Przypadki i przykłady ułamków cząstkowych

3695
Alexander Pearson

Plik frakcje częściowe są ułamkami utworzonymi przez wielomiany, w których mianownik może być wielomianem liniowym lub kwadratowym, a ponadto można go podnieść do pewnej potęgi. Czasami, gdy mamy funkcje wymierne, bardzo przydatne jest przepisanie tej funkcji jako sumy ułamków częściowych lub ułamków prostych..

Dzieje się tak, ponieważ w ten sposób możemy lepiej manipulować tymi funkcjami, szczególnie w przypadkach, gdy konieczne jest zintegrowanie tej aplikacji. Funkcja wymierna to po prostu iloraz między dwoma wielomianami i mogą one być właściwe lub niewłaściwe.

Jeśli stopień wielomianu licznika jest mniejszy niż mianownik, nazywa się to racjonalną funkcją właściwą; w przeciwnym razie nazywa się to niewłaściwą funkcją racjonalną.

Indeks artykułów

  • 1 Definicja
  • 2 przypadki
    • 2.1 Przypadek 1
    • 2.2 Przypadek 2
    • 2.3 Przypadek 3
    • 2.4 Przypadek 4
  • 3 Aplikacje
    • 3.1 Rachunek całkowy
    • 3.2 Prawo akcji masowej
    • 3.3 Równania różniczkowe: równanie logistyczne
  • 4 Odnośniki

Definicja

Gdy mamy niewłaściwą funkcję wymierną, możemy podzielić wielomian licznika przez wielomian mianownika iw ten sposób przepisać ułamek p (x) / q (x), zgodnie z algorytmem dzielenia jako t (x) + s (x) ) / q (x), gdzie t (x) jest wielomianem, a s (x) / q (x) jest właściwą funkcją wymierną.

Ułamek częściowy to dowolna właściwa funkcja wielomianów, której mianownik ma postać (ax + b)n o (topórdwa+ bx + c)n, jeśli oś wielomianudwa + bx + c nie ma rzeczywistych pierwiastków, a n jest liczbą naturalną.

Aby przepisać funkcję wymierną w ułamkach cząstkowych, pierwszą rzeczą do zrobienia jest rozłożenie mianownika q (x) na iloczyn czynników liniowych i / lub kwadratowych. Po wykonaniu tej czynności przystępujemy do określania częściowych ułamków, które zależą od natury tych czynników..

Przypadki

Rozważamy osobno kilka przypadków.

Przypadek 1

Wszystkie współczynniki q (x) są liniowe i żaden się nie powtarza. Mianowicie:

q (x) = (a1x + b1) (dodwax + bdwa)… (dosx + bs)

Żaden czynnik liniowy nie jest identyczny z innym. W takim przypadku napiszemy:

p (x) / q (x) = A1/(do1x + b1) + Adwa/(dodwax + bdwa)… + As/(dosx + bs).

Dokąd1,DOdwa,… ,DOs to stałe, które chcesz znaleźć.

Przykład

Chcemy rozłożyć funkcję wymierną na proste ułamki:

(x - 1) / (x3+3xdwa+2x)

Przechodzimy do czynnika mianownika, czyli:

x3 + 3xdwa + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Później:

(x - 1) / (x3+3xdwa+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Stosując najmniejszą wspólną wielokrotność można uzyskać, że:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Chcemy uzyskać wartości stałych A, B i C, które można znaleźć, podstawiając pierwiastki anulujące każdy z wyrazów. Podstawiając 0 za x otrzymujemy:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Zastępując - 1 za x mamy:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Zastępując - 2 za x mamy:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2 ° C

C = -3/2.

W ten sposób uzyskuje się wartości A = -1/2, B = 2 i C = -3/2.

Istnieje inna metoda uzyskania wartości A, B i C.Jeśli po prawej stronie równania x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x łączymy terminy, mamy:

x - 1 = (A + B + C) xdwa + (3A + 2B + C) x + 2A.

