To jest zrozumiałe przez wektor reżysera taki, który określa kierunek linii w płaszczyźnie lub w przestrzeni. Dlatego wektor równoległy do prostej można uznać za wektor kierujący tego samego.
Jest to możliwe dzięki aksjomatowi geometrii euklidesowej, który mówi, że dwa punkty definiują linię. Wówczas zorientowany odcinek utworzony przez te dwa punkty również definiuje wektor kierunkowy wspomnianej linii.
Biorąc pod uwagę punkt P. należące do linii (L) i mając wektor reżyserski lub tej linii, linia jest całkowicie określona.
Indeks artykułów
Biorąc pod uwagę punkt P. współrzędnych P: (Xo, I) i wektor lub dyrektor strita (L), wszystko punkt Q współrzędnych P: (X, Y) musi spełniać, że wektor PQ być równoległe do u. Ten ostatni warunek jest gwarantowany, jeśli PQ jest proporcjonalna do lub:
PQ = t⋅lub
w poprzednim wyrażeniu t to parametr należący do liczb rzeczywistych.
Jeśli składowe kartezjańskie PQ i lub Powyższe równanie jest zapisane w następujący sposób:
(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)
Jeśli składowe równości wektorów są wyrównane, mamy następującą parę równań:
X - Xo = a⋅t Y Y - I = b⋅t
Współrzędne X i Y punktu na linii (L) przechodząc przez punkt współrzędnych (Xo, I) i jest równoległy do wektor reżysera lub= (a, b) są określane przez przypisanie rzeczywistych wartości do parametru zmiennej t:
X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t
Aby zilustrować znaczenie parametrycznego równania prostej, bierzemy jako wektor kierujący
lub = (a, b) = (2, -1)
a jako znany punkt prostej to punkt
P = (Xo, I) = (1, 5).
Równanie parametryczne linii to:
X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞
Aby zilustrować znaczenie tego równania, pokazano rysunek 3, na którym parametr t zmienia się w wartość i punkt Q współrzędnych (X, Y) zajmować różne pozycje na prostej.
Mając punkt P na prostej i jego wektor kierunkowy u, równanie prostej można zapisać w postaci wektorowej:
OQ = OP + λ⋅lub
W powyższym równaniu Q jest dowolnym punktem, ale należącym do prostej i λ liczba rzeczywista.
Równanie wektora prostej ma zastosowanie do dowolnej liczby wymiarów, można nawet zdefiniować hiperlinię.
W trójwymiarowym przypadku wektora reżyserskiego lub= (a, b, c) i punkt P = (Xo, Yo, Zo), współrzędne punktu ogólnego Q = (X, Y, Z) należący do linii to:
(X ORAZ Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)
Rozważmy ponownie linię, która ma jako wektor kierujący
lub = (a, b) = (2, -1)
a jako znany punkt prostej to punkt
P = (Xo, I) = (1, 5).
Równanie wektorowe tej linii to:
(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)
Wychodząc od postaci parametrycznej, po wyczyszczeniu i zrównaniu parametru λ otrzymujemy:
(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c
To jest symetryczna postać równania prostej. czuję to do, b Y do są składowymi wektora reżysera.
Rozważmy linię, która ma jako wektor kierujący
lub = (a, b) = (2, -1)
a jako znany punkt prostej to punkt
P = (Xo, I) = (1, 5). Znajdź jego symetryczny kształt.
Symetryczna lub ciągła postać linii to:
(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)
Równanie, które ma następującą strukturę, jest znane jako ogólna postać prostej w płaszczyźnie XY:
A⋅X + B⋅Y = C
Wyrażenie dla postaci symetrycznej można przepisać tak, aby miało postać ogólną:
b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo
w porównaniu z ogólnym kształtem linii jest to:
A = b, B = -a i C = b⋅Xo - a⋅Yo
Znajdź ogólną postać prostej, której wektor kierunkowy to u = (2, -1)
i to przechodzi przez punkt P = (1, 5).
Aby znaleźć ogólną formę, możemy skorzystać z podanych wzorów, jednak zostanie wybrana alternatywna ścieżka.
Rozpoczynamy od znalezienia podwójnego wektora w wektora kierunkowego u, zdefiniowanego jako wektor otrzymany przez zamianę składników u i pomnożenie drugiego przez -1:
w= (-1, -2)
wektor podwójny w odpowiada obróceniu wektora kierunkowego o 90 ° zgodnie z ruchem wskazówek zegara v.
Mnożymy się skalarnie w z (X, Y) i z (Xo, I) i dopasowujemy:
(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)
-X-2Y = -1-2⋅5 = -11
pozostając ostatecznie:
X + 2Y = 11
Jest znany jako standardowa forma linii w płaszczyźnie XY, która ma następującą strukturę:
Y = m⋅X + d
gdzie m reprezentuje nachylenie, ad punkt przecięcia z osią Y..
Biorąc pod uwagę wektor kierunkowy u = (a, b), nachylenie m wynosi b / a.
Y d otrzymujemy podstawiając X i Y zamiast znanego punktu Xo, I:
I = (b / a) Xo + d.
Krótko mówiąc, m = b / a id = I - (b / a) Xo
Zauważ, że nachylenie m jest ilorazem między składową Y wektora reżysera i składowej x tego samego.
Znajdź standardową postać prostej, której wektor kierunkowy to u = (2, -1)
i to przechodzi przez punkt P = (1, 5).
m = -½ id = 5 - (-½) 1 = 11/2
Y = (-1/2) X + 11/2
Znajdź wektor kierunkowy prostej (L) będącej przecięciem płaszczyzny (Π): X - Y + Z = 3 i płaszczyzny (Ω): 2X + Y = 1.
Następnie napisz ciągłą postać równania prostej (L).
Z równania płaszczyzny (Ω) prześwitu Y: Y = 1 -2X
Następnie podstawiamy w równaniu płaszczyzny (Π):
X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X
Następnie parametryzujemy X, wybieramy parametryzację X = λ
Oznacza to, że linia ma równanie wektorowe podane przez:
(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)
który można przepisać jako:
(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)
z którym jest jasne, że wektor lub = (1, -2, -3) jest wektorem kierującym prostej (L).
Ciągła postać linii (L) to:
(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)
Biorąc pod uwagę samolot 5X + do Y + 4 Z = 5
i prosta, której równanie to X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)
Określ wartość do tak, aby płaszczyzna i linia były równoległe.
Wektor n = (5, a, 4) jest wektorem normalnym do płaszczyzny.
Wektor lub = (1, 3, -2) jest wektorem kierunkowym prostej.
Jeśli linia jest równoległa do płaszczyzny, to n • v = 0.
(5, do, 4)•(1, 3, -2) = 5 +3do -8 = 0 ⇒ do= 1.
Jeszcze bez komentarzy