Plik przybliżony pomiar figur amorficznych składa się z szeregu metod stosowanych do określenia obszaru lub obwodu figur geometrycznych, które nie są trójkątami, kwadratami, okręgami itp. Niektóre można rozszerzyć do postaci trójwymiarowych.
Zasadniczo pomiar polega na wykonaniu siatki o pewnym regularnym kształcie, takim jak prostokąty, kwadraty lub trapezoidy, które w przybliżeniu pokrywają powierzchnię. Dokładność przybliżenia powierzchni uzyskana tymi metodami wzrasta wraz z drobnością lub gęstością sieci..
Ryciny 1 i 2 przedstawiają różne figury amorficzne. Aby obliczyć powierzchnię, wykonano siatkę złożoną z 2 x 2 kwadratów, które z kolei są podzielone na dwadzieścia pięć kwadratów 2/5 x 2/5.
Dodanie powierzchni głównych i drugorzędnych kwadratów daje przybliżoną powierzchnię amorficznej figury.
Indeks artykułów
Często konieczne jest zgrubne obliczenie obszaru pod krzywą między dwiema wartościami granicznymi. W tym przypadku zamiast kwadratowej siatki można narysować prostokątne paski, które z grubsza pokrywają obszar pod wspomnianą krzywą..
Nazywa się sumę wszystkich prostokątnych pasków sum lub suma Riemanna. Rysunek 3 przedstawia podział przedziału [a, b], na którym chcemy przybliżyć obszar pod krzywą.
Załóżmy, że chcesz obliczyć obszar pod krzywą określoną przez funkcję y = f (x), gdzie x należy do przedziału [a, b], w którym chcesz obliczyć pole. W tym celu w tym przedziale jest tworzony podział n elementów:
Partycja = x0 = a, x1, x2,…, xn = b.
Następnie przybliżoną powierzchnię pod krzywą określoną przez y = f (x) w przedziale [a, b] uzyskuje się wykonując następujące sumowanie:
S = ∑k = 1n f (tk) (xk - xk-1)
Gdzie tk jest między xk-1 i xk: xk-1 ≤ tk ≤ xk .
Rysunek 3 przedstawia graficznie sumę Riemanna krzywej y = f (x) w przedziale [x0, x4]. W tym przypadku wykonano podział na cztery podprzedziały, a suma reprezentuje całkowitą powierzchnię szarych prostokątów.
Suma ta stanowi przybliżenie pola powierzchni pod krzywą f między odciętą x = x0 i x = x4.
Przybliżenie obszaru pod krzywą poprawia się wraz z liczbą n partycji jest większa i ma tendencję do bycia dokładnie obszarem pod krzywą, gdy liczba n przegród dąży do nieskończoności.
W przypadku, gdy krzywa jest reprezentowana przez funkcję analityczną, wartości f (tk) są obliczane przez oszacowanie tej funkcji przy wartościach tk. Ale jeśli krzywa nie ma wyrażenia analitycznego, pozostają następujące możliwości:
W zależności od wyboru wartości tk w przedziale [xk, xk-1], suma może zawyżać lub zaniżać dokładną wartość pola powierzchni pod krzywą funkcji y = f (x). Najbardziej wskazaną rzeczą jest przyjęcie punktu tk, w którym brakujący obszar jest w przybliżeniu równy obszarowi nadmiarowemu, chociaż nie zawsze jest możliwe dokonanie takiego wyboru..
Najbardziej praktyczną rzeczą jest więc użycie regularnych przedziałów szerokości Δx = (b - a) / n, gdzie a i b to minimalne i maksymalne wartości odciętych, podczas gdy n to liczba podpodziałów.
W takim przypadku obszar pod krzywą jest przybliżany przez:
Powierzchnia = f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b) * Δx
W powyższym wyrażeniu tk przyjęto na prawym końcu podprzedziału.
Inną praktyczną możliwością jest przyjęcie wartości tk skrajnie po lewej stronie, w którym to przypadku suma przybliżająca obszar jest wyrażona jako:
Powierzchnia = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
W przypadku wyboru tk jako centralnej wartości regularnego podprzedziału szerokości Δx, suma przybliżająca obszar pod krzywą wynosi:
Powierzchnia = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Każde z tych wyrażeń ma tendencję do dokładnej wartości w takim zakresie, w jakim liczba podpodziałów jest dowolnie duża, to znaczy Δx dąży do zera, ale w tym przypadku liczba wyrazów w sumowaniu staje się ogromnie duża wraz z wynikającym z tego kosztem obliczeniowym.
Rysunek 2 przedstawia amorficzną figurę, której kontur jest podobny do kamieni na obrazku 1. Aby obliczyć jej powierzchnię, umieszcza się ją na siatce z głównymi kwadratami o wymiarach 2 x 2 kwadraty (na przykład mogą mieć 2 cm²)..
A ponieważ każdy kwadrat jest podzielony na podpodziały 5 x 5, to każda część ma powierzchnię 0,4 x 0,4 jednostek kwadratowych (0,16 cm²).
Obszar figury zostałby obliczony w następujący sposób:
Powierzchnia = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²
Mianowicie:
Powierzchnia = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².
Oblicz w przybliżeniu obszar pod krzywą określoną funkcją f (x) = xdwa od a = -2 do b = +2. Aby to zrobić, najpierw zapisz sumę dla n regularnych partycji przedziału [a, b], a następnie weź matematyczne ograniczenie dla przypadku, gdy liczba partycji dąży do nieskończoności.
Najpierw określ przedział partycji jako
Δx = (b - a) / n.
Wtedy właściwa suma odpowiadająca funkcji f (x) wygląda następująco:
[-2 + (4i / n)]dwa = 4 - 16 i / n + (4 / n)dwa jadwa
A następnie jest podstawiany w sumowaniu:
I trzecie wyniki:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ndwa
Wybór dużej wartości n daje dobre przybliżenie obszaru pod krzywą. Jednak w tym przypadku możliwe jest uzyskanie dokładnej wartości, biorąc matematyczną granicę, gdy n dąży do nieskończoności:
Powierzchnia = limn-> ∞[16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ndwa]
Powierzchnia = 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5,333.
Jeszcze bez komentarzy