Plik kokarda, w geometrii jest to dowolna zakrzywiona linia łącząca dwa punkty. Linia zakrzywiona, w przeciwieństwie do prostej, to taka, której kierunek jest inny w każdym punkcie. Przeciwieństwem łuku jest odcinek, ponieważ jest to prosta sekcja łącząca dwa punkty.
Łuk najczęściej używany w geometrii to łuk obwodu. Inne powszechnie stosowane łuki to łuk paraboliczny, eliptyczny i łańcuchowy. Forma łukowa jest również często wykorzystywana w architekturze jako element dekoracyjny i element konstrukcyjny. Tak jest w przypadku nadproży drzwi i okien, a także mostów i akweduktów.
Indeks artykułów
Miarą łuku jest jego długość, która zależy od rodzaju krzywej łączącej dwa punkty i ich położenia..
Długość łuku kołowego jest jednym z najłatwiejszych do obliczenia, ponieważ znana jest długość całego łuku lub obwodu obwodu.
Obwód koła wynosi dwa Liczba Pi razy twoje radio: p = 2 π R. Wiedząc o tym, jeśli chcesz obliczyć długość s łuku kołowego kąta α (mierzony w radianach) i promień R, stosuje się stosunek:
(s / p) = (α / 2 π)
Następnie oczyszczanie s z poprzedniego wyrażenia i podstawiając obwód p wyrażeniem w funkcji promienia R, ty masz:
s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.
Oznacza to, że miara łuku kołowego jest iloczynem jego kątowego otwarcia razy promienia łuku kołowego.
Ogólnie rzecz biorąc, w przypadku łuku problem jest bardziej skomplikowany, do tego stopnia, że wielcy myśliciele starożytności twierdzili, że było to niemożliwe..
Dopiero pojawienie się rachunku różniczkowego i całkowego w 1665 roku, pozwoliło zadowalająco rozwiązać problem pomiaru dowolnego łuku..
Przed wynalezieniem rachunku różniczkowego rozwiązania można było znaleźć tylko za pomocą wielokątnych linii lub łuków obwodu, które przybliżały prawdziwy łuk, ale rozwiązania te nie były dokładne.
Z punktu widzenia geometrii łuki klasyfikowane są zgodnie z zakrzywioną linią łączącą dwa punkty na płaszczyźnie. Istnieją inne klasyfikacje ze względu na ich przeznaczenie i formę architektoniczną.
Gdy linia łącząca dwa punkty płaszczyzny jest kawałkiem obwodu o pewnym promieniu, mamy łuk kołowy. Rysunek 2 przedstawia łuk kołowy c o promieniu R łączący punkty A i B.
Parabola to ścieżka, po której podąża obiekt, który został ukośnie wyrzucony w powietrze. Kiedy krzywa łącząca dwa punkty jest parabolą, mamy łuk paraboliczny podobny do tego pokazanego na rysunku 3.
To kształt strumienia wody wychodzącego z węża skierowanego do góry. W źródłach wody można zaobserwować łuk paraboliczny.
Łuk trakcyjny to kolejny naturalny łuk. Sieć trakcyjna to krzywizna, która tworzy się naturalnie, gdy łańcuch lub lina zwisa luźno w dwóch oddzielnych punktach.
Łańcuch jest podobny do paraboli, ale nie jest dokładnie taki sam, jak pokazano na ryc.4.
Odwrócony łuk trakcyjny jest stosowany w architekturze jako element konstrukcyjny o wysokiej wytrzymałości na ściskanie. W rzeczywistości można wykazać, że jest to najsilniejszy typ łuku ze wszystkich możliwych form..
Aby zbudować solidny łuk trakcyjny, wystarczy skopiować kształt wiszącej liny lub łańcucha, a następnie skopiowany kształt jest odwracany, aby odtworzyć go na nadprożu drzwi lub okna.
Łuk jest eliptyczny, jeśli krzywa łącząca dwa punkty jest fragmentem lub sekcją elipsy. Elipsa jest definiowana jako zbiór punktów, których odległość od dwóch danych punktów zawsze sumuje się do stałej wielkości.
Elipsa to krzywa, która pojawia się w naturze: jest to krzywa trajektorii planet wokół Słońca, jak wykazał Johannes Kepler w roku 1609.
W praktyce elipsę można narysować, przypinając do ziemi dwie rozpórki lub dwie szpilki na papierze i przywiązując do nich sznurek. Lina jest następnie napinana markerem lub ołówkiem i rysowana jest krzywa. Kawałek elipsy to eliptyczny łuk. Poniższa animacja ilustruje sposób rysowania elipsy:
Rysunek 6 przedstawia eliptyczny łuk łączący punkty G i H..
Poniższe przykłady dotyczą sposobu obliczania obwodu niektórych określonych łuków.
Rysunek 7 przedstawia okno zakończone ciętym łukiem kołowym. Wymiary pokazane na rysunku podano w stopach. Oblicz długość łuku.
Aby uzyskać środek i promień łuku kołowego nadproża okna, na obrazie wykonujemy następujące konstrukcje:
-Segment KL jest rysowany, a jego dwusieczna jest rysowana.
-Następnie znajduje się najwyższy punkt nadproża, który nazywamy M. Następnie rozpatrujemy odcinek KM i śledzimy jego pośrednik..
Punkt przecięcia dwóch dwusiecznych to punkt N i jest to również środek łuku kołowego.
-Teraz musimy zmierzyć długość odcinka NM, który pokrywa się z promieniem R łuku kołowego: R = 2,8 stopy.
-Aby poznać długość łuku oprócz promienia, konieczne jest poznanie kąta, który tworzy łuk. Które można określić dwoma metodami, albo mierzy się za pomocą kątomierza, albo alternatywnie oblicza się za pomocą trygonometrii.
W przedstawionym przypadku kąt utworzony przez łuk wynosi 91,13 °, który należy przeliczyć na radiany:
91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radiana
Na koniec obliczamy długość s łuku za pomocą wzoru s = α R.
s = 1,59 * 2,8 stopy = 4,45 stopy
Znajdź długość łuku eliptycznego pokazanego na rysunku 8, znając półoś większą r i półoś małej s elipsy.
Znalezienie długości elipsy było od dawna jednym z najtrudniejszych problemów matematycznych. Możesz uzyskać rozwiązania wyrażone przez całki eliptyczne, ale aby mieć wartość liczbową, musisz rozszerzyć te całki w szeregach potęgowych. Dokładny wynik wymagałby nieskończonych terminów tych serii.
Na szczęście hinduski geniusz matematyczny Ramanujan, który żył między 1887 a 1920 rokiem, znalazł wzór, który bardzo dokładnie przybliża obwód elipsy:
Obwód elipsy = π [3 (r + s) - √ ((3r + s) (r + 3s))]
Obwód elipsy o r = 3 cm i s = 2,24 cm wynosi 16,55 cm. Jednak pokazany łuk eliptyczny ma połowę tej wartości:
Długość łuku eliptycznego GH = 8,28 cm.
Jeszcze bez komentarzy