Plik sferyczne współrzędne to system lokalizacji punktów w przestrzeni trójwymiarowej składający się ze współrzędnych promieniowych i dwóch współrzędnych kątowych zwanych współrzędnymi biegunowymi i współrzędnymi azymutu.
Rysunek 1, który widzimy poniżej, przedstawia sferyczne współrzędne (r, θ, φ) punktu M. Współrzędne te odnoszą się do ortogonalnego układu osi kartezjańskich X, Y, Z pochodzenia O.
W tym przypadku współrzędna r punktu M jest odległością od tego punktu do początku O. Współrzędna biegunowa θ reprezentuje kąt między dodatnią półosią Z a wektorem promienia OM. Podczas gdy współrzędna azymutalna φ jest kątem między dodatnią półosiową X a wektorem promienia OM ', gdzie M' jest rzutem ortogonalnym M na płaszczyznę XY.
Współrzędna promieniowa r przyjmuje tylko wartości dodatnie, ale jeśli punkt znajduje się w początku, wówczas r = 0. Współrzędna biegunowa θ przyjmuje jako minimalną wartość 0º dla punktów położonych na dodatniej półosi Z, a maksymalna wartość 180º dla punktów znajduje się na ujemnej półosi Z. Ostatecznie współrzędna azymutalna φ przyjmuje wartość minimalną 0º i maksymalną wysokość 360º.
0 ≤ r < ∞
0 ≤ θ ≤ 180º
0 ≤ φ < 360º
Indeks artykułów
Poniżej podane zostaną wzory pozwalające na uzyskanie współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) punktu M, przy założeniu, że znane są sferyczne współrzędne tego samego (r, θ, φ) punktu:
x = r Sen (θ) Cos (φ)
y = r Sen (θ) Sen (φ)
z = r Cos (θ)
W ten sam sposób warto znaleźć relacje, które przechodzą od współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) danego punktu do współrzędnych sferycznych tego punktu:
r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
θ = Arktan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)
φ = Arktan (y / x)
Ze współrzędnych sferycznych określa się ortonormalną bazę wektorów bazowych, które są oznaczone Ur, Uθ, Uφ. Rysunek 1 przedstawia te trzy wektory jednostkowe, które mają następujące cechy:
- Ur jest wektorem jednostkowym stycznym do linii promieniowej θ = ctte i φ = ctte;
- Uθ jest wektorem jednostkowym stycznym do łuku φ = ctte i r = ctte;
- Uφ jest wektorem jednostkowym stycznym do łuku r = ctte i θ = ctte.
Wektor położenia punktu w przestrzeni we współrzędnych sferycznych jest zapisywany w następujący sposób:
r = r Ur
Ale nieskończenie mała zmienność lub przemieszczenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej, w tych współrzędnych, wyraża się następującą relacją wektorową:
rer = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) dφ Uφ
Wreszcie nieskończenie mała objętość dV we współrzędnych sferycznych jest zapisana w następujący sposób:
dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ
Zależności te są bardzo przydatne do obliczania całek prostych i objętościowych w sytuacjach fizycznych, które mają symetrię sferyczną..
Przez współrzędne geograficzne rozumie się te, które służą do lokalizowania miejsc na powierzchni Ziemi. Ten system wykorzystuje współrzędne szerokości i długości geograficznej do określenia położenia na powierzchni Ziemi..
W układzie współrzędnych geograficznych przyjmuje się, że powierzchnia Ziemi jest sferyczna o promieniu Rt, chociaż wiadomo, że jest spłaszczona na biegunach, i rozważa się zestaw wyimaginowanych linii zwanych równoległościami i południkami.
Szerokość geograficzna β to kąt utworzony przez promień, który zaczyna się od środka Ziemi do punktu, który chcesz ustawić. Jest mierzona od płaszczyzny równikowej, jak pokazano na rysunku 2. Z drugiej strony, długość geograficzna α to kąt, jaki tworzy południk punktu, który jest lokalizowany w stosunku do południka zerowego (znanego jako południk Greenwich).
Szerokość geograficzna może być równa szerokości geograficznej północnej lub południowej, w zależności od tego, czy lokalizowane miejsce znajduje się na półkuli północnej, czy południowej. Podobnie długość geograficzna może być zachodnia lub wschodnia, w zależności od tego, czy położenie jest na zachód czy na wschód od południka zerowego..
Aby otrzymać te wzory, pierwszą rzeczą jest ustalenie układu współrzędnych. Płaszczyzna XY jest wybrana tak, aby pokrywać się z płaszczyzną równikową, przy czym dodatnia półosi X to ta, która biegnie od środka Ziemi i przechodzi przez południk zerowy. Z kolei oś Y przechodzi przez południk 90 ° E. Powierzchnia ziemi ma promień Rt.
W tym układzie współrzędnych transformacje z geograficznego do sferycznego wyglądają następująco:
αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)
αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)
αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)
αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)
Współrzędne geograficzne Palma de Mallorca (Hiszpania) to:
Długość geograficzna wschodnia 38,847º i szerokość geograficzna północna 39,570º. Aby określić sferyczne współrzędne odpowiadające Palma de Mallorca, stosuje się pierwszy ze wzorów wzorów z poprzedniej sekcji:
38 847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)
Zatem sferyczne współrzędne to:
Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)
W poprzedniej odpowiedzi przyjęliśmy r równe średniemu promieniu Ziemi.
Wiedząc, że Falklandy (Malwiny) mają współrzędne geograficzne 59ºO 51,75ºS, określ odpowiednie współrzędne biegunowe. Pamiętaj, że oś X biegnie od środka Ziemi do południka 0º i na płaszczyźnie równikowej; oś Y również w płaszczyźnie równikowej i przechodząca przez południk 90 ° Zachodni; wreszcie oś Z na osi obrotu Ziemi w kierunku południe-północ.
Aby znaleźć odpowiednie współrzędne sferyczne, używamy wzorów przedstawionych w poprzedniej sekcji:
59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º), czyli
Falklandy: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)
Znajdź współrzędne kartezjańskie Palma de Mallorca w kartezjańskim układzie odniesienia XYZ pokazanym na rysunku 2.
Rozwiązanie: Wcześniej, w przykładzie 1, współrzędne sferyczne otrzymano, zaczynając od współrzędnych geograficznych Palma de Mallorca. Zatem przedstawione powyżej wzory mogą być użyte do przejścia od sferycznego do kartezjańskiego:
x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)
y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)
z = 6371 km Cos (50,43º)
Wykonując odpowiednie obliczenia mamy:
Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)
Znajdź współrzędne kartezjańskie Falklandów w kartezjańskim układzie odniesienia XYZ pokazanym na rysunku 2.
Rozwiązanie: Wcześniej, w przykładzie 2, współrzędne sferyczne uzyskano, zaczynając od współrzędnych geograficznych Falklandów. Zatem przedstawione powyżej wzory można wykorzystać do przejścia od sferycznego do kartezjańskiego:
x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)
y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)
z = 6371 km Cos (141,75º)
Wykonując odpowiednie obliczenia, otrzymujemy:
Falklandy: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)
Jeszcze bez komentarzy