Dwa wydarzenia są niezależne, gdy na prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z nich nie ma wpływu fakt, że drugie wystąpi - lub nie wystąpi -, biorąc pod uwagę, że zdarzenia te występują losowo.
Ta okoliczność występuje, gdy proces, który generuje wynik zdarzenia 1, nie zmienia w żaden sposób prawdopodobieństwa możliwych skutków zdarzenia 2. Ale jeśli tak się nie stanie, mówi się, że zdarzenia są zależne..
Sytuacja niezależnego wydarzenia jest następująca: Załóżmy, że wyrzucono dwie sześciościenne kości, jedną niebieską, a drugą różową. Prawdopodobieństwo, że 1 wypadnie na niebieskiej kości jest niezależne od prawdopodobieństwa, że 1 wypadnie - lub nie - na różowej kości..
Innym przypadkiem dwóch niezależnych wydarzeń jest rzut monetą dwa razy z rzędu. Wynik pierwszego rzutu nie będzie zależał od wyniku drugiego i odwrotnie.
Indeks artykułów
Aby sprawdzić, czy dwa zdarzenia są niezależne, zdefiniujemy pojęcie warunkowego prawdopodobieństwa wystąpienia jednego zdarzenia względem drugiego. W tym celu konieczne jest rozróżnienie między wydarzeniami ekskluzywnymi a imprezami integracyjnymi:
Dwa zdarzenia są wykluczające się, jeśli możliwe wartości lub elementy zdarzenia A nie mają nic wspólnego z wartościami lub elementami zdarzenia B..
Dlatego w dwóch wyjątkowych zdarzeniach zbiorem przecięcia A z B jest próżnia:
Z wyłączeniem wydarzeń: A∩B = Ø
Wręcz przeciwnie, jeśli zdarzenia są inkluzywne, może się zdarzyć, że rezultat zdarzenia A będzie zbieżny z rezultatem innego B, przy czym A i B są różnymi zdarzeniami. W tym przypadku:
Imprezy integracyjne: A∩B ≠ Ø
To prowadzi nas do zdefiniowania warunkowego prawdopodobieństwa wystąpienia dwóch inkluzywnych zdarzeń, innymi słowy, prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A, ilekroć wystąpi zdarzenie B:
P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)
Dlatego prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo, że wystąpi A, a B podzielone przez prawdopodobieństwo, że wystąpi B. Prawdopodobieństwo, że B wystąpi warunkowo, można również zdefiniować:
P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)
Następnie podamy trzy kryteria, aby wiedzieć, czy dwa zdarzenia są niezależne. Wystarczy, że jeden z trzech zostanie spełniony, aby wykazać niezależność wydarzeń.
1. - Jeżeli prawdopodobieństwo, że A wystąpi, gdy wystąpi B, jest równe prawdopodobieństwu A, to są to zdarzenia niezależne:
P (A¦B) = P (A) => A jest niezależne od B.
2.- Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia B przy danym A jest równe prawdopodobieństwu B, to są zdarzenia niezależne:
P (B¦A) = P (B) => B jest niezależne od A
3.- Jeżeli prawdopodobieństwo zajścia A i B jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa zajścia A i prawdopodobieństwa zajścia B, to są one zdarzeniami niezależnymi. Odwrotna sytuacja jest również prawdą.
P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A i B to niezależne wydarzenia.
Porównuje się gumowe podeszwy produkowane przez dwóch różnych dostawców. Próbki każdego producenta są poddawane kilku testom, na podstawie których stwierdza się, czy są one zgodne ze specyfikacjami.
Wynikowe podsumowanie 252 próbek przedstawia się następująco:
Producent 1; 160 spełnia specyfikacje; 8 nie spełniają specyfikacji.
Producent 2; 80 spełnia specyfikacje; 4 nie spełniają specyfikacji.
Zdarzenie A: „że próbka pochodzi od producenta 1”.
Zdarzenie B: „czy próbka spełnia specyfikacje”.
Chcesz wiedzieć, czy te zdarzenia A i B są niezależne, czy nie, do których stosujemy jedno z trzech kryteriów wymienionych w poprzedniej sekcji.
Kryterium: P (B¦A) = P (B) => B jest niezależne od A.
P (B) = 240/252 = 0,9523
P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523
Wniosek: zdarzenia A i B są niezależne.
Załóżmy, że zdarzenie C: „próbka pochodzi od producenta 2”
Czy wydarzenie B będzie niezależne od wydarzenia C.?
Stosujemy jedno z kryteriów.
Kryterium: P (B¦C) = P (B) => B jest niezależne od C.
P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)
Dlatego na podstawie dostępnych danych prawdopodobieństwo, że losowo wybrana gumowa podeszwa spełnia specyfikacje, jest niezależne od producenta..
Spójrzmy na poniższy przykład, aby rozróżnić zdarzenia osoby na utrzymaniu i niezależny.
Mamy worek z dwiema kulkami z białej czekolady i dwiema kulkami z czarnej czekolady. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia bili białej lub czarnej jest równe przy pierwszym podejściu.
Załóżmy, że wynikiem była bila biała. Jeśli wylosowana bila zostanie umieszczona w worku, sytuacja się powtórzy: dwie bile białe i dwie bile czarne.
Zatem w drugim zdarzeniu lub remisie szanse na wyciągnięcie białej bili lub czarnej bili są identyczne jak za pierwszym razem. Są więc niezależnymi wydarzeniami.
