Plik systemy ecuation Składają się z dwóch lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, które muszą mieć wspólne rozwiązanie. Są częste, bo w praktyce jest wiele sytuacji, które zależą od wielu czynników, które są ze sobą powiązane na różne sposoby.
Ogólnie układ równań ma następującą postać, w której każda funkcja reprezentuje jeden z warunków, które musi spełniać rozwiązanie:
Zobaczmy przykład: załóżmy, że musisz wykonać prostokątne arkusze papieru o powierzchni 180 cmdwa i które mają obwód 54 cm. Jakie powinny być wymiary arkusza?
Aby odpowiedzieć na pytanie, bierzemy pod uwagę, że wymiary prostokątnego arkusza to dwa: szerokość i wysokość. Oznacza to, że mamy 2 zmienne, którym nadamy zwykłe nazwy x i Y.
Zmienne te muszą spełniać jednocześnie dwa warunki:
-Warunek pierwszy: powierzchnia arkusza to 180 cmdwa. To będzie pierwsza funkcja: F1.
-Drugi warunek: obwód lub kontur arkusza musi wynosić 54 cm. To jest druga funkcja Fdwa.
Dla każdego warunku równanie jest ustalane przy użyciu języka algebraicznego. Pole A prostokątnego arkusza uzyskuje się przez pomnożenie szerokości przez wysokość:
A = x.y = 180 cmdwa
A obwód P wynika z dodania boków. Ponieważ obwód jest sumą boków:
P = 2x + 2y = 54 cm
Wynikowy układ dwóch równań i dwóch niewiadomych to:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Potrzebujemy dwóch liczb, których iloczyn wynosi 180, a iloczyn podwójny ich sumy to 54, czyli to samo: po dodaniu muszą dać 27. Te liczby to 12 i 15.
W części z rozwiązanymi ćwiczeniami przedstawimy szczegółową metodę znalezienia tych wartości, tymczasem czytelnik może łatwo zweryfikować podstawiając, że skutecznie spełniają oba równania.
Indeks artykułów
Przedstawiona powyżej sytuacja zawiera 2 zmienne, a do ich znalezienia potrzebne są co najmniej 2 równania. Istnieją systemy z znacznie większą liczbą zmiennych, ale w każdym razie, jeśli system ma n z nich wymaga co najmniej n równania niezależne od siebie (jedno nie może być liniową kombinacją innych), aby znaleźć rozwiązanie, jeśli istnieje.
Jeśli chodzi o aplikacje, jest ich wiele. Oto kilka, w których układy równań dowodzą swojej przydatności:
-Znajdowanie prądów przepływających przez obwód za pomocą praw Kirchoffa.
-W transporcie lądowym i lotniczym do ustalenia godzin odlotów i przylotów.
-Znajdź wielkości sił w układach dynamicznych lub statycznych podlegających wielu interakcjom.
-Poznanie ilości przedmiotów sprzedanych w określonym czasie lub w fabrykach, określenie wymiarów obiektów, tak aby spełniały określone warunki pod względem powierzchni lub objętości.
-Przy określaniu sposobu podziału kapitału na różne inwestycje.
-Ustal stawki za różne usługi, na przykład telekomunikację lub programy rozrywkowe i poznaj kwotę zebranych pieniędzy (patrz rozwiązany przykład 2)
-Wybiera się równanie i rozwiązuje jedną ze zmiennych.
-Następnie musimy podstawić wyczyszczoną zmienną w innym równaniu. Wtedy ta zmienna znika stamtąd i jeśli układ ma dwa równania i dwie niewiadome, pozostaje równanie ze zmienną, którą można już rozwiązać.
-Jeśli system ma więcej niż dwie zmienne, musimy znaleźć trzecią niewiadomą z innego równania i również ją zastąpić.
Przykład zastosowania tej metody znajduje się w rozwiązanym ćwiczeniu 1.
