ZA seria potęgowa składa się z sumowania terminów w postaci potęg zmiennej x, lub bardziej ogólnie z x-c, gdzie do jest stałą liczbą rzeczywistą. W notacji podsumowującej szereg uprawnień jest wyrażony w następujący sposób:
∑an (x -c)n = alub + do1 (x - c) + adwa (x - c)dwa + do3 (x - c)3 +… + An (x - c)n
Gdzie współczynniki alub, do1, dodwa… Są liczbami rzeczywistymi, a szereg zaczyna się od n = 0.
Ta seria koncentruje się na wartości do który jest stały, ale możesz wybrać który do jest równe 0, w którym to przypadku szereg potęg upraszcza się do:
∑an xn = alub + do1 x + adwa xdwa + do3 x3 +… + An xn
Seria zaczyna się od dolub(x-c)0 Y dolubx0 odpowiednio. Ale wiemy, że:
(x-c)0= x0 = 1
W związku z tym dolub(x-c)0 = dolubx0 = dolub (termin niezależny)
Zaletą szeregów potęg jest to, że można za ich pomocą wyrażać funkcje, co ma wiele zalet, zwłaszcza jeśli chcesz pracować ze skomplikowaną funkcją.
W takim przypadku zamiast używać funkcji bezpośrednio, stosuje się jej rozwinięcie w szeregach potęg, które mogą być łatwiejsze do wyprowadzenia, całkowania lub pracy numerycznej..
Oczywiście wszystko jest uwarunkowane zbieżnością szeregu. Szeregi są zbieżne, gdy dodawanie pewnej dużej liczby terminów daje stałą wartość. A jeśli dodamy jeszcze więcej terminów, nadal będziemy uzyskiwać tę wartość.
Indeks artykułów
Jako przykład funkcji wyrażonej jako szereg potęgowy, weźmy f (x) = ex.
Funkcję tę można wyrazić w postaci szeregu potęg w następujący sposób:
ix ≈ 1 + x + (xdwa / 2!) + (X3 / 3!) + (X4 / 4!) + (X5 / 5!) +…
Gdzie! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… i potrzeba 0! = 1.
Za pomocą kalkulatora sprawdzimy, czy rzeczywiście szereg pokrywa się z wyraźnie podaną funkcją. Na przykład zacznijmy od zrobienia x = 0.
Wiemy, że e0 = 1. Zobaczmy, co robi seria:
i0 ≈ 1 + 0 + (0dwa / 2!) + (03 / 3!) + (04 / 4!) + (05 / 5!) +… = 1
A teraz spróbujmy x = 1. Kalkulator to pokazuje i1 = 2,71828, a następnie porównajmy z serią:
i1 ≈ 1 + 1 + (1dwa / 2!) + (13 / 3!) + (14 / 4!) + (15 / 5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167
Mając tylko 5 haseł, mamy już dokładne dopasowanie e ≈ 2,71. Nasza seria ma jeszcze tylko trochę więcej do zrobienia, ale w miarę dodawania kolejnych terminów seria z pewnością zbiega się do dokładnej wartości i. Reprezentacja jest dokładna, kiedy n → ∞.
Jeśli powyższa analiza zostanie powtórzona n = 2 uzyskuje się bardzo podobne wyniki.
W ten sposób mamy pewność, że funkcja wykładnicza f (x) = ex mogą być reprezentowane przez tę serię uprawnień:
Funkcja f (x) = ex nie jest to jedyna funkcja obsługująca reprezentację szeregów potęg. Na przykład function fa(x) = 1/1 - x wygląda bardzo podobnie do dobrze znanego zbieżne szeregi geometryczne:
∑a.rn = a / 1 - r
Wystarczy zrobić a = 1 i r = x, aby otrzymać szereg odpowiedni dla tej funkcji, który jest wyśrodkowany w punkcie c = 0:
Wiadomo jednak, że ten szereg jest zbieżny dla │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.
Jeśli chcesz zdefiniować tę funkcję w innym przedziale, po prostu skup się na odpowiedniej wartości i gotowe..