Ale jeśli biała bila wylosowana w pierwszym zdarzeniu nie zostanie wymieniona, ponieważ ją zjedliśmy, w drugim losowaniu są większe szanse na wylosowanie czarnej bili. Prawdopodobieństwo, że w drugiej ekstrakcji ponownie zostanie uzyskana biel, jest inne niż w przypadku pierwszego zdarzenia i jest uwarunkowane poprzednim wynikiem.
W pudełku umieszczamy 10 kulek z rysunku 1, z których 2 są zielone, 4 niebieskie, a 4 białe. Dwa kulki zostaną wybrane losowo, jeden pierwszy i jeden później. Prosi o znalezienie pliku
prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie jest niebieski, pod następującymi warunkami:
a) Z wymianą, czyli odłożeniem pierwszej kulki przed drugą selekcją do pudełka. Wskaż, czy są to zdarzenia niezależne, czy zależne.
b) Bez wymiany, w taki sposób, że pierwszy wydobywany marmur jest wyjęty z pudełka podczas dokonywania drugiego wyboru. Podobnie należy wskazać, czy są to zdarzenia zależne, czy niezależne.
Obliczamy prawdopodobieństwo, że pierwsza wydobywana kulka nie jest niebieska, czyli 1 minus prawdopodobieństwo, że jest niebieska P (A), lub bezpośrednio, że nie jest niebieska, ponieważ wyszła zielona lub biała:
P (A) = 4/10 = 2/5
P (nie bądź niebieski) = 1 - (2/5) = 3/5
No cóż:
P (zielony lub biały) = 6/10 = 3/5.
Jeśli odzyskany marmur zostanie zwrócony, wszystko będzie jak poprzednio. W tym drugim wydobyciu istnieje również prawdopodobieństwo 3/5, że wydobywany marmur nie jest niebieski.
P (nie niebieski, nie niebieski) = (3/5). (3/5) = 9/25.
Zdarzenia są niezależne, ponieważ wydobytą kulkę wróciła do pudełka i pierwsze zdarzenie nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego.
Przy pierwszym wyodrębnieniu postępuj jak w poprzedniej sekcji. Prawdopodobieństwo, że nie jest niebieski, wynosi 3/5.
Do drugiej ekstrakcji mamy w woreczku 9 kulek, ponieważ pierwsza nie wróciła, ale nie była niebieska, dlatego w woreczku jest 9 kulek i 5 nie niebieskich:
P (zielony lub biały) = 5/9.
P (żaden nie jest niebieski) = P (najpierw nie jest niebieski). P (druga nie niebieska / pierwsza nie niebieska) = (3/5). (5/9) = 1/3
W tym przypadku nie są to zdarzenia niezależne, ponieważ pierwsze zdarzenie warunkuje drugie..
Sklep ma 15 koszul w trzech rozmiarach: 3 małe, 6 średnich i 6 dużych. 2 koszulki są wybierane losowo.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wybrane koszulki są małe, jeśli jedna zostanie zabrana jako pierwsza i bez wymiany w partii kolejna?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wybrane koszulki są małe, jeśli jedna jest wylosowana jako pierwsza, jest wymieniana w partii, a druga jest losowana?
Oto dwa wydarzenia:
Wydarzenie A: pierwsza wybrana koszulka jest mała
Wydarzenie B: druga wybrana koszulka jest mała
Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi: P (A) = 3/15
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B wynosi: P (B) = 2/14, ponieważ koszula została już zdjęta (zostało ich 14), ale dodatkowo chcemy, aby zdarzenie A się spełniło, pierwsza zdjęta koszulka musi być mała i dlatego pozostało tyle 2 małych.
Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że A i B będą iloczynem prawdopodobieństw, wynosi:
P (A i B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029
Dlatego prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A i B jest równe iloczynowi zdarzenia A pomnożone przez prawdopodobieństwo, że zdarzenie B wystąpi, jeżeli wystąpi zdarzenie A..
Należy zauważyć że:
P (B¦A) = 2/14
Prawdopodobieństwo, że zdarzenie B wystąpi niezależnie od tego, czy wystąpi zdarzenie A, będzie wynosić:
P (B) = (2/14), jeśli pierwszy był mały, lub P (B) = 3/14, jeśli pierwszy nie był mały.
Ogólnie można stwierdzić, co następuje:
P (B¦A) nie jest równe P (B) => B nie jest niezależne od A
Ponownie mamy dwa wydarzenia:
Wydarzenie A: pierwsza wybrana koszulka jest mała
Wydarzenie B: druga wybrana koszulka jest mała
P (A) = 3/15
Pamiętaj, że bez względu na wynik, koszula wylosowana z partii jest wymieniana i ponownie losowana jest koszula. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B, jeżeli wystąpiło zdarzenie A, wynosi:
P (B¦A) = 3/15
Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń A i B będzie wynosić:
P (A i B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04
Zauważ, że:
P (B¦A) jest równe P (B) => B jest niezależne od A.
Rozważ dwa niezależne zdarzenia A i B. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A wynosi 0,2, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B wynosi 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wystąpią oba zdarzenia??
Wiedząc, że zdarzenia są niezależne, wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń jest iloczynem prawdopodobieństw indywidualnych. Mianowicie,
P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Zauważ, że jest to prawdopodobieństwo znacznie mniejsze niż prawdopodobieństwo, że każde zdarzenie wystąpi niezależnie od wyniku drugiego. Innymi słowy, znacznie niższe niż indywidualne kursy.
Jeszcze bez komentarzy