Półkole jak obliczyć obwód, pole powierzchni, środek ciężkości, ćwiczenia

Plik półkole jest płaską figurą ograniczoną średnicą obwodu i jednym z dwóch płaskich okrągłych łuków określonych przez wspomnianą średnicę.

W ten sposób półkole graniczy z półobwód, który składa się z płaskiego łuku kołowego i prostego odcinka łączącego końce płaskiego łuku kołowego. Półkole obejmuje półkole i wszystkie punkty wewnątrz niego..

Widzimy to na rysunku 1, który przedstawia półkole o promieniu R, którego miara jest równa połowie średnicy AB. Zauważ, że w przeciwieństwie do koła, w którym istnieją nieskończone średnice, w półokręgu jest tylko jedna średnica.

Półkole to figura geometryczna mająca wiele zastosowań w architekturze i projektowaniu, jak widać na poniższym obrazku:

Indeks artykułów

• 1 Elementy i miary półkola
  • 1.1 Obwód półkola
  • 1.2 Obszar półkola
  • 1.3 Środek ciężkości półkola
  • 1.4 Moment bezwładności półkola
  • 1.5 Kąt wpisany
• 2 ćwiczenia rozwiązane
  • 2.1 Ćwiczenie 1 
  • 2.2 Ćwiczenie 2
  • 2.3 Ćwiczenie 3
  • 2.4 Ćwiczenie 4
  • 2.5 Ćwiczenie 5
• 3 Odnośniki

Elementy i miary półkola

Elementy półkola to:

1.- Płaszczyzna łuku kołowego A⌒B

2.- Segment [AB] 

3.- Punkty wewnątrz półkola składające się z łuku A⌒B i odcinka [AB].

Obwód półkola

Obwód jest sumą konturu łuku i odcinka prostego, a zatem:

Obwód = długość łuku A⌒B + długość segmentu [AB]

W przypadku półkola o promieniu R jego obwód P będzie określony wzorem:

P = π⋅R + 2⋅R = (π + 2) ⋅R

Pierwszy człon to połowa obwodu koła o promieniu R, a drugi to długość średnicy, która jest dwukrotnie większa od promienia..

Obszar półkola

Ponieważ półkole jest jednym z płaskich sektorów kątowych, które pozostają podczas rysowania średnicy przez obwód, jego obszar A będzie równy połowie obszaru koła zawierającego półkole o promieniu R:

A = (π⋅R^dwa) / 2 = ½ π⋅R^dwa

Środek ciężkości półkola

Środek półkola znajduje się na jego osi symetrii na wysokości mierzonej od średnicy 4 / (3π) razy promień R.

Odpowiada to około 0,424⋅R, mierzonemu od środka półkola i na jego osi symetrii, jak pokazano na rysunku 3.

Moment bezwładności półkola

Moment bezwładności figury płaskiej względem osi, na przykład osi x, definiuje się jako:

Całka z kwadratu odległości punktów należących do figury do osi, przy czym różniczka całkowania jest nieskończenie małym elementem pola powierzchni, przyjmowanym w położeniu każdego punktu. 

Rysunek 4 przedstawia definicję momentu bezwładności I._x półkola o promieniu R w odniesieniu do osi X przechodzącej przez jego przekątną:

Moment bezwładności względem osi x jest określony wzorem:

ja_x = (π⋅R⁴) / 8

A moment bezwładności względem osi symetrii y wynosi:

Iy = (π⋅R⁴) / 8

Należy zauważyć, że oba momenty bezwładności pokrywają się w ich wzorze, ale należy zauważyć, że odnoszą się one do różnych osi.

Wpisany kąt

Kąt wpisany w półkole zawsze wynosi 90º. Niezależnie od punktu na łuku, kąt utworzony między bokami AB i BC figury jest zawsze prosty..

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1 

Określ obwód półkola o promieniu 10 cm.

Rozwiązanie

Pamiętaj, że obwód w funkcji promienia jest określony wzorem, który widzieliśmy wcześniej:

P = (2 + π) ⋅R

P = (2 + 3,14) ⋅ 10 cm = 5,14 ⋅ 10 cm = 51,4 cm.