Ta metoda polega na dodawaniu lub odejmowaniu równań w celu wyeliminowania jednej lub więcej zmiennych i pozostawienia tylko jednej. Aby to zrobić, wygodnie jest pomnożyć równania przez współczynnik, tak że podczas dodawania do innego równania nieznane znika. Zobaczmy przykład:
3xdwa - Ydwa = 11
xdwa + 4 latadwa = 8
Pierwsze równanie mnożymy przez 4:
12xdwa - 4 latadwa = 44
xdwa + 4 latadwa = 8
Dodając je, nieznane znika Y, pozostały:
13xdwa = 52
xdwa = 4
Dlatego x1 = 2 i xdwa = -2. Dzięki tym wartościom czytelnik może to sprawdzić i1 = 1 i ydwa = -1
Gdy układ składa się z dwóch równań z dwiema niewiadomymi:
-Wybierz nieznane i rozwiąż oba równania.
-Wyniki są wyrównane, co pozwala na uzyskanie jednego równania z jedną niewiadomą.
-To równanie zostaje rozwiązane, a wynik jest zastępowany w jednym z poprzednich prześwitów, aby otrzymać wartość drugiego nieznanego..
Ta metoda zostanie zastosowana w rozwiązanym ćwiczeniu 2 w następnej sekcji.
Ta metoda polega na wykreśleniu krzywych, które reprezentuje każde równanie. Punkt przecięcia jest rozwiązaniem systemu. Poniższy przykład przedstawia graficzne rozwiązanie systemu:
xdwa + Y dwa = 1
2x + 4y = 0
Pierwsze z równań to okrąg o promieniu 1 ze środkiem na początku, a drugie to prosta.
Przecięcie obu to dwa punkty zaznaczone na niebiesko. Czytelnik może zweryfikować, że podstawiając współrzędne punktów w powyższych równaniach uzyskuje się równość.
Musisz zrobić prostokątne arkusze papieru o powierzchni 180 cmdwa i o obwodzie 54 cm. Jakie powinny być wymiary arkusza?
System do rozwiązania to:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Drugie równanie można uprościć do x + y = 27, a zatem:
xy = 180
x + y = 27
Znajdź jedną z niewiadomych w drugim równaniu:
y = 27 - x
Wyprzedaż zastępuje pierwszy:
(27 -x) = 180
Stosowanie własności rozdzielczej:
-xdwa + 27x = 180
Mnożenie przez (-1) po obu stronach równania i wysyłanie 180 na lewą stronę:
xdwa - 27x +180 = 0
Rezultatem jest równanie drugiego stopnia w x, które rozwiązuje wzór:
Gdy a = 1, b = -27 ic = 180
Park rozrywki ma następujące opłaty za wstęp: dzieci 1,5 USD i dorośli 4 USD. W ciągu jednego dnia odwiedziło 2200 osób, zbierając 5050 dolarów. Sprawdź, ile dzieci i dorosłych odwiedziło park tego dnia.
Być x liczba dzieci i Y liczba dorosłych. Możemy ustalić pierwsze z równań, wiedząc, że suma obu musi wynosić 2200:
x + y = 2200.
Teraz idziemy z zebranymi pieniędzmi. Cena biletu dla dzieci to 1,5 $ za każde dziecko, mnożąc tę wartość przez x, liczbę dzieci, otrzymamy kwotę za bilet dla dzieci:
1,5x = pieniądze zebrane na bilety dla dzieci
A jeśli pomnożymy 4 dolary na osobę dorosłą przez liczbę i liczbę dorosłych odwiedzających, otrzymamy sumę pieniędzy dla wszystkich dorosłych:
4y = pieniądze zebrane z biletów dla dorosłych
Dodajemy to razem, aby otrzymać 5050 $:
1,5x + 4 lata = 5050
Nasz układ równań to:
x + y = 2200
1,5x + 4 lata = 5050
Rozwiążmy to przez wyrównanie. Wyodrębniamy zmienną y z pierwszego i drugiego równania:
y = 2200 - x
y = (5050 - 1,5 x) / 4
Dopasowujemy oba wyrażenia:
2200 - x = (5050 - 1,5x) / 4
Mnożymy wszystko przez 4, aby wyeliminować ułamek:
8800 - 4x = 5050 - 1,5x
Grupujemy terminy z x po lewej stronie i czystymi liczbami po prawej:
-4x + 1,5x = 5050 - 8800
-2,5x = -3750
x = 1500 dzieci.
Podstawiamy tę wartość w y = 2200 - x, aby znaleźć liczbę dorosłych:
y = 2200-1500 = 700 dorosłych.
Jeszcze bez komentarzy