Dowolną funkcję można rozwinąć w szeregi potęgowe skupione na c, o ile ma pochodne wszystkich rzędów przy x = c. Procedura korzysta z następującego twierdzenia o nazwie Twierdzenie Taylora:
Niech f (x) będzie funkcją z pochodnymi rzędu n, oznaczony jako fa(n), który dopuszcza szeregową ekspansję potęg w interwale ja. Jego rozwój w seria Taylor to jest:
Po to aby:
f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)dwa / 2 + f "(c) (x-c)3 / 6 +… Rn
Gdzie R.n, który jest n-tym członem serii pozostałość:
Gdy c = 0, wywoływana jest seria Seria Maclaurina.
Podany tutaj szereg jest identyczny z szeregiem podanym na początku, tylko teraz mamy sposób, aby jednoznacznie znaleźć współczynniki każdego składnika, podane przez:
Należy jednak upewnić się, że szereg jest zbieżny z funkcją, która ma być reprezentowana. Zdarza się, że nie każdy szereg Taylora zbiega się koniecznie do f (x), o którym myśleliśmy przy obliczaniu współczynników don.
Dzieje się tak, ponieważ być może pochodne funkcji oszacowane w x = c pokrywają się z tą samą wartością pochodnych innego, również w x = c. W tym przypadku współczynniki byłyby takie same, ale rozwój byłby niejednoznaczny, ponieważ nie jest pewne, której funkcji odpowiada..
Na szczęście jest sposób, aby dowiedzieć się:
Kryterium konwergencji
Aby uniknąć niejednoznaczności, jeśli R.n → 0 gdy n → ∞ dla wszystkich x w przedziale I, szereg zbiega się do f (x).
Znajdź serię potęg geometrycznych dla funkcji f (x) = 1/2 - x wyśrodkowany na c = 0.
Daną funkcję należy wyrazić w taki sposób, aby jak najbliżej pokrywała się z 1 / 1- x, którego szereg jest znany. Dlatego przepiszmy licznik i mianownik, nie zmieniając oryginalnego wyrażenia:
1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]
Ponieważ ½ jest stała, pochodzi z sumowania i jest zapisana w kategoriach nowej zmiennej x / 2:
Zauważ, że x = 2 nie należy do dziedziny funkcji i zgodnie z kryterium zbieżności podanym w sekcji Geometryczne szeregi potęgowe, rozszerzenie jest ważne dla │x / 2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.
Znajdź pierwsze 5 wyrazów rozwinięcia funkcji f (x) = sin x w szeregu Maclaurina.
Najpierw znajdują się instrumenty pochodne:
-Pochodna rzędu 0: jest to ta sama funkcja f (x) = sin x
-Pierwsza pochodna: (sin x) '= cos x
-Druga pochodna: (sin x) "= (cos x) '= - sin x
-Trzecia pochodna: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x
-Czwarta pochodna: (sin x) "= (- cos x) '= sin x
Następnie każda pochodna jest oceniana przy x = c, podobnie jak rozwinięcie Maclaurina, c = 0:
sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0
Konstruuje się współczynniki an;
dolub = 0/0! = 0; do1 = 1/1! = 1; dodwa = 0/2! = 0; do3 = -1 / 3!; do4 = 0/4! = 0
Ostatecznie seria jest montowana zgodnie z:
sin x ≈ 0.x0 + 1. x1 + 0 .xdwa - (1/3!) X3 + 0.x4… = X - (1/3!)) X3 +...
Czy czytelnik potrzebuje więcej terminów? O ile więcej, seria zbliża się do funkcji.
Zauważ, że we współczynnikach jest wzór, następny niezerowy składnik to a5 a wszystkie te z nieparzystym indeksem również różnią się od 0, naprzemiennie znakami, tak że:
sin x ≈ x - (1/3!)) x3 + (1/5!)) X5 - (1/7!)) X7 +... .
Pozostawia się ćwiczenie, aby sprawdzić, czy jest zbieżny, możesz użyć kryterium ilorazowe dla zbieżności szeregów.
Jeszcze bez komentarzy