Ponieważ jest to równość wielomianów, mamy, że współczynniki po lewej stronie muszą być równe współczynnikom po prawej stronie. Skutkuje to następującym układem równań:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy wyniki A = -1/2, B = 2 i C = -3/2.

Wreszcie, podstawiając otrzymane wartości, mamy to:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Przypadek 2

Wszystkie czynniki q (x) są liniowe, a niektóre są powtarzane. Załóżmy, że (ax + b) jest czynnikiem, który powtarza „s” razy; następnie temu czynnikowi odpowiada suma ułamków cząstkowych „s”.

DOs/ (topór + b)s + DOs-1/ (topór + b)s-1 +… + A1/ (topór + b).

Gdzie As,DOs-1,… , DO1 to stałe do ustalenia. W poniższym przykładzie pokażemy, jak określić te stałe.

Przykład

Rozłóż na częściowe ułamki:

(x - 1) / (xdwa(x - 2)3)

Funkcję wymierną zapisujemy jako sumę ułamków cząstkowych w następujący sposób:

(x - 1) / (xdwa(x - 2)3) = A / xdwa + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)dwa + E / (x - 2).

Później:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cxdwa + D (x - 2) xdwa + E (x - 2)dwaxdwa

Zastępując 2 za x, mamy to:

7 = 4 ° C, czyli C = 7/4.

Podstawiając 0 za x otrzymujemy:

- 1 = -8A lub A = 1/8.

Zastępując te wartości w poprzednim równaniu i rozwijając, otrzymujemy:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6xdwa + 12x - 8) + Bx (x3 - 6xdwa + 12x - 8) + 7 / 4xdwa +Dx3 - 2Dxdwa + Byłydwa(xdwa - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) xdwa +(3/2 - 8B) x - 1.

Porównując współczynniki, otrzymujemy następujący układ równań:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Rozwiązując system mamy:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

W tym celu musimy:

(x - 1) / (xdwa(x - 2)3) = (1/8) / xdwa + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)dwa - (3/16) / (x - 2).

Przypadek 3

Współczynniki q (x) są liniowo kwadratowe, bez żadnych powtarzających się współczynników kwadratowych. W tym przypadku współczynnik kwadratowy (axdwa + bx + c) będzie odpowiadać ułamkowi częściowemu (Ax + B) / (axdwa + bx + c), gdzie stałe A i B to te, które chcemy określić.

Poniższy przykład pokazuje, jak postępować w tym przypadku

Przykład

Rozłóż na proste ułamki a (x + 1) / (x3 - 1).

Najpierw bierzemy pod uwagę mianownik, który daje nam wynik:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Możemy zaobserwować, że (xdwa + x + 1) jest nieredukowalnym wielomianem kwadratowym; to znaczy, że nie ma prawdziwych korzeni. Jego rozkład na częściowe ułamki będzie wyglądał następująco:

(x + 1) / (x - 1) (xdwa + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (xdwa + x +1)

Z tego otrzymujemy następujące równanie:

x + 1 = (A + B) xdwa +(A - B + C) x + (A - C)

Korzystając z równości wielomianów, otrzymujemy następujący układ:

A + B = 0;

AB + C = 1;

A-C = 1;

Z tego systemu mamy, że A = 2/3, B = - 2/3 i C = 1/3. Zastępując, mamy to:

(x + 1) / (x - 1) (xdwa + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (xdwa + x +1).

Przypadek 4

Wreszcie przypadek 4 to ten, w którym współczynniki q (x) są liniowe i kwadratowe, gdzie niektóre z liniowych współczynników kwadratowych są powtarzane.

