Charakterystyczne wektory jednostkowe, jak je otrzymać, przykłady

Plik wektory jednostkowe to te, których moduł, wielkość lub rozmiar są równe wartości liczbowej jeden. Wektory jednostkowe są przydatne do wskazywania kierunku innych wektorów niejednostkowych.

Przypomnij sobie, że wektory to byty matematyczne, które matematycznie reprezentują wielkości fizyczne zależne od kierunku, takie jak siła, prędkość, przyspieszenie i inne..

Niezależnie od wielkości fizycznej, z którą są związane, wektory jednostkowe są pozbawione jednostek miary, a ich rozmiar zawsze wynosi 1, czyli czysta liczba.

Na przykład prędkość cząstki poruszającej się z prędkością 3 m / s i poruszającej się w dodatnim kierunku osi kartezjańskiej X jest oznaczona: v = (3 m / s) ja, gdzie pogrubiona czcionka jest używana do oznaczenia ilości wektorowych. W tym przykładzie module v wynosi 3 m / s, a moduł wektora jednostkowego ja wynosi 1 (brak jednostek).

Indeks artykułów

• 1 Moduł, kierunek i sens
• 2 Charakterystyka wektora jednostkowego
• 3 Wektory jednostkowe w przestrzeni
• 4 Jak narysować / obliczyć wektor jednostkowy?
  • 4.1 Dowolny wektor pod względem wektora jednostkowego
  • 4.2 Przedstawienie graficzne
• 5 Przykłady wektorów jednostkowych
  • 5.1 Prostopadłe wektory jednostkowe i, j oraz k
  • 5.2 Prawo Coulomba
• 6 Ćwiczenie rozwiązane
  • 6.1 Rozwiązanie
• 7 Referencje

Moduł, kierunek i sens

Biorąc pod uwagę, jak ważne jest ustalenie orientacji tych wielkości, aby poznać ich skutki, wektory mają trzy istotne cechy: wielkość lub moduł związany z rozmiarem wektora, kierunek i zwrot. Przedstawiając wielkość wektorów, należy wyraźnie wskazać te aspekty.

Teraz wektor jednostkowy może mieć dowolny kierunek i zwrot, który jest preferowany, ale wielkość musi zawsze być równa 1.

Wektory jednostkowe służą do wskazywania określonego kierunku w przestrzeni lub na płaszczyźnie. Jeśli na przykład musimy pracować ze wszystkimi siłami, które działają wzdłuż osi poziomej, ponieważ wektor jednostkowy w tym kierunku pomaga nam odróżnić te siły od innych skierowanych w innym kierunku..

Aby odróżnić je od wektorów niejednostkowych, w drukowanej liście zwykle stosuje się pogrubioną czcionkę, a na górze umieszcza się daszek, na przykład:

Charakterystyka wektora jednostkowego

Matematycznie wektor jednostkowy:

Możemy więc ustalić, że:

-Moduł wektora jednostkowego wynosi zawsze 1, nie ma znaczenia, czy jest to siła, prędkość czy inny wektor.

-Wektory jednostkowe mają określony kierunek, a także zwrot, na przykład wektor jednostkowy w kierunku pionowym, który może mieć kierunek w górę lub w dół.

-Wektory jednostkowe mają punkt początkowy. Gdy jest reprezentowany przez kartezjański układ współrzędnych, ten punkt pokrywa się z początkiem układu: (0,0) jeśli jest to płaszczyzna lub (0,0,0), jeśli wektor znajduje się w przestrzeni trójwymiarowej.

-Podobnie w przypadku wektorów jednostkowych można przeprowadzić wszystkie operacje dodawania, odejmowania i mnożenia wektorów, które są wykonywane za pomocą wektorów regularnych. Dlatego ważne jest pomnożenie wektora jednostkowego przez skalar, a także wykonanie iloczynu punktowego i iloczynu krzyżowego.

-Z wektorem jednostkowym w określonym kierunku można wyrazić inne wektory, które również są zorientowane w tym kierunku..

Wektory jednostkowe w przestrzeni

Aby wyrazić dowolny wektor w przestrzeni lub na płaszczyźnie, można użyć zestawu wektorów jednostkowych prostopadłych do siebie, które tworzą bazę ortonormalną. Każdy z trzech preferencyjnych kierunków przestrzeni ma swój własny wektor jednostkowy.

