Plik algebra wektorów jest działem matematyki zajmującym się badaniem układów równań liniowych, wektorów, macierzy, przestrzeni wektorowych i ich przekształceń liniowych. Dotyczy to m.in. dziedzin inżynierii, rozwiązywania równań różniczkowych, analizy funkcjonalnej, badań operacyjnych, grafiki komputerowej..
Inną dziedziną, którą zajęła się algebra liniowa, jest fizyka, ponieważ dzięki niej można było rozwijać badania zjawisk fizycznych, opisując je za pomocą wektorów. Umożliwiło to lepsze zrozumienie wszechświata.
Indeks artykułów
Algebra wektorów wywodzi się z badań kwaternionów (rozszerzenie liczb rzeczywistych) 1, i, j i k, a także z geometrii kartezjańskiej promowanej przez Gibbsa i Heaviside, którzy zdali sobie sprawę, że wektory będą służyć jako narzędzie do reprezentowania różnych zjawisk fizycznych.
Algebra wektorów jest badana na podstawie trzech podstaw:
Wektory są reprezentowane przez linie, które mają orientację, a operacje, takie jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez liczby rzeczywiste, są definiowane metodami geometrycznymi..
Opis wektorów i ich operacji odbywa się za pomocą liczb, zwanych składowymi. Ten typ opisu jest wynikiem reprezentacji geometrycznej, ponieważ używany jest układ współrzędnych.
Dokonuje się opisu wektorów, niezależnie od układu współrzędnych lub dowolnego typu reprezentacji geometrycznej.
Badanie postaci w przestrzeni odbywa się poprzez ich reprezentację w układzie odniesienia, który może mieć jeden lub więcej wymiarów. Wśród głównych systemów są:
- System jednowymiarowy, czyli linia, gdzie punkt (O) reprezentuje początek, a inny punkt (P) określa skalę (długość) i jej kierunek:
- Prostokątny układ współrzędnych (dwuwymiarowy), który składa się z dwóch prostopadłych linii zwanych osią x i osią y, które przechodzą przez punkt początkowy (O); w ten sposób płaszczyzna jest podzielona na cztery obszary zwane kwadrantami. W tym przypadku punkt (P) na płaszczyźnie jest określony przez odległości istniejące między osiami i P.
- Układ współrzędnych biegunowych (dwuwymiarowy). W tym przypadku system składa się z punktu O (początek), który jest nazywany biegunem, i promienia o początku w O, zwanego osią biegunową. W tym przypadku punkt P płaszczyzny, w odniesieniu do bieguna i osi bieguna, jest określony przez kąt (Ɵ), który jest tworzony przez odległość między punktem początkowym a punktem P.
- Prostokątny układ trójwymiarowy, utworzony przez trzy prostopadłe linie (x, y, z), których początek stanowi punkt O w przestrzeni. Powstają trzy płaszczyzny współrzędnych: xy, xz i yz; przestrzeń zostanie podzielona na osiem regionów zwanych oktanami. Odniesienie do punktu P w przestrzeni jest określone przez odległości istniejące między płaszczyznami i P.
Wielkość to wielkość fizyczna, którą można policzyć lub zmierzyć za pomocą wartości liczbowej, jak w przypadku niektórych zjawisk fizycznych; jednak często konieczna jest umiejętność opisania tych zjawisk za pomocą czynników innych niż liczbowe. Dlatego wielkości są podzielone na dwa typy:
Są to wielkości zdefiniowane i przedstawione numerycznie; to znaczy przez moduł wraz z jednostką miary. Na przykład:
a) Czas: 5 sekund.
b) Masa: 10 kg.
c) Pojemność: 40 ml.
d) Temperatura: 40 ºC.
Są to wielkości, które są definiowane i reprezentowane przez moduł wraz z jednostką, a także przez zmysł i kierunek. Na przykład:
a) Prędkość: (5ȋ - 3ĵ) m / s.
b) przyspieszenie: 13 m / sdwa; S 45º E.
c) Siła: 280 N, 120º.
d) Waga: -40 ĵ kg-f.
Wielkości wektorowe są przedstawiane graficznie za pomocą wektorów.
Wektory są graficznymi reprezentacjami wielkości wektorów; to znaczy są to odcinki linii, których końcem jest wierzchołek strzały.
Są one określane przez jego moduł lub długość segmentu, jego kierunek, który jest wskazywany przez końcówkę strzałki, oraz kierunek zgodny z linią, do której należy. Pochodzenie wektora jest również znane jako punkt aplikacji.
Elementy wektora są następujące:
Jest to odległość od początku do końca wektora, reprezentowana przez liczbę rzeczywistą wraz z jednostką. Na przykład:
| OM | = | A | = A = 6 cm
Jest to miara kąta, który istnieje między osią x (od strony dodatniej) a wektorem, a także używane są punkty kardynalne (północ, południe, wschód i zachód).
Daje go grot strzałki znajdujący się na końcu wektora, wskazujący, dokąd zmierza.