W tym przypadku, jeśli (axdwa + bx + c) jest współczynnikiem kwadratowym, który powtarza „s” razy, więc ułamek częściowy odpowiadający współczynnikowi (axdwa + bx + c) będzie:

(DO1x + B) / (axdwa + bx + c) +… + (As-1x + Bs-1) / (topórdwa + bx + c)s-1 + (DOsx + Bs) / (topórdwa + bx + c)s

Gdzie As, DOs-1,…, A i Bs, bs-1,..., B to stałe, które mają zostać określone.

Przykład

Chcemy rozłożyć następującą funkcję wymierną na ułamki cząstkowe:

(x - 2) / (x (xdwa - 4x + 5)dwa)

Jak xdwa - 4x + 5 jest nieredukowalnym czynnikiem kwadratowym, mamy, że jego rozkład na częściowe ułamki jest wyrażony wzorem:

(x - 2) / (x (xdwa - 4x + 5)dwa) = A / x + (Bx + C) / (xdwa - 4x +5) + (Dx + E) / (xdwa - 4x + 5)dwa

Upraszczając i rozwijając, pozostaje nam:

x - 2 = A (xdwa - 4x + 5)dwa + (Bx + C) (xdwa - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) xdwa + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Z powyższego mamy następujący układ równań:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Rozwiązując system pozostaje nam:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 i E = - 3/5.

Podstawiając otrzymane wartości otrzymujemy:

(x - 2) / (x (xdwa - 4x + 5)dwa) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (xdwa - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (xdwa - 4x + 5)dwa

Aplikacje

Rachunek całkowy

Ułamki cząstkowe są używane głównie do badania rachunku całkowego. Następnie zobaczymy kilka przykładów wykonywania całek przy użyciu ułamków częściowych.

Przykład 1

Chcemy obliczyć całkę z:

Widzimy, że mianownik q (x) = (t + 2)dwa(t + 1) składa się z czynników liniowych, w przypadku których jeden z nich się powtarza; dlatego jesteśmy w przypadku 2.

Musimy:

1 / (t + 2)dwa(t + 1) = A / (t + 2)dwa +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Przepisujemy równanie i mamy:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)dwa

Jeśli t = - 1, mamy:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C.

Jeśli t = - 2, to daje nam:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Wtedy, jeśli t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Podstawiając wartości A i C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Z powyższego mamy, że B = - 1.

Przepisujemy całkę jako:

Przystępujemy do rozwiązania go metodą podstawienia:

Oto wynik:

Przykład 2

Rozwiąż następującą całkę:

W tym przypadku możemy wziąć pod uwagę q (x) = xdwa - 4 jako q (x) = (x - 2) (x + 2). Jesteśmy wyraźnie w przypadku 1. Dlatego:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Można to również wyrazić jako:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jeśli x = - 2, mamy:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A jeśli x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Zatem rozwiązanie danej całki jest równoznaczne z rozwiązaniem:

W rezultacie otrzymujemy:

Przykład 3

Rozwiąż całkę:

Mamy q (x) = 9x4 + xdwa , że możemy podzielić to na q (x) = xdwa(9xdwa + 1).

Tym razem mamy powtarzający się czynnik liniowy i czynnik kwadratowy; to znaczy jesteśmy w przypadku 3.

Musimy:

1 / xdwa(9xdwa + 1) = A / xdwa + B / x + (Cx + D) / (9xdwa + 1)

1 = A (9xdwa + 1) + Bx (9xdwa + 1) + Cxdwa + Dxdwa

Grupując i używając równych wielomianów, mamy:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Z tego układu równań mamy:

D = - 9 i C = 0

W ten sposób mamy:

Rozwiązując powyższe otrzymujemy:

Prawo akcji masowej

Ciekawe zastosowanie ułamków cząstkowych zastosowanych do rachunku całkowego można znaleźć w chemii, a dokładniej w prawie działania mas.

Załóżmy, że mamy dwie substancje, A i B, które łączą się i tworzą substancję C, tak że pochodna ilości C względem czasu jest proporcjonalna do iloczynu ilości A i B w dowolnym momencie.

