ZA trapez równoramienny jest czworobokiem, w którym dwa boki są do siebie równoległe, a także dwa kąty przylegające do jednego z tych równoległych boków mają ten sam wymiar.
Na rysunku 1 mamy czworokąt ABCD, w którym boki AD i BC są równoległe. Dodatkowo kąty ∠DAB i ∠ADC sąsiadujące z równoległym bokiem AD mają tę samą miarę α.
Zatem ten czworoboczny lub czteroboczny wielokąt jest w rzeczywistości trapezem równoramiennym.
W trapezie nazywane są równoległe boki podstawy a nie-paralele są nazywane boczny. Kolejną ważną cechą jest wysokość, czyli odległość, która oddziela równoległe boki.
Oprócz trapezu równoramiennego istnieją inne rodzaje trapezów:
-Tżabnica łuskowata, który ma wszystkie swoje różne kąty i boki.
-Tprostokątna żabnica, w którym część boczna ma przylegające do siebie kąty.
Kształt trapezu jest powszechny w różnych dziedzinach projektowania, architektury, elektroniki, obliczeń i wielu innych, jak zobaczymy później. Stąd tak ważne jest zapoznanie się z jego właściwościami.
Indeks artykułów
Jeśli trapez jest równoramienny, to ma następujące charakterystyczne właściwości:
1.- Boki mają ten sam wymiar.
2.- Kąty sąsiadujące z podstawami są równe.
3.- Przeciwne kąty są uzupełniające.
4.- Przekątne mają tę samą długość, dwa segmenty, które łączą przeciwległe wierzchołki, są takie same.
5.- Kąty utworzone między podstawami i przekątnymi mają tę samą miarę.
6. - Ma ograniczony obwód.
I odwrotnie, jeśli trapez spełnia którąkolwiek z powyższych właściwości, jest to trapez równoramienny.
Jeśli w trapezie równoramiennym jeden z kątów jest prosty (90º), to wszystkie pozostałe również będą proste, tworząc prostokąt. Oznacza to, że prostokąt jest szczególnym przypadkiem trapezu równoramiennego.
Poniższy zestaw właściwości jest ważny dla każdego trapezu:
7. - The mediana trapezu, czyli odcinek, który łączy punkty środkowe jego nierównoległych boków, jest równoległy do dowolnej z podstaw.
8.- Długość mediany jest równa połowie sumy (suma podzielona przez 2) jej podstaw.
9.- Środek trapezu przecina jego przekątne w punkcie środkowym.
10.- Przekątne trapezu przecinają się w punkcie, który dzieli je na dwie sekcje proporcjonalnie do ilorazów podstaw.
11.- Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa sumie kwadratów jego boków plus podwójny iloczyn jego podstaw.
12.- Odcinek łączący punkty środkowe przekątnych ma długość równą połowie różnicy podstaw.
13.- Kąty przylegające do bocznych mają charakter uzupełniający.
14. - Trapez ma wpisany obwód wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego podstaw jest równa sumie jego boków.
15.- Jeśli trapez ma wpisany obwód, wówczas kąty z wierzchołkiem w środku wspomnianego obwodu i bokami przechodzącymi przez końce tego samego boku są kątami prostymi.
Poniższy zestaw zależności i wzorów odnosi się do rysunku 3, na którym oprócz trapezu równoramiennego pokazano inne ważne segmenty, takie jak przekątne, wysokość i mediana.
1. - AB = DC = c = d
2. - ∡DAB = ∡CDA i ∡ABC = ∡BCD
3. - ∡DAB + ∡BCD = 180º i ∡CDA + ∡ABC = 180º
4. - BD = AC
5. - ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α1
6. - A, B, C i D należą do określonego koła.
8. - KL = (AD + BC) / 2
9.- AM = MC = AC / 2 i DN = NB = DB / 2
10.- AO / OC = AD / BC i DO / OB = AD / BC
11. - ACdwa + DBdwa = ABdwa + DCdwa + 2⋅AD⋅BC
12. - MN = (AD - BC) / 2
13. - ∡DAB + ∡ABC = 180º i ∡CDA + ∡BCD = 180º
14.- Jeśli AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R niż w równej odległości od AD, BC, AB i DC
15. - Jeśli ∃ R jest równoodległy od AD, BC, AB i DC, to:
∡BRA = ∡DRC = 90º
Jeśli w trapezie równoramiennym suma podstaw jest równa dwukrotności liczby bocznej, to istnieje obwód wpisany.
Następujące właściwości mają zastosowanie, gdy trapez równoramienny ma wpisany obwód (patrz rysunek 4 powyżej):
16. - KL = AB = DC = (AD + BC) / 2
17.- Przekątne przecinają się pod kątem prostym: AC ⊥ BD
18.- Wysokość jest taka sama jak mediana: HF = KL, czyli h = m.
19.- Kwadrat wysokości jest równy iloczynowi podstaw: hdwa = BC⋅AD
20.- W tych szczególnych warunkach powierzchnia trapezu jest równa kwadratowi wysokości lub iloczynowi podstaw: Powierzchnia = hdwa = BC⋅AD.
