Plik funkcja logarytmiczna jest matematyczną zależnością, która wiąże każdą dodatnią liczbę rzeczywistą x z jego logarytmem Y na podstawie do. Ta relacja spełnia wymagania funkcji: każdy element x należący do domeny ma unikalny obraz.
W związku z tym:
f (x) = y = logdo x , z> 0 i różną od 1.
Główne właściwości funkcji logarytmicznej to:
-Jego domeną są wszystkie liczby rzeczywiste większe od 0, bez 0. Innymi słowy, w żadnej podstawie nie ma logarytmu 0 ani liczb ujemnych. W formie przedziałów:
Słońce fa = (0, ∞ +)
-Logarytm liczby może być ujemny, dodatni lub 0, więc jej zakres lub zakres to:
Rgo fa = (-∞, ∞ +)
-Funkcja logarytmiczna zawsze rośnie dla a> 1 i maleje dla a<1.
-Odwrotność f (x) = logdo x jest funkcją wykładniczą.
Rzeczywiście, funkcja logarytmiczna, na której opiera się, jest funkcją odwrotną funkcji potencjału:
fa-1(x) = aY
Ponieważ logarytm w podstawie do liczby x, To liczba Y do którego należy podnieść podstawę do dostać x.
-Logarytm podstawy jest zawsze równy 1. Zatem wykres f (x) = logdo x zawsze przecina oś X w punkcie (1,0)
-Funkcja logarytmiczna to niedościgniony i nie może być wyrażony jako wielomian ani jako iloraz z nich. Oprócz logarytmu grupa ta obejmuje między innymi funkcje trygonometryczne i wykładnicze.
Indeks artykułów
Funkcję logarytmiczną można ustalić za pomocą różnych podstaw, ale najczęściej używane są 10 i i, gdzie i oznacza liczbę Eulera równą 2,71828 ... .
Gdy używana jest podstawa 10, logarytm nazywa się logarytmem dziesiętnym, wulgarnym logarytmem, Briggsem lub po prostu zwykłym logarytmem.
A jeśli użyjemy liczby e, to nazywana jest logarytmem naturalnym przez Johna Napiera, szkockiego matematyka, który odkrył logarytmy..
Notacja używana dla każdego z nich jest następująca:
-Logarytm dziesiętny: log10 x = log x
-Logarytm naturalny: ln x
Gdy ma być używana inna podstawa, absolutnie konieczne jest wskazanie jej jako indeksu dolnego, ponieważ logarytm każdej liczby różni się w zależności od używanej podstawy. Na przykład, jeśli jest to logarytm o podstawie 2, napisz:
y = logdwa x
Spójrzmy na logarytm liczby 10 w trzech różnych podstawach, aby zilustrować ten punkt:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
logdwa 10 = 3,32193
Typowe kalkulatory podają tylko logarytmy dziesiętne (funkcja log) i logarytm naturalny (funkcja ln). W Internecie dostępne są kalkulatory z innymi bazami. W każdym przypadku czytelnik może za jego pomocą zweryfikować, czy powyższe wartości są prawdziwe:
101 = 10
i2,3026 = 10 0001
dwa3.32193 = 10,0000
Małe różnice dziesiętne wynikają z liczby miejsc dziesiętnych branych do obliczenia logarytmu.
Jedną z zalet korzystania z logarytmów jest łatwość, jaką zapewniają one przy pracy z dużymi liczbami, używając ich logarytmu zamiast bezpośrednio liczby.
Jest to możliwe, ponieważ funkcja logarytmu rośnie wolniej wraz ze wzrostem liczb, co widać na wykresie.
Dlatego nawet przy bardzo dużych liczbach ich logarytmy są znacznie mniejsze, a operowanie małymi liczbami jest zawsze łatwiejsze..
Ponadto logarytmy mają następujące właściwości:
-Produkt: log (a.b) = log a + log b
-Iloraz: log (a / b) = log a - log b
-Moc: log ab = b.log a
W ten sposób iloczyn i iloraz staje się dodawaniem i odejmowaniem mniejszych liczb, podczas gdy wzmocnienie staje się prostym produktem, mimo że moc jest wysoka..
Dlatego logarytmy pozwalają nam wyrazić liczby, które zmieniają się w bardzo dużych zakresach wartości, takich jak natężenie dźwięku, pH roztworu, jasność gwiazd, opór elektryczny i intensywność trzęsień ziemi w skali Richtera..
Zobaczmy przykład obsługi właściwości logarytmów:
Znajdź wartość x w następującym wyrażeniu:
log (5x +1) = 1 + log (2x-1)
Mamy tutaj równanie logarytmiczne, ponieważ nieznane jest w argumencie logarytmu. Rozwiązuje się go, pozostawiając pojedynczy logarytm po każdej stronie równości.
Zaczynamy od umieszczenia wszystkich terminów, które zawierają „x” po lewej stronie równości, a tych, które zawierają tylko liczby po prawej:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Po lewej stronie mamy odjęcie dwóch logarytmów, które można zapisać jako logarytm z ilorazu:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Jednak po prawej stronie znajduje się liczba 1, którą możemy wyrazić jako log 10, jak widzieliśmy wcześniej. Następnie:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10
Aby równość została spełniona, argumenty logarytmów musi być równa:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
W 1957 roku w Meksyku miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 7,7 w skali Richtera. W 1960 roku w Chile miało miejsce kolejne trzęsienie ziemi o większej sile, wynoszące 9,5.
Oblicz, ile razy trzęsienie ziemi w Chile było silniejsze niż w Meksyku, wiedząc, że o sile M.R w skali Richtera daje to wzór:
MR = log (104 JA)
Wielkość trzęsienia ziemi w skali Richtera jest funkcją logarytmiczną. Zamierzamy obliczyć intensywność każdego trzęsienia ziemi, ponieważ mamy wielkości Richtera. Zróbmy to krok po kroku:
-Meksyk: 7,7 = log (104 JA)
Ponieważ odwrotność funkcji logarytmu jest wykładnicza, stosujemy to do obu stron równości z zamiarem rozwiązania dla I, co znajduje się w argumencie logarytmu.
Ponieważ są to logarytmy dziesiętne, podstawa wynosi 10. Następnie:
10 7.7 = 104 ja
Intensywność trzęsienia ziemi w Meksyku była:
jaM = 10 7.7 / 104 = 103.7
-czerwony pieprz: 9,5 = log (104 JA)
Ta sama procedura prowadzi nas do intensywności chilijskiego trzęsienia ziemi ICh:
jaCh = 10 9.5 / 104 = 105.5
Teraz możemy porównać obie intensywności:
jaCh / JAM = 105.5 / 103.7 = 101.8 = 63,1
jaCh = 63,1. jaM
Trzęsienie ziemi w Chile było około 63 razy bardziej intensywne niż w Meksyku. Ponieważ wielkość jest logarytmiczna, rośnie wolniej niż intensywność, więc różnica 1 w wielkości oznacza 10 razy większą amplitudę fali sejsmicznej.
Różnica między wielkościami obu trzęsień ziemi wynosi 1,8, dlatego możemy spodziewać się różnicy intensywności bliższej 100 niż 10, tak jak to się faktycznie stało..
W rzeczywistości, gdyby różnica wynosiła dokładnie 2, trzęsienie ziemi w Chile byłoby 100 razy silniejsze niż w Meksyku..
Jeszcze bez komentarzy