Ogólnie wektory są klasyfikowane jako:
Jest to taki, którego punkt zastosowania (pochodzenie) jest ustalony; to znaczy, pozostaje połączony z punktem w przestrzeni, więc nie może się w nim poruszać.
Może swobodnie poruszać się w przestrzeni, ponieważ jego początek przesuwa się w dowolne miejsce bez zmiany modułu, kierunku lub kierunku..
To taki, który może przenieść swój początek wzdłuż linii działania bez zmiany swojego modułu, kierunku lub kierunku..
Do głównych właściwości wektorów należą:
Są to wektory swobodne, które mają ten sam moduł, kierunek (lub są równoległe) i mają sens jako wektor ślizgowy lub wektor ustalony.
Występuje, gdy dwa wektory mają ten sam kierunek (lub są równoległe), ten sam zwrot i pomimo posiadania różnych modułów i punktów zastosowania, wywołują te same efekty.
Mają ten sam moduł, kierunek i zwrot, nawet jeśli ich punkty początkowe są różne, co pozwala równoległemu wektorowi na translację bez wpływu na niego..
To takie, które mają ten sam moduł i kierunek, ale ich sens jest odwrotny.
To taki, w którym moduł jest równy jednostce (1). Uzyskuje się to poprzez podzielenie wektora przez jego moduł i służy do określenia kierunku i zwrotu wektora, w płaszczyźnie lub w przestrzeni, przy użyciu bazowych lub znormalizowanych wektorów jednostkowych, którymi są:
Jest to ten, którego moduł jest równy 0; to znaczy, że jej punkt początkowy i końcowy pokrywają się w tym samym punkcie.
Składowymi wektora są te wartości rzutów wektora na osie układu odniesienia; W zależności od rozkładu wektora, który może znajdować się na dwu lub trójwymiarowej osi, otrzymamy odpowiednio dwie lub trzy składowe..
Składnikami wektora są liczby rzeczywiste, które mogą być dodatnie, ujemne lub nawet zerowe (0).
Zatem jeśli mamy wektor Ā, którego początek jest w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie xy (dwuwymiarowy), rzut na oś x wynosi isx, a rzut na oś y - isy. Zatem wektor zostanie wyrażony jako suma jego wektorów składowych.
Mamy wektor Ā, który zaczyna się od początku i podane są współrzędne jego końców. Zatem wektor Ā = (Āx; DOY) = (4; 5) cm.
Jeśli wektor Ā działa na początku trójwymiarowego trójkątnego układu współrzędnych (w przestrzeni) x, y, z, do innego punktu (P), to rzuty na jego osie będą wynosić Āx, Āy i Āz; w ten sposób wektor zostanie wyrażony jako suma trzech wektorów składowych.
Mamy wektor Ā, który zaczyna się od początku i podane są współrzędne jego końców. Zatem wektor Ā = (Ax; DOY; DOz) = (4; 6; -3) cm.
Wektory, które mają współrzędne prostokątne, można wyrazić za pomocą wektorów bazowych. W tym celu wystarczy pomnożyć każdą współrzędną przez jej odpowiedni wektor jednostkowy w taki sposób, aby dla płaszczyzny i przestrzeni były one następujące:
Dla samolotu: Ā = Axi + AYjot.
Dla przestrzeni: Ā = Axi + AYj + Azk.
Istnieje wiele wielkości, które mają moduł, zwrot i kierunek, takie jak między innymi przyspieszenie, prędkość, przemieszczenie, siła..
Są one stosowane w różnych dziedzinach nauki i aby je zastosować, w niektórych przypadkach konieczne jest wykonanie takich operacji, jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wektorów i skalarów..
Dodawanie i odejmowanie wektorów jest uważane za pojedynczą operację algebraiczną, ponieważ odejmowanie można zapisać jako sumę; na przykład odejmowanie wektorów Ā i Ē można wyrazić jako:
Ā - Ē = Ā + (-Ē)
Istnieją różne metody dodawania i odejmowania wektorów: mogą być graficzne lub analityczne.
Używane, gdy wektor ma moduł, zwrot i kierunek. W tym celu rysuje się linie, które tworzą figurę, która później pomaga określić wynik. Do najbardziej znanych należą:
Aby dodać lub odjąć dwa wektory, wybiera się wspólny punkt na osi współrzędnych - który będzie reprezentował punkt początkowy wektorów - zachowując jego moduł, kierunek i kierunek..
Linie są następnie rysowane równolegle do wektorów, aby utworzyć równoległobok. Wynikowy wektor to przekątna, która biegnie od punktu początkowego obu wektorów do wierzchołka równoległoboku:
W tej metodzie wektory są umieszczane jeden po drugim, zachowując ich moduły, kierunki i kierunki. Wynikowy wektor będzie połączeniem początku pierwszego wektora z końcem drugiego wektora:
Można dodać lub odjąć dwa lub więcej wektorów metodą geometryczną lub wektorową:
Kiedy dwa wektory tworzą trójkąt lub równoległobok, moduł i kierunek otrzymanego wektora można określić za pomocą praw sinusoidy i cosinusa. Zatem moduł otrzymanego wektora, stosując prawo cosinusa i metodą trójkąta, jest określony wzorem:
W tym wzorze β jest kątem przeciwległym do boku R i jest to równe 180º - Ɵ.
