Plik Twierdzenie Greena jest metodą obliczeniową stosowaną w celu powiązania całek liniowych z podwójnymi całkami powierzchniowymi lub powierzchniowymi. Uwzględnione funkcje muszą być oznaczone jako pola wektorowe i zdefiniowane w ścieżce C.
Na przykład wyrażenie całki liniowej może być bardzo trudne do rozwiązania; jednak dzięki implementacji twierdzenia Greena całki podwójne stają się dość podstawowe. Zawsze ważne jest przestrzeganie dodatniego kierunku trajektorii, dotyczy to kierunku przeciwnego do ruchu wskazówek zegara.
Twierdzenie Greena jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa, w którym rzutowanie funkcji wektorowej odbywa się na płaszczyźnie xy.
Indeks artykułów
Wyrażenie twierdzenia Greena jest następujące:
Pierwszy człon przedstawia całkę po linii zdefiniowaną przez ścieżkę „C” iloczynu skalarnego między funkcją wektorową „F” a funkcją wektora „r”.
C: Jest to zdefiniowana ścieżka, na której będzie rzutowana funkcja wektorowa, o ile jest zdefiniowana dla tej płaszczyzny.
F: Funkcja wektorowa, w której każdy z jej składowych jest zdefiniowany przez funkcję taką jak taka (f, g).
r: Jest to wektor styczny do obszaru R, na którym zdefiniowana jest całka. W tym przypadku operujemy różniczką tego wektora.
W drugim członie widzimy rozwinięte twierdzenie Greena, w którym obserwuje się całkę podwójną określoną w obszarze R różnicy pochodnych cząstkowych g i f, odpowiednio względem x i y. Przez różnicę pola, która jest niczym innym jak iloczynem obu dwuwymiarowych różnic (dx.dy).
To twierdzenie doskonale nadaje się do całek przestrzennych i powierzchniowych.
Aby w prosty sposób udowodnić twierdzenie Greena, zadanie to zostanie podzielone na 2 części. Najpierw założymy, że funkcja wektorowa F ma definicję tylko na odwrót ja. Podczas gdy funkcja „g” odpowiada wersorowi jot będzie równa zero.
F = f (x, y)ja + g (x, y)j = f (x, y)ja + 0
r = xja + Yjot
dr = dxja + dyjot
Najpierw opracowujemy całkę prostoliniową po trajektorii C, dla której trajektoria została podzielona na sektory na 2 sekcje, które przechodzą najpierw od a do b, a następnie od b do a.
Definicję podstawowego twierdzenia rachunku całkowego stosuje się do całki oznaczonej.
Wyrażenie jest przestawiane w jedną całkę, wartość ujemna staje się wspólnym czynnikiem, a kolejność czynników jest odwracana.
Obserwując szczegółowo to wyrażenie, staje się oczywiste, że stosując prymitywne kryteria funkcji, mamy do czynienia z całką wyrażenia wyprowadzonego z f względem y. Oceniane w parametrach
Teraz wystarczy założyć, że funkcja wektorowa F jest zdefiniowana tylko dla g (x, y)jot. W przypadku gdy działając w sposób podobny do poprzedniego przypadku, uzyskuje się:
Na koniec dwa dowody są pobierane i łączone w przypadku, gdy funkcja wektorowa przyjmuje wartości dla obu wersetów. W ten sposób pokazano, jak całka prosta po zdefiniowaniu i uznaniu jej za jednowymiarową trajektorię może być w pełni rozwinięta dla płaszczyzny i przestrzeni.
F = f (x, y)ja + g (x, y)jot
W ten sposób udowodniono twierdzenie Greena.
Zastosowania twierdzenia Greena są szerokie w działach fizyki i matematyki. Obejmują one dowolne aplikacje lub zastosowania, które można wykorzystać do integracji linii.
Praca mechaniczna wykonywana przez siłę F na ścieżce C może być rozwinięta przez całkę po linii, która jest wyrażona jako podwójna całka powierzchni za pomocą twierdzenia Greena.
Momenty bezwładności wielu ciał poddanych działaniu sił zewnętrznych w różnych punktach przyłożenia również odpowiadają całkom prostoliniowym, które można rozwinąć za pomocą twierdzenia Greena..
Ma to wiele funkcji w badaniach odporności używanych materiałów. Gdzie wartości zewnętrzne można określić ilościowo i uwzględnić przed opracowaniem różnych elementów.
Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie Greena ułatwia zrozumienie i zdefiniowanie obszarów, w których funkcje wektorowe są definiowane w odniesieniu do regionu zgodnie z trajektorią.
Został opublikowany w 1828 roku w pracy Analiza matematyczna do teorii elektryczności i magnetyzmu, napisany przez brytyjskiego matematyka George'a Greena. W nim badane są dość decydujące sekcje dotyczące zastosowania rachunku różniczkowego w fizyce, takie jak koncepcja funkcji potencjalnych, funkcje Greena i zastosowania jego samo-zatytułowanego twierdzenia.
George Green sformalizował swoją karierę studencką w wieku 40 lat, będąc do tej pory matematykiem samoukiem. Po studiach na Uniwersytecie w Cambridge kontynuował swoje badania, wnosząc wkład w akustykę, optykę i hydrodynamikę, które są nadal aktualne..
Twierdzenie Greena jest przypadkiem szczególnym i wynika z dwóch innych bardzo ważnych twierdzeń z zakresu rachunku różniczkowego. Są to twierdzenie Kelvina-Stokesa i twierdzenie o dywergencji lub Gauss Ostrogradski.
Zaczynając od któregokolwiek z dwóch twierdzeń, można dojść do twierdzenia Greena. Do opracowania takich dowodów konieczne są pewne definicje i twierdzenia..
- Poniższe ćwiczenie pokazuje, jak przekształcić całkę prostoliniową w całkę podwójną względem regionu R.
Oryginalne wyrażenie jest następujące:
Skąd pobierane są funkcje odpowiadające f i g
f (x, y) = x3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Nie ma jednego sposobu na zdefiniowanie granic całkowania przy zastosowaniu twierdzenia Greena. Ale są sposoby, w których całki po zdefiniowaniu mogą być prostsze. Dlatego na uwagę zasługuje optymalizacja granic integracji.
Gdzie rozwiązując całki otrzymujemy:
Wartość ta odpowiada w jednostkach sześciennych obszarowi poniżej funkcji wektorowej i nad obszarem trójkątnym określonym przez C.
W przypadku całki krzywoliniowej bez wykonania metody Greena należałoby sparametryzować funkcje w każdym odcinku regionu. Oznacza to, że dla rozdzielczości wykonaj 3 całki sparametryzowane. Jest to wystarczający dowód na skuteczność, jaką Robert Green wniósł do rachunku różniczkowego ze swoim twierdzeniem.
Jeszcze bez komentarzy