Znana podstawa, boczna i kątowa, druga podstawa może być określona przez:
a = b + 2c Cos α
b = a - 2c Cos α
Jeśli długość podstaw i kąt są podane jako znane dane, to długości obu stron wynoszą:
c = (a - b) / (2 Cos α)
a = (d1dwa - dodwa) / b;
b = (d1dwa - dodwa)/ do
c = √ (d1dwa - a⋅b)
Gdzie d1 to długość przekątnych.
a = (2 A) / h - b
b = (2 A) / h - a
c = (2A) / [(a + b) sin α]
c = A / (m sin α)
h = √ [4 cdwa - (a - b)dwa]
h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α
re1 = √ (cdwa+ a b)
re1 = √ (adwa+ dodwa - 2 a c Cos α)
re1 = √ (bdwa + dodwa- 2 b c Cos β)
P = a + b + 2c
Istnieje kilka formuł obliczania powierzchni, w zależności od znanych danych. Najbardziej znane, w zależności od podstaw i wysokości, są następujące:
A = h⋅ (a + b) / 2
Możesz także użyć tych innych:
A = [(a + b) / 4] √ [4cdwa - (a - b)dwa]
A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α
A = 4 rdwa / Sen α = 4 rdwa / Sen β
A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β
A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2
A = (d1dwa/ 2) Sen γ = (d1dwa / 2) Sen δ
A = mc.sen α = mc.sen β
Tylko trapezoidy równoramienne mają ograniczony obwód. Jeśli większa podstawa a, boczna c i przekątna d są znane1, wtedy promień R okręgu przechodzącego przez cztery wierzchołki trapezu wynosi:
R = a⋅c⋅d1 / 4√ [p (p -a) (p -c) (p - d1)]
Gdzie p = (a + c + d1) / dwa
Trapez równoramienny pojawia się w dziedzinie projektowania, jak pokazano na rysunku 2. A oto kilka dodatkowych przykładów:
Starożytni Inkowie znali trapez równoramienny i używali go jako elementu budowlanego w tym oknie w Cuzco w Peru:
I tutaj trapez pojawia się ponownie w wezwaniu blacha trapezowa, materiał często używany w budownictwie:
Widzieliśmy już, że trapez równoramienny pojawia się w przedmiotach codziennego użytku, w tym w żywności takiej jak ta tabliczka czekolady:
Trapez równoramienny ma podstawę większą niż 9 cm, podstawę mniejszą niż 3 cm i przekątne po 8 cm. Oblicz:
na bok
b) Wysokość
c) Obwód
d) Powierzchnia
Wykreślana jest wysokość CP = h, gdzie stopa wysokości definiuje segmenty:
PD = x = (a-b) / 2 y
AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.
Używając twierdzenia Pitagorasa do prawego trójkąta DPC:
dodwa = godzdwa + (a - b)dwa / 4
A także do prawego trójkąta APC:
redwa = godzdwa + APdwa = godzdwa + (a + b)dwa / 4
Na koniec, element po elemencie, drugie równanie jest odejmowane od pierwszego i uproszczone:
redwa - dodwa = ¼ [(a + b)dwa - (a – b)dwa] = ¼ [(a + b + a-b) (a + b-a + b)]
redwa - dodwa = ¼ [2a 2b] = a b
dodwa= ddwa - a b ⇒ c = √ (ddwa - a b) = √ (8dwa - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm
godzdwa = ddwa - (a + b)dwa / 4 = 8dwa - (12dwa / dwadwa ) = 8dwa - 6dwa = 28
h = 2 √7 = 5,29 cm
Obwód = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm
Powierzchnia = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm
Istnieje trapez równoramienny, którego największa podstawa jest dwa razy najmniejsza, a jej najmniejsza podstawa jest równa wysokości, która wynosi 6 cm. Zdecydować:
a) Długość boku
b) Obwód
c) Powierzchnia
d) Kąty
Dane: a = 12, b = a / 2 = 6 i h = b = 6
Postępujemy w ten sposób: rysujemy wysokość h, a twierdzenie Pitagorasa stosuje się do trójkąta przeciwprostokątnego „c” oraz odnóg h i x:
dodwa = godzdwa+xcdwa
Następnie musisz obliczyć wartość wysokości z danych (h = b) i nogi x:
a = b + 2 x ⇒ x = (a-b) / 2
Zastępując poprzednie wyrażenia mamy:
dodwa = bdwa+(a – b)dwa/dwadwa
Teraz wprowadzamy wartości liczbowe i jest to uproszczone:
dodwa = 62+ (12-6) 2/4
dodwa = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)
Uzyskanie:
c = 3√5 = 6,71 cm
Obwód P = a + b + 2 c
P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm
Powierzchnia w funkcji wysokości i długości podstaw to:
A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cmdwa
Kąt α utworzony przez poprzeczkę z większą podstawą uzyskuje się za pomocą trygonometrii:
Tan (α) = h / x = 6/3 = 2
α = ArcTan (2) = 63,44º
Drugi kąt, ten, który tworzy bok z mniejszą podstawą, to β, który jest uzupełnieniem α:
β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º
Jeszcze bez komentarzy