Dynamika układu cząstek przykłady, ćwiczenia

Plik dynamika układu cząstek Polega na zastosowaniu praw dynamiki Newtona do zbioru cząstek, które mogą być dyskretne (cząstki można policzyć) lub stanowić część rozciągniętego obiektu, w tym przypadku układ jest ciągły.

Aby wyjaśnić ruch układu cząstek, niewygodne jest analizowanie każdej z nich osobno i sprawdzanie, jakie siły na nią działają. Zamiast tego definiowany jest reprezentatywny punkt zbioru, zwany Centrum masy.

Opis ruchu środka masy daje bardzo dokładny obraz ruchu całości, pozwala również zastosować prawa Newtona w sposób analogiczny do tego, gdy obiekt jest traktowany jako bezwymiarowa cząstka.

Ten najnowszy model o nazwie model cząstek, Sprawdza się przy opisywaniu tłumaczeń, a także wtedy, gdy nie trzeba brać pod uwagę wymiarów przedmiotu. Ale zwykłe obiekty mają rozmiar i jeśli mają również ruch obrotowy, należy wziąć pod uwagę punkty, w których działają siły.

Indeks artykułów

• 1 Przykłady
  • 1.1 Ziemia i Księżyc
  • 1.2 Rozbudowane obiekty
• 2 Środek masy układu cząstek
  • Ruch 2,1 CM
  • 2.2 Siła na CM
• 3 Ćwiczenie rozwiązane
  • 3.1 Rozwiązanie a
  • 3.2 Rozwiązanie b
  • 3.3 Rozwiązanie c
• 4 Odnośniki

Przykłady

Ziemia i Księżyc

Zbiór dyskretnych cząstek m₁, m_dwa, m₃... który ostatecznie porusza się w odniesieniu do początku układu współrzędnych, z powodu jakiejś wypadkowej siły działającej na nie, jest dobrym przykładem układu cząstek.

Ziemię można uznać za jedną cząstkę, a Księżyc za drugą, wtedy obie tworzą układ dwóch cząstek pod działaniem siły grawitacji Słońca..

Rozszerzone obiekty

Człowieka, zwierzę lub dowolny przedmiot w środowisku również można uznać za układ cząstek, tyle że są one tak małe, że nie można ich policzyć pojedynczo. Jest to system ciągły, ale biorąc pod uwagę pewne względy, jego traktowanie jest takie samo, jak w przypadku systemu dyskretnego.

Poniżej znajdują się szczegóły.

Środek masy układu cząstek

Aby rozpocząć badanie układu cząstek, musimy znaleźć środek masy (CM), czyli punkt, w którym skupiona jest cała masa układu..

Dla systemu dyskretnego z rysunku 1, z n cząstki, każda ma wektor położenia skierowany od początku O układu współrzędnych do punktu P (x, y, z), w którym znajduje się cząstka. Te wektory są oznaczone jako r₁, r_dwa, r₃... r_n.

Współrzędne CM są obliczane za pomocą następujących równań:

Gdzie każda z mas zbioru jest reprezentowana jako m₁, m_dwa, m₃... m_n. Zwróć uwagę, że suma ∑ m_ja równa się całkowitej masie M zespołu. Jeśli system jest ciągły, sumy są zastępowane całkami.

Każdy z prostopadłych kierunków jest reprezentowany przez wektory jednostkowe ja, jot Y k, stąd wektor pozycji CM, oznaczony r_CM, można wyrazić przez:

r_CM = x_CM ja + Y_CM jot + z_CM k

Ruch CM

Gdy znane jest położenie środka masy, obowiązują znane równania ruchu. Prędkość CM jest pierwszą pochodną pozycji względem czasu:

W tym przypadku system ma całkowitą dynamikę P. która jest obliczana jako iloczyn całkowitej masy układu i prędkości środka masy:

P. = M ∙v_CM

Alternatywnie całkowity pęd systemu można obliczyć bezpośrednio:

P. = m₁v₁ + m_dwav_dwa + m₃v₃ +… = ∑ m_ja v_ja

Podczas gdy przyspieszenie CM jest pochodną prędkości:

Siła na CM

Siły działające na układ cząstek mogą być:

• Siły wewnętrzne, wynikające z interakcji między tymi samymi cząstkami.
• Siły zewnętrzne, wywołane przez czynniki zewnętrzne w stosunku do systemu.

