Plik heptadecagon jest wielokątem regularnym o 17 bokach i 17 wierzchołkach. Jego budowę można wykonać w stylu euklidesowym, czyli używając tylko linijki i kompasu. Dopiero wielki geniusz matematyczny Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ledwie 18-letni, znalazł w 1796 roku procedurę jej budowy..
Najwyraźniej Gauss zawsze był bardzo skłonny do tej figury geometrycznej, do tego stopnia, że od dnia, w którym odkrył jej konstrukcję, postanowił zostać matematykiem. Mówi się również, że chciał, aby siedmiokąt został wyryty na jego nagrobku.
Gauss znalazł również wzór na określenie, które wielokąty regularne można konstruować za pomocą linijki i kompasu, ponieważ niektóre nie mają dokładnej konstrukcji euklidesowej.
Indeks artykułów
Jeśli chodzi o jego cechy, jak każdy wielokąt, ważna jest suma jego wewnętrznych kątów. W regularnym wielokącie formatu n po bokach suma jest wyrażona wzorem:
Sa (n) = (n -2) * 180º.
Dla siedmiokąta liczba boków n to jest 17, co oznacza, że suma jego kątów wewnętrznych wynosi:
Sa (17) = (17 - 2) * 180º = 15 * 180º = 2700º.
Suma ta, wyrażona w radianach, wygląda następująco:
Sa (17) = (17 - 2) * π = 15 * π = 15π
Z powyższych wzorów można łatwo wywnioskować, że każdy kąt wewnętrzny siedmiokąta ma dokładną miarę α określoną wzorem:
α = 2700º / 17 = (15/17) π radianów
Wynika z tego, że kąt wewnętrzny w przybliżonej postaci wynosi:
α ≈ 158,824º
Inne ważne aspekty to przekątne i obwód. W każdym wielokącie liczba przekątnych wynosi:
D = n (n - 3) / 2 aw przypadku siedmiokąta, jak n = 17, to jest wtedy D = 119 przekątne.
Z drugiej strony, jeśli znana jest długość każdego boku siedmiokąta, wówczas obwód regularnego siedmiokąta można znaleźć po prostu dodając 17 razy tę długość, lub to, co odpowiada 17-krotnej długości re Po każdej stronie:
P = 17 d
Czasami znany jest tylko promień r siedmiokąta, dlatego konieczne jest opracowanie wzoru dla tego przypadku.
W tym celu koncepcja apothem. Apothem to odcinek, który biegnie od środka regularnego wielokąta do środka jednej strony. Apothem względem jednego boku jest prostopadły do tego boku (patrz rysunek 2).
Ponadto apotem jest dwusieczną kąta ze środkowym wierzchołkiem i bokami na dwóch kolejnych wierzchołkach wielokąta, co pozwala znaleźć zależność między promieniem r i z boku re.
Jeśli to się nazywa β do środkowego kąta ŁANIA i biorąc pod uwagę, że apotem Dz to dwusieczna, którą masz EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), skąd istnieje relacja do znalezienia długości re po stronie znanego wielokąta jego promień r i jego środkowy kąt β:
d = 2 r Sen (β / 2)
W przypadku siedmiokąta β = 360º / 17 więc masz:
d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r
Ostatecznie otrzymujemy wzór na obwód siedmiokąta, znany jego promień:
P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r
Obwód siedmiokąta jest zbliżony do obwodu obwodu, który go otacza, ale jego wartość jest mniejsza, to znaczy obwód opisanego koła wynosi Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.
Aby określić pole siedmiokąta, odwołamy się do rysunku 2, który przedstawia boki i apothem regularnego wielokąta o n boki. Na tej figurze trójkąt EOD ma powierzchnię równą podstawie re (strona wielokąta) razy wysokość do (apotema wielokąta) podzielić przez dwa:
Obszar EOD = (d x a) / 2
Tak znany apothem do siedmiokąta i boku re jego obszar to:
Powierzchnia sześciokąta = (17/2) (d x a)
Aby otrzymać wzór na pole powierzchni siedmiokąta znając długość jego siedemnastu boków, konieczne jest uzyskanie zależności między długością apotemu do i z boku re.
W odniesieniu do rysunku 2 otrzymano następującą zależność trygonometryczną:
Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, istota β do środkowego kąta ŁANIA. Więc apothem do można obliczyć, jeśli znana jest długość re od strony wielokąta i kąta środkowego β:
a = (d / 2) Kotan (β / 2)
Jeśli to wyrażenie zostanie teraz zastąpione apotemem, we wzorze na pole siedmiokąta otrzymanym w poprzednim rozdziale otrzymamy:
Powierzchnia sześciokąta = (17/4) (ddwa) Cotan (β / 2)
Istota β = 360º / 17 dla siedmiokąta, więc w końcu mamy pożądaną formułę:
Powierzchnia sześciokąta = (17/4) (ddwa) Cotan (180º / 17)
W poprzednich sekcjach znaleziono związek między stroną d regularnego wielokąta a jego promieniem r, przy czym zależność ta jest następująca:
d = 2 r Sen (β / 2)
To wyrażenie dla re jest wprowadzane w wyrażeniu uzyskanym w poprzedniej sekcji dla obszaru. Jeśli dokonamy odpowiednich podstawień i uproszczeń, otrzymamy wzór, który pozwoli obliczyć pole powierzchni siedmiokąta:
Powierzchnia sześciokąta = (17/2) (rdwa) Sen (β) = (17/2) (rdwa) Sen (360º / 17)
Przybliżone wyrażenie obszaru to:
Powierzchnia sześciokąta = 3,0706 (rdwa)
Zgodnie z oczekiwaniami obszar ten jest nieco mniejszy niż obszar koła otaczającego siedmiokąt. DOcir = π rdwa ≈ 3,1416 rdwa. Mówiąc dokładniej, jest to o 2% mniejsze niż w jego opisanym okręgu.
Jaką wartość musi mieć promień i średnica obwodu opisanego na siedmiokącie, aby mieć boki równe 2 cm? Znajdź również wartość obwodu.
Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy pamiętać o związku między bokiem a promieniem regularnego wielokąta n-stronnego:
d = 2 r Sen (180º / n)
Dla siedmiokąta n = 17, po to aby d = 0,3675 r, to znaczy promień siedmiokąta wynosi r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm lub
Średnica 10,8844 cm.
Obwód 2 cm siedmiokąta bocznego wynosi P = 17 * 2 cm = 34 cm.
Jaka jest powierzchnia sześciokąta foremnego o boku 2 cm?
Musimy odwołać się do wzoru przedstawionego w poprzedniej sekcji, który pozwala nam znaleźć pole siedmiokąta, gdy ma on długość re po twojej stronie:
Powierzchnia sześciokąta = (17/4) (ddwa) / Tan (180º / 17)
Podczas zastępowania d = 2 cm w powyższym wzorze otrzymujesz:
Powierzchnia = 90,94 cm
Jeszcze bez komentarzy