To się nazywa nierówność trójkąta do własności dwóch liczb rzeczywistych, która polega na tym, że wartość bezwzględna ich sumy jest zawsze mniejsza lub równa sumie ich wartości bezwzględnych. Ta właściwość jest również znana jako nierówność Minkowskiego lub nierówność trójkątna.
Ta własność liczb nazywana jest nierównością trójkątną, ponieważ w trójkątach zdarza się, że długość jednego boku jest zawsze mniejsza lub równa sumie dwóch pozostałych, chociaż nierówność ta nie zawsze dotyczy obszaru trójkątów..
Istnieje kilka dowodów na trójkątną nierówność w liczbach rzeczywistych, ale w tym przypadku wybierzemy jeden na podstawie właściwości wartości bezwzględnej i dwumianu do kwadratu.
Twierdzenie: Dla każdej pary liczb do Y b odnosząc się do liczb rzeczywistych, musi:
| a + b | ≤ | do | + | b |
Indeks artykułów
Rozpoczynamy od rozważenia pierwszego elementu nierówności, który zostanie podniesiony do kwadratu:
| a + b | ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 (Równanie 1)
W poprzednim kroku wykorzystaliśmy właściwość, że każda liczba do kwadratu jest równa bezwzględnej wartości tej liczby do kwadratu, czyli: | x | ^ 2 = x ^ 2. Wykorzystano również rozwinięcie kwadratu dwumianu.
Wszystkie liczby x jest mniejsza lub równa swojej wartości bezwzględnej. Jeśli liczba jest dodatnia, jest równa, ale jeśli liczba jest ujemna, zawsze będzie mniejsza niż liczba dodatnia. W tym przypadku jest to jego własna wartość bezwzględna, to znaczy, że można to stwierdzić x ≤ | x |.
Produkt (a b) jest liczbą, dlatego stosuje się, że (a b) ≤ | a b |. Kiedy ta właściwość zostanie zastosowana do (Równanie 1), otrzymamy:
| a + b | ^ 2 = a ^ 2 + 2 (a b) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | a b | + b ^ 2 (równanie 2)
Biorąc to pod uwagę | a b | = | a || b | (Równanie 2) można zapisać następująco:
| a + b | ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | a || b | + b ^ 2 (równanie 3)
Ale ponieważ powiedzieliśmy wcześniej, że kwadrat liczby jest równy bezwzględnej wartości kwadratu liczby, to równanie 3 można przepisać w następujący sposób:
| a + b | ^ 2 ≤ | a | ^ 2 + 2 | a | | b | + | b | ^ 2 (równanie 4)
W drugim członie nierówności rozpoznawany jest niezwykły produkt, który po zastosowaniu prowadzi do:
| a + b | ^ 2 ≤ (| a | + | b |) ^ 2 (Równanie 5)
W poprzednim wyrażeniu należy zauważyć, że wartości, które mają być podniesione do kwadratu w obu członach nierówności są dodatnie, dlatego należy również upewnić się, że:
| a + b | ≤ (| a | + | b |) (równanie 6)
Powyższe wyrażenie jest dokładnie tym, co chciałem zademonstrować.
Następnie sprawdzimy trójkątną nierówność na kilku przykładach.
Bierzemy wartość a = 2 i wartość b = 5, czyli obie liczby dodatnie i sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.
| 2 + 5 | ≤ | 2 | + | 5 |
| 7 | ≤ | 2 | + | 5 |
7 ≤ 2+ 5
Równość jest weryfikowana, dlatego twierdzenie o nierówności trójkąta zostało spełnione.
Wybieramy następujące wartości a = 2 i b = -5, czyli liczbę dodatnią, a drugą ujemną, sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.
| 2 - 5 | ≤ | 2 | + | -5 |
| -3 | ≤ | 2 | + | -5 |
3 ≤ 2 + 5
Nierówność jest spełniona, dlatego twierdzenie o nierówności trójkątnej zostało zweryfikowane.
Bierzemy wartość a = -2 i wartość b = 5, czyli liczbę ujemną, a drugą dodatnią, sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.
| -2 + 5 | ≤ | -2 | + | 5 |
| 3 | ≤ | -2 | + | 5 |
3 ≤ 2 + 5
Nierówność została zweryfikowana, dlatego twierdzenie zostało spełnione.
Wybieramy następujące wartości a = -2 ib = -5, czyli obie liczby ujemne i sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.
| -2 - 5 | ≤ | -2 | + | -5 |
| -7 | ≤ | -2 | + | -5 |
7 ≤ 2+ 5
Równość jest zweryfikowana, dlatego twierdzenie Minkowskiego o nierówności zostało spełnione.
Bierzemy wartość a = 0 i wartość b = 5, czyli liczbę zero i drugą dodatnią, a następnie sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.
| 0 + 5 | ≤ | 0 | + | 5 |
| 5 | ≤ | 0 | + | 5 |
5 ≤ 0+ 5
Równość jest spełniona, dlatego twierdzenie o nierówności trójkąta zostało zweryfikowane.
Bierzemy wartość a = 0 i wartość b = -7, czyli liczbę zero i drugą dodatnią, a następnie sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.
| 0 - 7 | ≤ | 0 | + | -7 |
| -7 | ≤ | 0 | + | -7 |
7 ≤ 0+ 7
Równość jest weryfikowana, dlatego trójkątne twierdzenie o nierówności zostało spełnione.
W kolejnych ćwiczeniach przedstaw geometrycznie nierówność trójkąta lub nierówność Minkowskiego dla liczb a i b.
Liczba a będzie reprezentowana jako odcinek na osi X, jej początek O pokrywa się z zerem osi X, a drugi koniec segmentu (w punkcie P) będzie w kierunku dodatnim (na prawo) Oś X, jeśli a> 0, ale jeśli a < 0 estará hacia la dirección negativa del eje X, tantas unidades como indique su valor absoluto.
Podobnie, liczba b będzie reprezentowana jako odcinek, którego początek znajduje się w punkcie P. Druga skrajność, to znaczy punkt Q będzie na prawo od P, jeśli b jest dodatnie (b> 0), a punkt Q będzie | b | jednostki na lewo od P, jeśli b<0.
Narysuj nierówność trójkąta dla a = 5 i b = 3 | a + b | ≤ | do | + | b |, istota c = a + b.
Narysuj trójkątną nierówność dla a = 5 i b = -3.
| a + b | ≤ | do | + | b |, istota c = a + b.
Graficznie pokaż nierówność trójkąta dla a = -5 i b = 3.
| a + b | ≤ | do | + | b |, istota c = a + b.
Graficznie skonstruuj trójkątną nierówność dla a = -5 i b = -3.
| a + b | ≤ | do | + | b |, istota c = a + b.
Jeszcze bez komentarzy