Plik rozkład dwumianowy jest rozkładem prawdopodobieństwa, na podstawie którego obliczane jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń, pod warunkiem że występują one w ramach dwóch modalności: sukcesu lub porażki.
Te określenia (sukces lub porażka) są całkowicie arbitralne, ponieważ niekoniecznie oznaczają dobre lub złe rzeczy. W tym artykule wskażemy matematyczną postać rozkładu dwumianowego, a następnie szczegółowo wyjaśnimy znaczenie każdego terminu.
Indeks artykułów
Równanie wygląda następująco:
Gdy x = 0, 1, 2, 3… .n, gdzie:
- P (x) to prawdopodobieństwo posiadania dokładnie x sukcesy między n próby lub próby.
- x jest zmienną opisującą interesujące zjawisko, odpowiadającą liczbie sukcesów.
- n liczba prób
- p to prawdopodobieństwo sukcesu w 1 próbie
- co jest zatem prawdopodobieństwem niepowodzenia w 1 próbie q = 1 - p
Wykrzyknik „!” jest używany do notacji silni, więc:
0! = 1
1! = 1
dwa! = 2,1 = 2
3! = 3,2,1 = 6
4! = 4,3.2,1 = 24
5! = 5,4.3.2,1 = 120
I tak dalej.
Rozkład dwumianowy jest bardzo odpowiedni do opisywania sytuacji, w których zdarzenie występuje lub nie występuje. Jeśli tak się stanie, jest to sukces, a jeśli nie, to porażka. Ponadto prawdopodobieństwo sukcesu zawsze musi pozostać stałe..
Istnieją zjawiska, które pasują do tych warunków, na przykład rzut monetą. W tym przypadku można powiedzieć, że „sukces” to uzyskanie twarzy. Prawdopodobieństwo wynosi ½ i nie zmienia się, niezależnie od tego, ile razy moneta zostanie rzucona..
Rzut uczciwą kostką jest kolejnym dobrym przykładem, podobnie jak podzielenie określonej produkcji na dobre i wadliwe części oraz uzyskanie czerwonego zamiast czarnego podczas kręcenia kołem ruletki..
Możemy podsumować charakterystykę rozkładu dwumianowego w następujący sposób:
- Każde zdarzenie lub obserwacja pochodzi z nieskończonej populacji bez zastępowania lub z populacji skończonej z wymianą.
- Rozważane są tylko dwie wykluczające się opcje: sukces lub porażka, jak wyjaśniono na początku.
- Prawdopodobieństwo sukcesu musi być stałe w każdej dokonywanej obserwacji.
- Wynik jakiegokolwiek zdarzenia jest niezależny od jakiegokolwiek innego zdarzenia.
- Średnia z rozkładu dwumianowego wynosi n.p
- Odchylenie standardowe wynosi:
Weźmy proste zdarzenie, którym może być zdobycie 2 reszek 5 przez rzucenie uczciwą kostką 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 3 rzutach wypadną 2 orły po 5?
Można to osiągnąć na kilka sposobów, na przykład:
- Pierwsze dwa rzuty to 5, a ostatni nie.
- Pierwsza i ostatnia to 5, ale nie środkowa.
- Ostatnie dwa rzuty to 5, a pierwszy nie.
Weźmy pierwszą sekwencję opisaną jako przykład i obliczmy jej prawdopodobieństwo wystąpienia. Prawdopodobieństwo uzyskania 5 orłów w pierwszym rzucie wynosi 1/6, a także w drugim rzucie, ponieważ są to zdarzenia niezależne.
Prawdopodobieństwo uzyskania innej głowy innej niż 5 w ostatnim rzucie wynosi 1 - 1/6 = 5/6. Dlatego prawdopodobieństwo, że ta sekwencja wyjdzie, jest iloczynem prawdopodobieństw:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
A co z pozostałymi dwiema sekwencjami? Mają to samo prawdopodobieństwo: 0,023.
A ponieważ mamy w sumie 3 udane sekwencje, całkowite prawdopodobieństwo będzie wynosić:
P (2 reszki, 5 w 3 rzutach) = Liczba możliwych sekwencji x prawdopodobieństwo określonej sekwencji = 3 x 0,023 = 0,069.
Teraz spróbujmy dwumianu, w którym jest to zrobione:
x = 2 (2 reszki po 5 w 3 rzutach to sukces)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Istnieje kilka sposobów rozwiązania ćwiczeń z rozkładem dwumianowym. Jak widzieliśmy, najprostszy można rozwiązać, policząc liczbę udanych sekwencji, a następnie mnożąc przez odpowiednie prawdopodobieństwa.
Jednak gdy jest wiele opcji, liczby stają się większe i lepiej jest użyć wzoru.
A jeśli liczby są jeszcze wyższe, istnieją tabele rozkładu dwumianowego. Jednak są one teraz przestarzałe na korzyść wielu rodzajów kalkulatorów, które ułatwiają obliczenia..
Para ma dzieci z prawdopodobieństwem 0,25 grupy krwi O. Para ma łącznie 5 dzieci. Odpowiedź: a) Czy ta sytuacja pasuje do rozkładu dwumianowego? B) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 z nich są typu O?
a) Rozkład dwumianowy jest dostosowywany, ponieważ spełnia warunki ustalone w poprzednich rozdziałach. Są dwie możliwości: posiadanie krwi grupy 0 to „sukces”, a jej brak jest „porażką”, a wszystkie obserwacje są niezależne..
b) Mamy rozkład dwumianowy:
x = 2 (zdobądź 2 dzieci z krwią grupy O)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
Jedna uczelnia twierdzi, że 80% studentów absolwentów drużyny koszykówki. Dochodzenie bada akademickie osiągnięcia 20 studentów należących do wspomnianej drużyny koszykówki, którzy jakiś czas temu zapisali się na uniwersytet.
Z tych 20 studentów 11 ukończyło studia, a 9 zrezygnowało.
Jeśli twierdzenie uniwersytetu jest prawdziwe, liczba studentów grających w koszykówkę i absolwentów na 20 powinna mieć rozkład dwumianowy z n = 20 Y p = 0,8. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 11 z 20 graczy ukończy szkołę??
W rozkładzie dwumianowym:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
Naukowcy przeprowadzili badanie, aby ustalić, czy istnieją znaczące różnice w odsetku absolwentów między studentami medycyny przyjmowanymi w ramach specjalnych programów a studentami medycyny przyjmowanymi na podstawie zwykłych kryteriów przyjęć..
Odsetek absolwentów wyniósł 94% dla studentów medycyny przyjętych w ramach specjalnych programów (na podstawie danych z Journal of American Medical Association).
Jeśli 10 studentów ze specjalnych programów zostanie wybranych losowo, znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej 9 z nich ukończyło studia.
b) Czy byłoby czymś niezwykłym wybranie losowo 10 studentów ze specjalnych programów i stwierdzenie, że tylko 7 z nich ukończyło studia??
Prawdopodobieństwo, że student przyjęty w ramach specjalnego programu ukończy szkołę, wynosi 94/100 = 0,94. Są wybrani n = 10 studentów ze specjalnych programów i chcesz dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej 9 z nich ukończy naukę.
Następujące wartości są następnie podstawiane w rozkładzie dwumianowym:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
Jeszcze bez komentarzy