Plik tożsamości trygonometryczne to relacje między stosunkami trygonometrycznymi, które są prawdziwe dla dowolnej wartości zmiennej. Na przykład:
tan θ = sin θ / cos θ
Jest to tożsamość trygonometryczna, która wiąże trzy stosunki kąta θ, stycznej, sinusa i cosinusa wspomnianego kąta.
Ta tożsamość jest prawdziwa dla wszystkich wartości, z wyjątkiem tych, dla których mianownikiem jest 0. Cos θ wynosi 0 dla θ = ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… Innym przykładem identyczności trygonometrycznej jest:
sin x. sek. x. ctg x = 1
Indeks artykułów
Istnieją dwa podstawowe sposoby wykazania, że tożsamość trygonometryczna jest prawdziwa:
1- Przekształcenie jednego z elementów równości w drugi poprzez wygodne manipulacje algebraiczne.
2- Rozwijaj osobno obu członków równości, aż odpowiednie końcowe wyrażenia każdego z nich będą dokładnie takie same.
W proponowanej tożsamości przekształcimy lewą stronę równości, dla której wyrażamy ctg x i sec x za pomocą sinusa i cosinusa w następujący sposób:
ctg x = cos x / sin x
sec x = 1 / cos x
Zastępujemy to wyrażenie po lewej stronie tożsamości i upraszczamy:
sin x. (1 / cos x). (cos x / sin x) = (sin x. cos x / cos x. sin x) = 1
A prawdziwość tożsamości jest już zweryfikowana.
Istnieje kilka klas tożsamości trygonometrycznych. Poniżej krótko opiszemy najważniejsze z nich:
Wyróżniamy dwa typy podstawowych tożsamości:
I) Te, które są wyrażone przez podstawowe stosunki sinus, cosinus i tangens:
II) Te wyprowadzone z parytetu. Z jego wykresu wiemy, że sin x jest funkcją nieparzystą, co oznacza, że:
sin (-x) = - sin x
Ze swojej strony cos x jest funkcją parzystą, dlatego:
cos (-x) = cos x
Następnie:
tg (-x) = sin (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x
Podobnie:
Otrzymuje się je z zastosowania twierdzenia Pitagorasa do prawego trójkąta nóg a i b oraz przeciwprostokątnej c. Zobaczmy:
Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że:
dodwa = adwa + bdwa
Dzieląc wszystko przez cdwa:
dodwa / cdwa = (adwa / cdwa) + (B.dwa / cdwa)
Termin po lewej stronie to 1 i pamiętając, że sinus i cosinus kąta ostrego α są zdefiniowane jako:
sin α = a / c
cos α = b / c
Wynik:
1 = (sin α)dwa + (cos α)dwa
Ta tożsamość jest znana jako podstawowa tożsamość.
Procedura może być przeprowadzona poprzez podzielenie przez adwa oraz bdwa, co powoduje powstanie dwóch kolejnych tożsamości:
sekdwa α = 1 + tgdwa α
żniwadwa α = 1 + ctgdwa α
Główne tożsamości trygonometryczne dla cosinusa, sinusa i tangensa dodawania i odejmowania są następujące:
Tożsamości te można udowodnić geometrycznie lub również za pomocą wzoru Eulera:
iiα = cos α + i sin α
Zobaczmy, co dzieje się ze wzorem po podstawieniu sumy dwóch kątów α i β:
ii (α +β) = cos (α + β) + i sin (α + β)
Wyrażenie to jest złożone, jego część rzeczywista to cos (α + β), a część urojona to i sin (α + β). Zapisujemy ten wynik do późniejszego wykorzystania i skupiamy się na opracowaniu części wykładniczej:
ii (α +β) = eiα ⋅ eiβ = (cos α + i sin α). (cos β + i sin β) =
= cos α⋅cos β + cos α⋅i sin β + i⋅sen α cos β - sin α⋅sen β
Rzeczywistą częścią tego wyrażenia jest ta, która nie jest pomnożona przez urojoną jednostkę „i”:
cos α⋅cos β - sin α. sin β
Zatem częścią urojoną jest:
i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β)
Aby dwa złożone wyrażenia były równe, rzeczywista część jednego musi być równa rzeczywistej części drugiego. To samo dzieje się z częściami urojonymi.
Bierzemy zapisany wynik i porównujemy go z tym:
cos α. cos β - sin α. sin β = cos (α + β)
i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β) = i sin (α + β)
sin (α + β) = (cos α. sin β + sin α⋅cos β)
W poprzednich wzorach przyjmujemy β = α i rozwijamy:
sin (α + α) = sin 2 α = sin α⋅cos α + cos α. sin α = 2⋅ sin α ⋅ cos α
cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α - sin α⋅sen α = cosdwa α - grzech dwa α
tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tgdwa α
Jeśli w drugim wyrażeniu podstawimy cosdwa α = 1 - grzechdwa otrzymuje się α:
cos 2 α = cosdwa α - (1 - cosdwa α) = 2 cosdwa α -1
W tym ostatnim wyrażeniu podstawmy α za α / 2, pozostaje:
cos α = 2 cos dwa(α / 2) -1
Rozwiązywanie dla:
Pokazują, że:
Będziemy pracować z lewym członem algebraicznie, aby wyglądał jak właściwy. Ponieważ sin x pojawia się we właściwym wyrażeniu, pierwszym krokiem jest wyrażenie cosdwax pod względem sin x, aby wszystko było w kategoriach tego samego współczynnika trygonometrycznego:
Wtedy 1 - grzech jest brany pod uwagędwa x, ponieważ jest to różnica doskonałych kwadratów. Aby to zrobić, oczyszcza podstawową tożsamość:
sałatadwax = 1 - grzechdwa x
1 - sendwa x = (1- sin x) (1 + sinx)
A faktoryzacja jest podstawiana w oryginalnym wyrażeniu:
Termin (1- sinx) jest uproszczony i pozostaje równość:
1 + sin x = 1 + sinx
Rozwiąż następujące równanie trygonometryczne i podaj rozwiązanie dla wartości od 0 do 360º:
tg x + sekdwa x = 3
W członie po lewej znajdują się dwa stosunki trygonometryczne, dlatego konieczne jest sprowadzenie wszystkiego do jednego, aby móc rozwiązać nieznane. Termin ustdwa x jest wyrażane przez jedną z tożsamości pitagorejskich:
sekdwa α = 1 + tgdwa α
Zastępując w równaniu pozostaje:
tg x + 1 + tgdwa x = 3
Zmiana warunków:
tgdwa x + tg x + 1 = 3
To równanie rozwiązuje się, dokonując zmiany zmiennej:
tg x = u
lubdwa + u + 1-3 = 0 → udwa + u - 2 = 0
To równanie kwadratowe można łatwo rozwiązać, biorąc pod uwagę:
(u +2) (u-1) = 0
Dlatego u1 = -2 i udwa = 1, co jest równoważne z:
tg x1 = -2
tg xdwa = 1
Wreszcie:
x1 = arctg (-2) = 296,6º
xdwa = arctg (1) = 45º
Jeszcze bez komentarzy