Możemy wyrazić prawo akcji masowej w następujący sposób:

W tym wyrażeniu α jest początkową liczbą gramów odpowiadającą A, a β początkową liczbą gramów odpowiadającą B.

Ponadto ris reprezentują liczbę gramów odpowiednio A i B, które łączą się, tworząc r + s gramów C. Ze swojej strony x oznacza liczbę gramów substancji C w czasie t, a K jest stałą proporcjonalności . Możemy przepisać powyższe równanie jako:

Wprowadzanie następującej zmiany:

Mamy, że równanie wygląda następująco:

Z tego wyrażenia możemy otrzymać:

Jeżeli a ≠ b, do całkowania można użyć ułamków częściowych.

Przykład

Weźmy na przykład substancję C, która powstaje z połączenia substancji A z B w taki sposób, że prawo masy jest spełnione, gdy wartości aib wynoszą odpowiednio 8 i 6. Podaj równanie, które daje nam wartość gramów C w funkcji czasu.

Podstawiając wartości w podanym prawie mas, otrzymujemy:

Oddzielając zmienne mamy:

Tutaj 1 / (8 - x) (6 - x) można zapisać jako sumę częściowych ułamków w następujący sposób:

Zatem 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jeśli podstawimy 6 za x, otrzymamy B = 1/2; i podstawiając 8 za x, mamy A = - 1/2.

Całkując przez ułamki częściowe otrzymujemy:

W rezultacie otrzymujemy:

Równania różniczkowe: równanie logistyczne

Innym zastosowaniem, które można zastosować do ułamków cząstkowych, jest logistyczne równanie różniczkowe. W prostych modelach mamy, że tempo wzrostu populacji jest proporcjonalne do jej wielkości; mianowicie:

Ten przypadek jest idealny i jest uważany za realistyczny, dopóki nie zdarzy się, że zasoby dostępne w systemie są niewystarczające do utrzymania populacji..

W takich sytuacjach najbardziej rozsądną rzeczą jest myślenie, że istnieje maksymalna pojemność, którą nazwiemy L, którą system może utrzymać, i że tempo wzrostu jest proporcjonalne do wielkości populacji pomnożonej przez dostępny rozmiar. Ten argument prowadzi do następującego równania różniczkowego:

To wyrażenie nazywa się logistycznym równaniem różniczkowym. Jest to równanie różniczkowe, które można rozdzielić, które można rozwiązać metodą całkowania ułamków częściowych.

Przykład

Przykładem może być rozważenie populacji, która rośnie zgodnie z następującym logistycznym równaniem różniczkowym y '= 0,0004y (1000 - y), którego początkowe dane to 400. Chcemy poznać wielkość populacji w czasie t = 2, gdzie t jest mierzone w latach.

Jeśli napiszemy y 'za pomocą notacji Leibniza jako funkcji zależnej od t, otrzymamy:

Całkę po lewej stronie można rozwiązać metodą całkowania ułamków częściowych:

Możemy przepisać tę ostatnią równość w następujący sposób:

- Podstawiając y = 0 otrzymujemy, że A jest równe 1/1000.

- Podstawiając y = 1000 otrzymujemy, że B jest równe 1/1000.

Przy tych wartościach całka jest następująca:

Rozwiązaniem jest:

Na podstawie danych początkowych:

Podczas rozliczeń i mamy:

Wtedy mamy to przy t = 2:

Podsumowując, po 2 latach wielkość populacji wynosi około 597,37.

Bibliografia

  1. A, R. A. (2012). Matematyka 1. Uniwersytet Andów. Rada Publikacji.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 Całki rozstrzygnięte. Narodowy Uniwersytet Eksperymentalny w Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). Obliczenia z geometrią analityczną. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D. i Rigdon, S. E. (2007). Obliczenie. Meksyk: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Rachunek całkowy. Przeciwprostokątna.

Jeszcze bez komentarzy