Twierdzenie Varignona

Co to jest twierdzenie Varignona?

Twierdzenie Varignona w mechanice stwierdza, że ​​suma momentów wytworzonych przez układ sił współbieżnych względem pewnego punktu jest równa momentowi siły wypadkowej względem tego samego punktu.

Z tego powodu twierdzenie to jest również znane jako początek chwil.

Chociaż pierwszym, który go wypowiedział, był Holender Simon Stevin (1548-1620), twórca paradoksu hydrostatycznego, francuski matematyk Pierre Varignon (1654-1722) był tym, który później nadał mu ostateczną formę.

Przykład działania twierdzenia Varignona w mechanice jest następujący: załóżmy, że w punkcie działa prosty układ dwóch współpłaszczyznowych i współbieżnych sił fa₁ Y fa_dwa, (oznaczone pogrubioną czcionką ze względu na ich charakter wektorowy). Siły te powodują powstanie siły wypadkowej lub wypadkowej, zwanej fa_R.

Każda siła wywiera moment obrotowy lub moment wokół punktu O, który jest obliczany przez iloczyn wektorowy między wektorem położenia r_OP i siłę fa, gdzie r_OP jest skierowany od O do punktu współbieżności P:

M_O1 = r_OP × fa₁

M_O2 = r_OP × fa_dwa

Biorąc pod uwagę fa_R = fa₁ + fa_dwa, następnie:

M_LUB = r_OP × fa₁ + r_OP × fa_dwa = M_O1 + M_O2

Ale jak r_OP jest więc wspólnym czynnikiem, stosującym właściwość dystrybucyjną do iloczynu krzyżowego:

M_LUB = r_OP × (fa₁ + fa_dwa) = r_OP × fa_R                

Dlatego suma momentów lub momentów każdej siły względem punktu O jest równoważna momentowi siły wypadkowej względem tego samego punktu.

Oświadczenie i dowód

Niech będzie układ N współbieżnych sił, utworzony przez fa₁, fa_dwa, fa₃... fa_N, których linie działania przecinają się w punkcie P (patrz rysunek 1), moment tego układu sił M_LUB, w odniesieniu do punktu O dana jest wzorem:

M_LUB = r_OP × fa₁ + r_OP × fa_dwa + r_OP × fa₃ +... r_OP × fa_N = r_OP × (fa₁ + fa_dwa + fa₃ +... fa_N)

Demonstracja

Aby udowodnić twierdzenie, wykorzystuje się właściwość dystrybucyjną produktu wektorowego między wektorami.

Bądź siłami fa₁, fa_dwa, fa₃... fa_N zastosowane do punktów A₁, DO_dwa, DO₃… DO_N i współbieżny w punkcie P. Wynikowy moment tego układu, w odniesieniu do punktu O, zwany M_LUB, jest sumą momentów każdej siły w odniesieniu do wspomnianego punktu:

M_LUB = ∑ r_OAi × fa_ja

Gdzie suma przechodzi od i = 1 do i = N, ponieważ istnieje N sił. Ponieważ mamy do czynienia z siłami współbieżnymi i ponieważ iloczyn wektorowy między równoległymi wektorami wynosi zero, zdarza się, że:

r_PAi × fa_ja = 0

Z wektorem zerowym oznaczonym jako 0.

Moment jednej z sił względem O, na przykład moment siły fa_ja zastosowany w A_ja, jest napisane tak:

M_słyszałem = r_OAi × fa_ja

Wektor pozycji r_OAi  można wyrazić jako sumę dwóch wektorów pozycji:

r_OAi = r_OP + r_PAi

W ten sposób moment około O siły fa_ja to jest:

M_słyszałem = (r_OP + r_PAi) × fa_ja = (r_OP × fa_ja) + (r_PAi × fa_ja)

Ale ostatni termin jest zerowy, jak wyjaśniono powyżej, ponieważ r_PAi jest na linii działania fa_ja, A zatem:

M_słyszałem = r_OP × fa_ja

Wiedząc, że moment układu względem punktu O jest sumą wszystkich poszczególnych momentów każdej siły względem tego punktu, to:

M_LUB = ∑ M_słyszałem = ∑ r_OP × fa_ja

Co r_OP jest stała wynika z sumy:

M_LUB = r_OP × (∑ fa_ja)

Ale ∑ fa_ja jest po prostu siłą wypadkową lub wypadkową fa_R, dlatego natychmiast stwierdza się, że:

M_LUB = r_OP × fa_R

Przykład

Twierdzenie Varignona ułatwia obliczenie momentu siły fa W odniesieniu do punktu O w konstrukcji przedstawionej na rysunku, jeżeli siła rozkłada się na jej prostokątne składowe i oblicza się moment każdej z nich:

Zastosowania twierdzenia Varignona

Gdy znana jest wypadkowa siła układu, można zastosować twierdzenie Varignona, aby zastąpić sumę każdego z momentów sił, które go tworzą, momentem wypadkowej.

Jeżeli układ składa się z sił działających na tej samej płaszczyźnie, a punkt, względem którego ma być obliczany moment, należy do tej płaszczyzny, to wynikowy moment jest prostopadły.

Na przykład, jeśli wszystkie siły są w płaszczyźnie xy, moment jest skierowany w osi z i pozostaje tylko znaleźć jego wielkość i zwrot, tak jest w przypadku opisanego powyżej przykładu.

W tym przypadku twierdzenie Varignona pozwala nam obliczyć wynikowy moment układu poprzez sumowanie. Jest to bardzo przydatne w przypadku trójwymiarowego układu sił, dla którego kierunek powstałego momentu nie jest znany a priori.

Aby rozwiązać te ćwiczenia, wygodnie jest rozłożyć siły i wektory położenia na ich prostokątne składowe, a na podstawie sumy momentów określić składowe momentu netto.

Ćwiczenie rozwiązane

Korzystając z twierdzenia Varignona, obliczyć moment siły F wokół punktu O pokazanego na rysunku, jeśli wartość F wynosi 725 N.

Rozwiązanie

Aby zastosować twierdzenie Varignona, rozłóż siłę fa w dwóch składowych, których odpowiednie momenty wokół O są obliczane i dodawane w celu uzyskania momentu wynikowego.

fa_x = 725 N ∙ cos 37 º = 579,0 N

fa_Y = - 725 N N ∙ sin 37 º = −436,3 N

Podobnie wektor pozycji r skierowany od O do A posiada komponenty:

r_x = 2,5 m

r_Y = 5,0 m

Moment każdej składowej siły około O oblicza się, mnożąc siłę i odległość prostopadłą.

Obie siły mają tendencję do obracania konstrukcji w tym samym kierunku, który w tym przypadku jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, do którego arbitralnie przypisywany jest znak dodatni:

M_Wół = F._x∙ r_Y ∙ sin 90º = 579,0 N ∙ 5,0 m = 2895 N ∙ m

M_Oy = F._Y∙ r_x ∙ sin (−90º) = −436,3 N ∙ 2,5 m ∙ (−1) = 1090,8 N ∙ m

Wynikowy moment o O to:

M_LUB = M_Wół + M_Oy = 3985,8 N ∙ m prostopadle do płaszczyzny i zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Bibliografia

1. Bedford, 2000. A. Mechanika inżynierska: statyka. Addison Wesley. 
2. Beer, F. 2010. Static. McGraw Hill. 9. Wydanie.
3. Hibbeler, R. 1992. Mechanika dla inżynierów. 6th. Wydanie. CECSA.
4. HK Engineering. Twierdzenie Varignona. Odzyskany z: youtube.com.
5. Wikipedia. Twierdzenie Varignona (Mechanika). Odzyskane z: en.wikipedia.org.