Ćwiczenie 2

Znajdź obszar półkola o promieniu 10 cm.

Rozwiązanie

Wzór na pole półkola to:

A = ½ π⋅R^dwa = ½ π⋅ (10 cm)^dwa = 50π cm^dwa = 50 x 3,14 cm^dwa = 157 cm^dwa.

Ćwiczenie 3

Określić wysokość h środka ciężkości półkola o promieniu R = 10 cm mierzonej od jego podstawy, przy czym średnica półkola jest taka sama. 

Rozwiązanie

Środek ciężkości jest punktem równowagi półkola, a jego położenie znajduje się na osi symetrii na wysokości h od podstawy (średnica półkola):

h = (4⋅R) / (3π) = (4⋅10 cm) / (3 x 3,14) = 4,246 cm

Ćwiczenie 4

Znajdź moment bezwładności półkola względem osi, która pokrywa się z jego średnicą, wiedząc, że półkole jest wykonane z cienkiej blachy. Jego promień wynosi 10 cm, a masa 100 gramów.

Rozwiązanie

Wzór określający moment bezwładności półkola to:

ja_x = (π⋅R⁴) / 8

Ale ponieważ problem mówi nam, że jest to półkole materiałowe, to poprzednią zależność należy pomnożyć przez gęstość powierzchniową masy półkola, co będzie oznaczane przez σ.

ja_x = σ (π⋅R⁴) / 8

Następnie przystępujemy do określenia σ, które jest niczym innym jak masą półkola podzieloną przez jego pole.

Powierzchnia została określona w ćwiczeniu 2, a wynik wynosił 157 cm^dwa. Wtedy gęstość powierzchni tego półkola będzie wynosić:

σ = 100 gramów / 157 cm^dwa = 0,637 g / cm^dwa

Wtedy moment bezwładności w stosunku do średnicy zostanie obliczony w następujący sposób:

ja_x = (0,637 g / cm^dwa) [3,1416 ⋅ (10 cm)⁴] / 8

Wynikły:

ja_x = 2502 g⋅cm^dwa

Ćwiczenie 5

Wyznacz moment bezwładności półkola o promieniu 10 cm wykonanego z arkusza materiału o gęstości powierzchniowej 0,637 g / cm^dwa wzdłuż osi, która przechodzi przez jego środek ciężkości i jest równoległa do jego średnicy.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to ćwiczenie, należy pamiętać o twierdzeniu Steinera o momentach bezwładności równoległych osi, które mówi:

Moment bezwładności I względem osi znajdującej się w odległości h od środka ciężkości jest równy sumie momentu bezwładności I_do w odniesieniu do osi, która przechodzi przez środek ciężkości i jest równoległa do pierwszej plus iloczyn masy razy kwadrat oddzielenia dwóch osi.

Ja = ja_do + M godz^dwa

W naszym przypadku wiem, który jest moment bezwładności w stosunku do średnicy, który został już obliczony w ćwiczeniu 4. Znany jest również odstęp h między średnicą a środkiem ciężkości, który został obliczony w ćwiczeniu 3.

Musimy tylko wyczyścić Ic:

ja_do = I - M h^dwa

ja_do = 2502 g⋅cm^dwa - 100g ⋅ (4,246 cm)^dwa dając w rezultacie, że moment bezwładności przechodzący przez oś równoległą do średnicy i przechodzącą przez środek ciężkości wynosi: 

ja_do = 699,15 g⋅cm^dwa

Bibliografia

1. Alexander, D. 2013. Geometry. 5. Wydanie. Cengage Learning.
2. Math Open Reference. Półkole. Odzyskany z: mathopenref.com.
3. Wszechświat Formuły Półkole. Odzyskany z: universoformulas.com.
4. Formuły wszechświata. Obszar półkola. Odzyskany z: universoformulas.com.
5. Wikipedia. Półkole. Odzyskany z: en.wikipedia.com.