Wróćmy do przykładu sił skierowanych wzdłuż osi poziomej. To jest oś X, która ma dwie możliwości: po prawej i po lewej stronie. Załóżmy, że mamy wektor jednostkowy na osi X i skierowany w prawo, który możemy oznaczyć w dowolny z poniższych sposobów:

Każdy z nich jest ważny. Teraz przypuśćmy siłę fa₁ o wielkości 5 N wzdłuż tej osi i skierowanej w prawo, siłę taką można wyrazić jako:

Gdyby siła była skierowana wzdłuż osi x, ale w przeciwnym kierunku, to znaczy w lewo, to do ustalenia tej różnicy można by użyć znaku ujemnego..

Na przykład siła o wielkości 8 N, znajdująca się na osi x i skierowana w lewo, wyglądałaby następująco:

Lub tak:

A dla wektorów, które nie są skierowane wzdłuż osi kartezjańskich, istnieje również sposób na przedstawienie ich za pomocą ortogonalnych wektorów jednostkowych, przez ich składowe kartezjańskie.

Jak uzyskać / obliczyć wektor jednostkowy?

Aby obliczyć wektor jednostkowy w kierunku dowolnego dowolnego wektora v, obowiązuje następujący wzór:

Gdzie:

Jest to moduł lub wielkość wektora v, którego kwadrat jest obliczany w następujący sposób:

|v|^dwa = (w_x)^dwa +  (w_Y)^dwa+  (v_z)^dwa

Dowolny wektor pod względem wektora jednostkowego

Alternatywnie wektor v można wyrazić w ten sposób:

To znaczy iloczyn jego modułu przez odpowiedni wektor jednostkowy. Dokładnie to zrobiono wcześniej, mówiąc o sile o wielkości 5 N skierowanej wzdłuż dodatniej osi x.

Reprezentacja graficzna

Graficznie powyższe widać na tym obrazie, na którym znajduje się wektor v jest na niebiesko, a odpowiadający mu wektor jednostkowy w jego kierunku jest na czerwono.

W tym przykładzie plik vector v ma wielkość większą niż wektor jednostkowy, ale wyjaśnienie jest poprawne, nawet jeśli tak nie jest. Innymi słowy, możemy mieć wektory, które są na przykład 0,25 razy większe niż wektor jednostkowy.

Przykłady wektorów jednostkowych

Prostopadłe wektory jednostkowe i, j oraz k

Jak widzieliśmy wcześniej, prostopadłe wektory jednostkowe ja, jot Y k są bardzo przydatne do reprezentowania dowolnego innego wektora w płaszczyźnie lub przestrzeni oraz do wykonywania operacji na wektorach. W przypadku tych wektorów dowolny wektor v jest reprezentowany jako:

v = w_x ja + v_Y jot + v_z k

Gdzie V._x, v_Y i V_z są prostokątnymi składowymi wektora v, które są skalarami - nie używa się pogrubienia do ich przedstawienia w tekście drukowanym-.

prawo Coulomba

Wektory jednostkowe pojawiają się często w fizyce. Mamy tam na przykład prawo Coulomba, które ilościowo opisuje interakcję między dwoma punktowymi ładunkami elektrycznymi.

Stwierdza, że ​​siła fa przyciąganie lub odpychanie między wspomnianymi ładunkami jest proporcjonalne do ich iloczynu, odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości, która je dzieli i jest skierowane w kierunku wektora jednostkowego łączącego ładunki.

Ten wektor jest zwykle reprezentowany przez:

A prawo Coulomba wygląda tak, w postaci wektorowej:

Ćwiczenie rozwiązane

Znajdowanie wektora jednostkowego w kierunku wektora v = 5ja + 4jot -8k, podane w jednostkach arbitralnych.

Rozwiązanie

Definicja wektora jednostkowego podana powyżej ma zastosowanie:

Ale najpierw musimy obliczyć moduł wektora, który, ponieważ ma trzy składowe, jest określony przez:

|v|^dwa = (w_x)^dwa +  (w_Y)^dwa +  (w_z)^dwa

Pozostały:

|v|^dwa = (5)^dwa +  (4)^dwa +  (-8)^dwa= 25 + 16 + 64 = 105

Dlatego moduł v to jest:

|v| = √105

Szukany wektor jednostkowy to po prostu:

Co ostatecznie prowadzi nas do:

v = 0,488 ja + 0,390 jot - 0,781 k

Bibliografia

1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. A. Mechanika inżynierska: statyka. Addison Wesley.
3. Figueroa, D. (2005). Seria: Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. Kinematyka. Pod redakcją Douglasa Figueroa (USB).
4. Giambattista, A. 2010. Fizyka. 2nd. Ed. McGraw Hill.
5. Resnick, R. (1999). Fizyczny. Vol. 1. 3. wydanie w języku hiszpańskim. Compañía Editorial Continental S.A. przez C.V.