Zamiast tego, metodą równoległoboku, moduł wynikowego wektora wynosi:
Kierunek powstałego wektora jest określony przez kąt (α), który tworzy wypadkową z jednym z wektorów.
Zgodnie z prawem sinusa dodawanie lub odejmowanie wektorów można również wykonać metodą trójkąta lub równoległoboku, wiedząc, że w każdym trójkącie boki są proporcjonalne do sinusów kątów:
Można to zrobić na dwa sposoby: w zależności od jego współrzędnych prostokątnych lub wektorów bazowych.
Można to zrobić poprzez translację wektorów do dodania lub odejmowania w kierunku początku współrzędnych, a następnie wszystkich rzutów na każdą z osi na płaszczyznę (x, y) lub przestrzeń (x i Z); na koniec jego składniki są dodawane algebraicznie. Więc dla samolotu jest to:
Moduł wynikowego wektora to:
Podczas gdy w przypadku przestrzeni jest to:
Moduł wynikowego wektora to:
Podczas wykonywania sum wektorów stosuje się kilka właściwości, którymi są:
- Właściwość asocjacyjna: wynikowa nie zmienia się po dodaniu najpierw dwóch wektorów, a następnie trzeciego.
- Własność przemienna: kolejność wektorów nie zmienia wyniku.
- Właściwość rozdzielania wektorów: jeśli skalar zostanie pomnożony przez sumę dwóch wektorów, jest równy pomnożeniu skalara przez każdy wektor.
- Właściwość dystrybucji skalarnej: jeśli wektor zostanie pomnożony przez sumę dwóch skalarów, jest równy pomnożeniu wektora dla każdego skalara.
Mnożenie lub iloczyn wektorów można wykonać jako dodawanie lub odejmowanie, ale robienie tego w ten sposób traci fizyczne znaczenie i prawie nigdy nie występuje w zastosowaniach. Dlatego generalnie najczęściej używanymi rodzajami produktów są iloczyn skalarny i wektorowy.
Znany jest również jako iloczyn skalarny dwóch wektorów. Kiedy moduły dwóch wektorów zostaną pomnożone przez cosinus najmniejszego kąta utworzonego między nimi, otrzymamy skalar. Aby wyrazić iloczyn skalarny między dwoma wektorami, umieszcza się między nimi punkt, który można zdefiniować jako:
Wartość kąta istniejącego między dwoma wektorami będzie zależeć od tego, czy są one równoległe czy prostopadłe; w związku z tym musisz:
- Jeśli wektory są równoległe i mają ten sam zwrot, cosinus 0º = 1.
- Jeśli wektory są równoległe i mają przeciwne kierunki, cosinus 180º = -1.
- Jeśli wektory są prostopadłe, cosinus 90º = 0.
Kąt ten można również obliczyć, wiedząc, że:
Iloczyn skalarny ma następujące właściwości:
- Właściwość przemienna: kolejność wektorów nie zmienia wartości skalarnej.
-Właściwość dystrybucyjna: jeśli skalar jest pomnożony przez sumę dwóch wektorów, jest równy pomnożeniu skalara przez każdy wektor.
Mnożenie wektora lub iloczyn wektorowy dwóch wektorów A i B da w wyniku nowy wektor C i jest wyrażany za pomocą skrzyżowania wektorów:
Nowy wektor będzie miał swoje własne cechy. W ten sposób:
- Kierunek: ten nowy wektor będzie prostopadły do płaszczyzny, która jest określona przez oryginalne wektory.
- Kierunek: jest to określane za pomocą reguły prawej ręki, gdzie wektor A jest obracany w kierunku B, wskazując kierunek obrotu palcami, a kierunek wektora zaznaczany jest kciukiem.
- Moduł: jest określony przez pomnożenie modułów wektorów AxB przez sinus najmniejszego kąta, jaki istnieje między tymi wektorami. Wyraża się:
Wartość kąta istniejącego między dwoma wektorami będzie zależeć od tego, czy są one równoległe, czy prostopadłe. Można więc stwierdzić, co następuje:
- Jeśli wektory są równoległe i mają ten sam zwrot, sinus 0º = 0.
- Jeśli wektory są równoległe i mają przeciwne kierunki, sinus 180º = 0.
- Jeśli wektory są prostopadłe, sinus 90º = 1.
Kiedy iloczyn wektorowy jest wyrażony jako funkcja jego wektorów bazowych, otrzymujemy:
Iloczyn skalarny ma następujące właściwości:
- Nie jest przemienna: kolejność wektorów zmienia wartość skalarną.
- Właściwość dystrybucyjna: jeśli skalar jest pomnożony przez sumę dwóch wektorów, jest równy pomnożeniu skalara przez każdy wektor.
Jeszcze bez komentarzy