzo precyzyjny sposób. Zrozumieli, że jeśli jeden okrąg jest dwa razy większy od drugiego, będzie miał obwód dwa razy większy.
A jeśli średnica zostanie potrojona, wówczas kontur obwodu również się potroi. Oznacza to, że wzrost średnicy powoduje proporcjonalny wzrost rozmiaru obwodu..
Możemy więc stwierdzić, że długość obwodu L jest proporcjonalna do jego średnicy D, która jest wyrażona w następujący sposób:
L ∝ D
Gdzie symbol ∝ brzmi „wprost proporcjonalne do”. Aby zmienić symbol proporcjonalności na symbol równości i uwzględnić wartości liczbowe, konieczne jest określenie związku między zmiennymi, tzw. stała proporcjonalności.
Po wielu pomiarach starożytni matematycy ustalili, że stała proporcjonalności między wielkością L obwodu a średnicą D tego samego wynosi 3,1416 ... Elipsy oznaczają nieskończoną liczbę miejsc po przecinku..
Ta wartość to nic innego jak słynna liczba π (pi) i tak piszemy:
L = π.D
W ten sposób stosunek długości do średnicy jednego obwodu jest taki sam, jak stosunek długości do średnicy drugiego. A najlepsze jest to, że teraz mamy sposób na obliczenie długości dowolnego obwodu, znając tylko jego średnicę.
Indeks artykułów
W nauce (a także w życiu codziennym) bardzo ważne jest znalezienie związków między zmiennymi, aby wiedzieć, jak zmiany jednej z nich wpływają na drugą. Na przykład:
-Jeśli potrzebujesz 3 filiżanek mąki, aby zrobić kilkanaście ciastek. Ile filiżanek potrzeba, aby zrobić 2 i pół tuzina?.
-Wiedząc, że obiekt na planecie Merkury waży 4 razy mniej niż na Ziemi, ile 1,5-tonowy samochód waży na Merkurym??
-Jak zmiana przyłożonej siły wpływa na przyspieszenie ciała, na które jest przyłożona??
-Jeśli pojazd jedzie jednostajnym ruchem prostoliniowym po autostradzie i wiemy, że pokonuje 30 km w 10 minut, jaka będzie odległość pokonana po 20 minutach?
-Kiedy mamy drut, przez który przepływa prąd elektryczny, jak zmienia się napięcie między jego końcami, jeśli rośnie?
-Jeśli średnica koła zostanie podwojona, jak wpłynie to na jego obszar??
-Jak odległość wpływa na intensywność pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy?
Odpowiedź leży w relacjach proporcjonalności, ale nie wszystkie relacje są tego samego typu. Wtedy znajdziemy je dla wszystkich poruszonych tutaj sytuacji.
Dwie zmienne x i y są wprost proporcjonalne, jeśli są powiązane przez:
y = kx
Gdzie k jest stałą proporcjonalności. Przykładem jest zależność między ilością mąki a ciasteczkami. Jeśli wykreślimy te zmienne, otrzymamy linię prostą, taką jak pokazano na rysunku:
Jeśli y to kubki mąki, a x to tuzin ciastek, związek między nimi wygląda tak:
y = 3x
Dla x = 1 tuzin potrzebujemy y = 3 filiżanki mąki. A dla x = 2,5 tuzina wymagane jest y = 7,5 filiżanki mąki.
Ale mamy też:
-Przyśpieszenie do że ciało doświadcza jest proporcjonalne do siły fa działając na nią, będącą masą ciała, tzw m, stała proporcjonalności:
fa = mdo
Dlatego im większa jest przyłożona siła, tym większe jest wytwarzane przyspieszenie..
-W przewodach omowych napięcie V między ich końcami jest proporcjonalne do przyłożonego prądu. Stałą proporcjonalności jest rezystancja R przewodnika:
V = RI
-Kiedy obiekt porusza się jednostajnym ruchem prostoliniowym, odległość re jest proporcjonalna do czasu t, będąc szybkością v stała proporcjonalności:
d = v.t
Czasami znajdujemy dwie wielkości, tak że wzrost jednej daje zmniejszać proporcjonalny w drugim. Ta zależność nazywa się odwrotny stosunek.
Na przykład w poprzednim równaniu czas t wymagany do przebycia określonej odległości d jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości v podróży:
t = d / v
I tak na chwilę wyższy to prędkość v, mniej czas potrzebny na pokonanie dystansu przez samochód d. Jeśli na przykład prędkość zostanie podwojona, czas skróci się o połowę.
Gdy dwie zmienne xiy są w odwrotnej proporcji, możemy napisać:
y = k / x
Będąc k stałą proporcjonalności. Wykres tej zależności to:
W jednym ze wspomnianych wcześniej przykładów zastanawialiśmy się, co dzieje się z obszarem koła, gdy zwiększa się promień. Odpowiedź jest taka, że pole to jest wprost proporcjonalne do kwadratu promienia, gdzie π jest stałą proporcjonalności:
A = πRdwa
W przypadku podwojenia promienia powierzchnia zwiększy się czterokrotnie.
A w przypadku pola elektrycznego I produkowane przez opłatę punktową co, wiadomo, że natężenie maleje wraz z odwrotnością kwadratu odległości r do ładunku co:
E = ki q / rdwa
Ale możemy też stwierdzić, że natężenie pola jest wprost proporcjonalne do wielkości ładunku, będąc stałą proporcjonalności ki, stała elektrostatyczna.
Inne proporcjonalności, które są również prezentowane w Science, to wykładnicza proporcjonalność i logarytmiczna proporcjonalność. W pierwszym przypadku zmienne x i y są powiązane przez:
y = k.ax
Gdzie a jest podstawą, liczbą dodatnią inną niż 0, która zwykle wynosi 10 lub liczbę e. Na przykład wykładniczy wzrost bakterii ma tę postać.
W drugim przypadku związek między zmiennymi wygląda następująco:
y = k.logdo x
Ponownie a jest podstawą logarytmu, która często wynosi 10 (logarytm dziesiętny) lub e (logarytm naturalny).
Wiedząc, że obiekt na planecie Merkury waży 4 razy mniej niż na Ziemi, ile 1,5-tonowy samochód ważyłby na Merkurym??
Masa na rtęci = (1/4) Masa na Ziemi = (1/4) x 1,5 tony = 0,375 tony.
Na imprezę znajomi decydują się na przygotowanie soku z koncentratu owocowego. Instrukcje na opakowaniu mówią, że jedna szklanka koncentratu daje 15 szklanek soku. Ile koncentratu potrzeba do zrobienia 110 szklanek soku?
Niech y będzie liczbą szklanek soku, a x liczbą szklanek koncentratu. Są ze sobą powiązane:
y = kx
Podstawiając wartości y = 15 i x = 1, rozwiązuje się stałą k:
k = y / x = 15/1 = 15
W związku z tym:
110 = 15 x
x = 110/15 = 7,33 szklanki koncentratu owocowego.
Jeszcze bez komentarzy