Ponieważ siły wewnętrzne są przedstawione w parach, o jednakowej wielkości i kierunku, ale w przeciwnych kierunkach, zgodnie z trzecim prawem Newtona, prawdą jest, że:

∑ fa_int = 0

Dlatego siły wewnętrzne nie zmieniają ruchu całości, ale są bardzo ważne dla określenia energii wewnętrznej..

Jeśli układ jest izolowany i nie ma sił zewnętrznych, zgodnie z pierwszą zasadą Newtona środek masy znajduje się w spoczynku lub porusza się jednostajnym ruchem prostoliniowym. W przeciwnym razie środek masy doznaje przyspieszenia wyrażonego przez:

∑ fa_wew = M ∙do_CM

Gdzie M jest całkowitą masą systemu. Powyższe równanie można zapisać w ten sposób:

A to oznacza, że ​​siła zewnętrzna jest równoważna czasowej zmienności pędu, innemu sposobowi wyrażenia drugiego prawa Newtona i tym samym, którego użył słynny angielski fizyk w swojej książce Zasada.

Ćwiczenie rozwiązane

Środek masy układu 2 cząstek znajduje się w pewnym momencie na osi x w położeniu x = 2,0 m i porusza się z prędkością 5,0 m / sw tym samym kierunku i w kierunku dodatnim. Jeżeli jedna z cząstek jest źródłem, a druga o masie 0,1 kg spoczywa przy x = 8,0 m, oblicz:

a) Masa cząstki, która jest źródłem.

b) Wielkość ruchu systemu

c) Jaka jest prędkość cząstki u źródła?

Rozwiązanie

Z równania określającego położenie środka masy:

r_CM = x_CM ja + Y_CM jot + z_CM k = 2,0 m ja

Ponieważ CM ma tylko współrzędną x, używane jest tylko pierwsze równanie z trójki podanej poprzednio:

Teraz współrzędne są podstawione, jeśli cząstka na początku jest oznaczona jako numer 1, a druga jako numer 2, dane liczbowe są następujące:

x₁ = 0 m, x_dwa = 8,0 m, m_dwa = 0,1 kg, x_CM = 2,0 m

Pozostały:

Rozwiązanie b

Wielkość ruchu systemu oblicza się ze wzoru:

P. = M ∙v_CM

Całkowita masa M jest równa:

M = 0,3 kg + 0,1 kg = 0,4 kg

W związku z tym:

P. = 0,4 kg ∙ 5,0 m / s ja = 2 kg.m / s ja

Rozwiązanie c

Z równania P. z układu dwóch cząstek, to usuwa v₁, ponieważ inne dane są znane, ponieważ stwierdzenie mówi, że cząstka 2 jest w spoczynku, dlatego:

v_dwa = 0 

Y P. po prostu wygląda tak:

P. = m₁v₁

v₁ = P. / m₁ = 2 kg.m / s ja / 0,3 kg = 6,67 m / s ja

Bibliografia

1. Duke University. Systemy cząstek. Odzyskany z: webhome.phy.duke.edu.
2. Rex, A. 2011. Podstawy fizyki. osoba.
3. Sears, Zemansky. 2016. Fizyka uniwersytecka z fizyką współczesną. 14. Ed. Tom 1. Pearson.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. 7th. Ed. Cengage Learning.
5. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. Wydanie 5, Tom 1. Wersja redakcyjna Reverté.