Plik Współczynnik Poissona jest to wielkość bezwymiarowa, charakterystyczna dla każdego materiału. Wskazuje na odkształcenie kawałka materiału przed przyłożeniem pewnych sił.
Kiedy kawałek materiału, który jest poddawany rozciąganiu lub ściskaniu, ulega odkształceniu, iloraz między odkształceniem poprzecznym a odkształceniem podłużnym jest dokładnie współczynnikiem Poissona.
Na przykład cylinder gumowy, który jest naprężony na końcach, rozciąga się w kierunku wzdłużnym, ale zwęża się poprzecznie. Rysunek 1 przedstawia pręt, którego oryginalne wymiary to: długość L i średnica D..
Pręt jest poddawany naprężeniu T na swoich końcach iw konsekwencji tego napięcia ulega rozciągnięciu, tak że nowa długość wynosi L '> L.Ale po rozciągnięciu jego średnica również zwęża się do nowej wartości: D' < D.
Iloraz między rozciągnięciem (dodatnim) a zwężeniem (ujemnym) pomnożonym przez (-1) jest liczbą dodatnią z przedziału od 0 do 0,5. Ta liczba to tak zwany współczynnik Poissona ν (grecka litera nu).
Indeks artykułów
Aby obliczyć współczynnik Poissona, konieczne jest określenie odkształcenia podłużnego i poprzecznego.
Odkształcenie wzdłużne εL to odcinek podzielony przez oryginalną długość:
εL = (L '- L) / L
Podobnie odkształcenie poprzeczne εT jest stożkiem promieniowym podzielonym przez pierwotną średnicę:
εT = (D '- D) / D
Dlatego współczynnik Poissona jest obliczany przy użyciu następującego wzoru:
ν = - εT / εL
Współczynnik Poissona ν jest powiązany z modułem I sprężystość (lub moduł Younga) i moduł sztywności sol, za pomocą następującego wzoru:
ν = E / (2G) - 1
Pręt z pewnego tworzywa sztucznego ma długość 150 mm i okrągły przekrój o średnicy 20 mm. Pod działaniem siły ściskającej F 612,25 kg-f obserwuje się skrócenie o 14 mm i jednocześnie wzrost średnicy pręta o 0,85 mm.
Oblicz:
a) Odkształcenie wzdłużne.
b) odkształcenie poprzeczne.
c) Współczynnik Poissona tego materiału.
d) moduł sprężystości Younga odpowiadający materiałowi.
e) moduł sztywności tego tworzywa sztucznego.
Przypomnijmy, że odkształcenie podłużne εL jest rozciągnięciem podzielonym przez pierwotną długość:
εL = (L '- L) / L
εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933
Należy zauważyć, że odkształcenie podłużne jest bezwymiarowe iw tym przypadku było ujemne, ponieważ nastąpiło zmniejszenie jego wymiaru wzdłużnego.
Podobnie odkształcenie poprzeczne εT jest zwężeniem promieniowym podzielonym przez pierwotną średnicę:
εT = (D '- D) / D
εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425
Odkształcenie poprzeczne było dodatnie, ponieważ nastąpił wzrost średnicy pręta.
Do obliczenia współczynnika Poissona musimy pamiętać, że jest on definiowany jako ujemny iloraz odkształcenia poprzecznego i odkształcenia podłużnego:
ν = - εT / εL
ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554
Należy pamiętać, że współczynnik Poissona jest dodatnią liczbą bezwymiarową i dla większości materiałów wynosi od 0 do 0,5.
Moduł sprężystości Younga, oznaczony literą E, jest stałą proporcjonalności w prawie Hooke'a. Przez E, normalne naprężenie σL jest powiązane z odkształceniem εL w następujący sposób:
σL = E εL
Naprężenie normalne definiuje się jako iloraz siły normalnej (w tym przypadku równoległej do osi pręta) i pola przekroju poprzecznego:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
W tym ćwiczeniu siła F wynosi 612,25 kg-f, co należy przeliczyć na niutony, czyli jednostkę siły w układzie SI:
F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN
Ze swojej strony przekrój obszaru A wynosi:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2
Wreszcie, normalne naprężenie przykładane do pręta wynosi:
σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa
Aby obliczyć moduł sprężystości Younga, obliczamy E z prawa Hooke'a σL = E εL:
E = σL / εL = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa
Moduł sztywności G jest powiązany z modułem Younga E i współczynnikiem Poissona ν za pomocą następującego wzoru:
E / (2 G) = 1 + ν
Stamtąd możesz rozwiązać dla G:
G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa
Jest kabel miedziany o średnicy 4 mm i długości 1 m. Wiedząc, że moduł Younga miedzi wynosi 110000 MPa, a jego współczynnik Poissona wynosi 0,34, oszacuj rozciąganie i zwężanie średnicy, którym przechodzi drut, gdy jest na nim zawieszony ciężar 100 kg-f..
Najpierw należy obliczyć normalne naprężenie rozciągające, które ciężarek wywiera na drut, zgodnie z następującym wzorem:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
Siła F wynosi 980 N, a pole przekroju poprzecznego wynosi:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2
Wówczas naprężenie rozciągające wynosi:
σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77 986 000 Pa
Moduł sprężystości Younga, oznaczony literą E, jest stałą proporcjonalności w prawie Hooke'a, która wiąże normalne naprężenie σL z odkształceniem εL:
σL = E εL
Stamtąd można rozwiązać naprężenie wzdłużne drutu miedzianego:
εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4
Z drugiej strony, aby poznać odkształcenie poprzeczne, stosuje się współczynnik Poissona:
ν = - εT / εL
Wreszcie mamy, że odkształcenie poprzeczne wynosi:
εT = -ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4
Wreszcie, aby poznać bezwzględne rozciągnięcie kabla, należy zastosować następującą zależność:
ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm
Oznacza to, że przy tej masie kabel ledwo rozciągnął się na 0,709 milimetra.
Aby uzyskać absolutny skurcz średnicy, używamy następującego wzoru:
ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 milimetrów.
To zwężenie średnicy jest tak małe, że trudno go zobaczyć gołym okiem, nawet jego pomiar wymaga przyrządu o wysokiej precyzji..
Jeszcze bez komentarzy